Besaran Parakteristik Penampang Mekanika Bahan

BESARAN YANG DIPAKAI LUAS BIDANG TITIK BERAT DAN BESARAN INERSIA STATIS MOMEN MOMEN INERSIA DAN MOMEN SENTRIFUGAL PADA PROFIL STABIL DAN TAK STABIL

LUAS PENAMPANG Luas penampang suatu bidang adalah A = ∫dA = ∫dx dy Dimana dx dan dy masing masing merupakan panjang bidang pada arah x dan y.

TITIK BERAT Suatu titik yang jika seluruh permukaan dipusatkan dititik tersebut maka akan memberikan statis momen yang sama terhadap kedua sumbu Koordinat Titik Berat xo = Sy/A = (∫ x dA ) / ( ∫ dA ) yo = Sx/A = (∫ y dA ) / ( ∫ dA )

Momen Statis Merupakan momen pertama dari bidang Momen Statis suatu Bidang Sx = A . yo = ∫ y dA Sy = A . xo = ∫ x dA Merupakan hasil kali antara luasan dengan jarak pada titik berat penampang

Momen Inersia Merupakan momen kedua dari bidang Momen Inersia terdiri dari beberapa Ixx = Mx = ∫ y2 dA Iyy = Mx = ∫ x2 dA Ixy = Mxx = ∫ xy dA Ir = Mz = ∫ r2 dA = ∫ (x2 + y2) dA = Ixx + Iyy Ixx, Iyy dan Ir selalu bernilai positif Sedang Ixy diambil nilai real positif or negatif

Contoh Soal Berbagai bentuk penampang I I II II III

Tugas Hitung Titik Berat Penampang, Statis Momen dan Momen Inersia dari :

Momen Inersia pada Sb (Xo dan Yo) Sb y Sb Yo y Sb Xo a O’ Sb x O b x

Menentukan Hubungan Ix dan Ixo Ix =∫(y + a )2 dA karena jrk elemen thd sb X adalah (y+a) maka Ix =∫ y2 dA + 2a ∫ y dA + ∫ a2 dA = I xo + Statis momen =0 + Luasan Jadi Ix = Ixo + a2 A

Menentukan Hubungan Iy dan Iyo Iy =∫(x + b )2 dA karena jrk elemen thd sb Y adalah (x+b) maka Iy =∫ x2 dA + 2b ∫ x dA + ∫ b2 dA = I yo + Statis momen =0 + Luasan Jadi Iy = Iyo + b2 A

Menentukan Hubungan Ir dan Iro Ir = Ix + Iy (Substitusi dr sebelumnya) Ir = (Ixo + a2 A ) + (Iyo + b2 A) = Ixo + Iyo + (a2+ b2) A = Iro + (a2+ b2) A Jadi Ir merupakan gabungan dr momen inersia material pd sb xo,yo dijumlah dgn kuadrat jarak sumbu x,y terhadap sb xo,yo dikalilikan dgn luasan material

Menentukan Hubungan Ixy dan Ixoyo Ixy = ∫ (x+b) (y+a) dA = ∫ (xy + ax + by + ab) dA =∫ xy dA + ∫ ax dA + ∫ by dA + ∫ ab dA = Ixoyo + Statis momen thd sb x dan y + Luasan Jadi Ixy = Ixoyo + ab A

Kesimpulan Ix dan Iy juga Ip selalu bernilai positif Ixy bisa bernilai positif, negatif atau nol Ixy akan bernilai nol jika sb XY merupakan sb simetri dari penampang atau salah satunya merupakan sb simetri.

Perubahan Momen Inersia Karena Rotasi Sumbu Sb y Sb y1 Sb x1 x x1 y1 y  Sb x Y sin  X cos 

Perubahan Momen Inersia Karena Rotasi Sumbu X1 = x cos  + y sin  Y1 = y cos  - x sin  Menentukan Ix1 Ix1= ∫ y12 dA = ∫ (y cos  - x sin )2 dA =∫(y2cos2 + x2sin2 - 2xy sin cos) dA =cos2 ∫y2dA+ sin2 ∫x2 dA-2sincos∫xydA = cos2 Ix+ sin2 Iy - sin2 Ixy = (Ix+Iy)/2 + (Ix-Iy)/2 cos2 - sin2 Ixy

Menentukan Iy1 dan Ix1y1 Dengan cara yg sama Iy1= ∫ x12 dA = ∫ (x cos  + y sin )2 dA = (Ix+Iy)/2 - (Ix-Iy)/2 cos2 + sin2 Ixy Ix1y1 = ∫ x1 y1dA =∫ (x cos +y sin ) (y cos  - x sin )dA = Ixy cos 2 + (Ix-Iy)/2 sin2

Menentukan Imax dan I min Metode penentuan Imax dan Imin 1. Analitis 2. Grafis

Menentukan Harga Ix1 dan Iy1 ekstrim Harga ekstrim dr suatu nilai didapat dgn menurunkan persamaan nilai tersebut dIx1/d=(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2) Agar nilai ekstrim terbentuk maka nilai turunan tersebut bernilai nol dIx1/d= 0 dIy1/d=0

Nilai ekstrim Dengan nilai turunan = 0 maka tg 2 = - 2Ixy / (Ix-Iy) Sehingga nilai maks atau min utk Ix1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2 Iy1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2

JARI JARI GIRASI Jari jari girasi dari suatu bidang adalah r2 = √ I / A Dimana : I = Momen Inersia penampang A = Luasan penampang

Kesimpulan Ix + Iy = Ix1 + Iy1 = konstan Jika Ix1 min maka Iy1 max Iy1 max maka Ix1 min Jika Ix> Iy maka Ix max dan Iy min Ix < Iy maka Ix min dan Iy max Harga ekstrim dinamakan “ Momen Inersia Utama” dan sb yg bersangkutan adalah sb Utama. Bila melalui pusat maka disebut Momen Inersia Pusat Utama Dan Momen inersia thd pusat utama = 0

Penentuan Imax dan Imin dgn Cara Grafis / Lingkaran Mohr