KONSEP DASAR PROBABILITAS BILANGAN FAKTORIAL, PERMUTASI DAN KOMBINASI RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A DUA KEJADIAN SALING LEPAS DUA KEJADIAN KOMPLEMENTER DUA KEJADIAN SALING BEBAS PROBABILITAS BERSYARAT

PENDAHULUAN BILANGAN FAKTORIAL NOTASI: n! RUMUS: n! = n (n-1)(n-2) … 3.2.1 0! = 1, 1! = 1 CONTOH: 3! = 3.2.1 = 6 5! = 120 6! = ….

PERMUTASI Misal suatu himpunan {a, b, c}  n=3, akan disusun menjadi 1 anggota (r=1), 2 anggota (r=2), dan 3 anggota (r=3). Maka akan diperoleh susunan sbb: r=1: ada 3 susunan: a b c r = 2: ab ac bc ba ca cb r = 3: abc bac cab acb bca cba Perhatikan bahwa abc≠acb, dst.. Sehingga diperoleh rumus: nPr = n! / (n – r!)

Contoh: Hitung Permutasi jika: 1. n=4 dan r=2 2. n=5 dan r=3

Jenis-jenis permutasi A. Permutasi melingkar Permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota2 himpunan secara melingkar. Banyaknya permutasi = (n-1)! B. Permutasi sebagian anggota yang sama jenisnya n n1, n2, n3 … nk CONTOH: Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat “AKU SUKA KAMU”? (jawab: 184.800) = n! / (n1! n2! n3! … nk!)

KOMBINASI Jika dalam permutasi ab≠ba, maka dalam kombinasi ab=ba. Maka jika r = 2, susunannya adalah: ab=ba ac=ca bc=cb (ada 3 susunan) 3 2 Rumus: = (3!) / 2! (3-2)! = 3 n C r = n r = (n!) / r! (n-r)!

Contoh: Bila dari {a, b, c, d} diambil 3 obyek, maka banyaknya permutasi dan kombinasi adalah: Kombinasi Permutasi abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb Jumlah: 4 Jumlah: 4x6 = 24 PERMUTASI: 4 P 3 = 4! / (4-3)! = 4.3.2.1 / 1! = 24 KOMBINASI: 4 C 3 = 4! / 3!(4-3)! = 4.3.2.1 / 3!1! = 4

CONTOH: Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan! Misal: kimiawan = {K1, K2, K3, K4} fisikawan = {F1, F2, F3}

KONSEP PROBABILITAS Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kejadian yang sulit diketahui dengan pasti, misal: Apakah nanti malam akan turun hujan? Apakah pesawat Garuda datang tepat waktu? Apakah besok ada domonstrasi massa di Jakarta? Apakah tahun depan harga minyak mentah di pasaran dunia akan naik? Begitu juga dalam percobaan statistika, tidak bisa diketahui dengan pasti hasil yang akan muncul, misalnya: Pada pelemparan sebuah uang logam, tidak dapat diketahui sisi mana yang akan muncul, muka atau belakang? Pada pelemparan dua buah dadu, juga tidak bisa diketahui muka mana yang keluar,: 1, 2, 3, 4, 5 atau 6? Pada penarikan sebuah kartu bridge, tidak dapat dipastikan mana yang muncul, kartu As, King, atau yang lain?

PERUMUSAN PROBABILITAS ADA 2, YAKNI CARA KLASIK DAN FREKUENSI RELATIF A. PERUMUSAN KLASIK Bila kejadian E (EVENT) terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi, maka probabilitas dari E = P(E): m/n Contoh: jika sebuah uang logam dilemparkan, berapa peluang (probabilitas) munculnya sisi muka? Muka=muka, belakang=b, n=2  P(m) = P(b) = ½ Jika sebuah dadu dilempar, berapa peluang munculnya salah satu muka? P(E) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 Hitung peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari semua kartu? Jwb: Jumlah seluruh kartu: n = 52 Jumlah kartu hati: m = 13 Maka P(E) = 13/52

PERUMUSAN DG FREKUENSI RELATIF Jika kejadian E terjadi sebanyak f kali dari seluruh pengamatan sebanyak n, di mana n mendekati tak berhingga, maka probabilitasnya: P(E) = lim (n ∞) f/n Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 1000 kali, frekuensi munculnya muka dadu adalah sbb: Muka dadu (X) 1 2 3 4 5 6 Frekuensi 164 165 169 166 167 P(E) = P(1) = 164/1000, P(2) = 165/1000, dst… Dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika, distribusi nilai mahasiswa adalah sbb: Nilai X 45 55 65 75 85 95 Frekuensi (f) 10 15 30 25 5 P(E) = P(X=45) = 10/100 = 0,1, P(X=55) = 55/100, dst…

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN RUANG SAMPEL (S) adalah kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik. Angota S disebut titik sampel. A adalah himpunan bagian dari S S A Konsep Probabilitas Teori Himpunan Ruang Sampel S Himpunan Semesta S Kejadian A Himp bagian A Titik Sampel Anggota himpunan Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka peluang A: P(A) = n(A)/n(S) = m/n

Contoh: 1. Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan kejadian A menyatakan munculnya muka dadu genap pd S, maka A = {2,4,6}. Maka P(A) = 3/6 = ½ 2. pada pelemparan 2 uang logam: Tentukan ruang sampel S Bila A = kejadian munculnya sisi-sisi yang sama uang tsb, tentukan P(A)! 3. pada pelemparan 2 dadu: Tentukan ruang sampel S! A: kejadian munculnya muka dadu sama, tentukan P(A)! B: kejadian munculnya jumlah mukadadu kurang dari 5, tentukan P(B)!

SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIAN A ( P(A) ) Sifat 1: 0<P(A)<1 karena A adalah himpunan bagian dari S, maka n(A) < n(S)  0 < n(A)/n(S) < 1 Sifat 2: P(A) = 0  A tidak terjadi pada S Sifat 3: P(A) = 1  A = S , n(A) = n(S)  n(A)/n(S) = 1 Bila hasil sifat 1, 2 dan 3 digabung, akan diperoleh sifat: 0≤P(A)≤1 P(A) = 0 : A kejadian yang mustahil terjadi P(A) = 1 : A kejadian yang pasti terjadi

Perumusan probabilitas untuk AUB dan AภB Banyaknya anggota himpunan (AUB) adalah: n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AภB) Rumus: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AภB)m

Rumus Probabilitas kejadian majemuk AUBUC adalah: P(AUBUC) = Contoh: 1. Ambil satu kartu secara acak dari kartu bridge. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan B = kejadian terpilihnya kartu wajik, hitung P(AUB)! (jawab: 4/13) 2. peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adl 2/3, peluang lulus B.Inggris 4/9 dan peluang lulus sekurangnya satu MK tsb adalah 4/5. Berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu? (jwb: 14/45) Rumus Probabilitas kejadian majemuk AUBUC adalah: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AภB)- P(AภC)- P(BภC) + P(AภBภC)

DUA KEJADIAN SALING LEPAS Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka P(AภB) = P(0) = 0, Sehingga probabilitas kejadian AUB adalah: P(AUB) = P(A) + P(B) Contoh: Pada pelemparan 2 dadu, tentukan P munculnya muka 2 dadu dengan jumlah 7 atau 11! Bila A, B dan C tiga kejadian saling lepas, maka probabilitas kejadian AUBUC adalah: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) S A B

DUA KEJADIAN SALING KOMPLEMENTER A’ = komplemen dari A, dimana kejadian A’ adalah kumpulan titik-titik sampel yang merupakan titik sampel S tetapi bukan merupakan titik sampel A. Rumus: P(A’) = 1 - P(A) Contoh: Bila A dan A’ 2 kejadian saling komplementer, dg P(A) = 0,6, maka P(A’) = 0,4 Pada pelemparan 2 dadu, jika A adl kejadian munculnya muka 2 dadu dengan sama, hitung P munculnya muka 2 dadu yg tak sama! S A A’

DUA KEJADIAN SALING BEBAS Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B, dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Rumus: P(AภB) = P(A).P(B) Contoh: Pada pelemparan dua uang logam, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan kedua saling bebas? Pada pelemparan 2 dadu, apakah kejadian munculnya muka X ≤ 3 dadu I Dan muka Y ≥ 5 dadu II saling bebas?

PROBABILITAS BERSYARAT Kejadian A terjadi dg syarat kejadian B lebih dulu terjadi atau kejadian A bersyarat B. ditulis: A/B. Rumus: P(A/B) = P(AภB) / P(B) P(B) > 0 Misal: Sebuah dadu dilempar, B=kejadian munculnya bil kuadrat murni. Peluang munculnya bil ganjil=1/9. Peluang munculnya bil genap=2/9. bila diketahui A = {4,5,6} telah terjadi, hitunglah P(B/A)!

PROBABILITAS BERSYARAT UNTUK DUA KEJADIAN SALING BEBAS RUMUS: P(A/B) = P(A) DAN P(B/A) = P(B) P(AภB) = P(A/B).P(B) P(AภBภC) ) = P(A/BภC) .P(B/C).P(C) Contoh: Misal diambil 3 kartu, diambil 3 kali, pada sekelompok kartu bridge yang lengkap. Tiap mengambil, kartu yang dipilih tidak dikembalikan. Tentukan probabilitasnya!

SOAL Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda dapat disusun dalam satu baris ? Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang jenisnya berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dibuat ? 3. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjanan hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu. Jika : tiap orang dapat dipilih dengan bebas ? seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu ? dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu ?

4. Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok kartu bridge yang lengkap.tentukanlah : probabilitas terambilnya kartu AS probabilitas terambilnya 4 kartu AS dan 1 kartu King probabilitas terambilnya 3 kartu sepuluh dan 2 kartu Jack probabilitas terambilnya 1 kartu masing-masing dari kartu 9, kartu 10,kartu queen,kartu King dan 1 kartu Jack 5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah,7 bola putih dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak,tentukanlah probabilitas terpilihnya : bola merah bola putih bola biru tidakmerah merah atau putih

6. Peluang bahwa seorang pria akan hidup selama 25 tahun adalah 3/5 dan peluang bahwa istrinya akan hidup selama 25 tahun adalah 2/3. tentukanlah peluang bahwa : Keduanya akan hidup selama 25 tahun Hanya pria yang hidup selama 25 tahun Hanya istri yang hidup selama 25 tahun Paling sedikit salah satu dari mereka (suami/istri) yang hidup selama 25 tahun 7. Tiga wanita dipilih secara acak untuk ditanya apakah mereka mencuci pakaian dengan detergen. Tulislah anggota suang sample S dengan memakai huruf Y = ya dan T = tidak Tulislah anggota kejadian E dalam S yang menyatakan bahwa paling sedikit dua wanita memakai detergen Hitunglah P (E)

8. Peluang suatu penerbangan regular berangkat tepat pada waktunya adalah P(D) =0,83, peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah P(A)=0,92,danpeluang penerbangan itu berangkat dan mendarat pada waktunya adalah P(A∩D) =0,78. Hitunglah peluang dalam suatu pesawat pada penerbangan itu mendarat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat tersebut berangkat tepat waktu berangkat tepat waktu biladiketahui bahwa pesawat tersebut mendarat tepat waktu 9. Misalkan kita mempunyai sebuah kotak berisi 20 sekering,dan diantaranya rusak. Bila dua sekering diambilsecara acak (satu-satu) tanpa pengembalian, berapa peluang sekering yang terambil itu keduanya rusak ?

10.Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui : sarjana teknik pria 1 orang sarjana teknik wanita 3 orang sarjana ekonomi pria 2 orang sarjana ekonomi wanita 4 orang Dari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran. Berapa cara yang dapat dibentuk, jika diinginkan bahwa manajer harus sarjana teknik ? Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita ? Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik? Hitunglah P(A/B) dan P(AB)!

11. Sebuah distributor telepon genggam akan menyewa 2 buah stand disuatu pusat perbelanjaan. Ada 5 buah stand yang terdiri atas 2 menghadap ke utara (U1, U2) dan 3 menghadap ke selatan (S1,S2, S3).kelima stand tersebut mempunyai harga sewa yang sama danmempunyai lingkungan yang sama.jika distributor tersebut memilih stand dengan cara acak : berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan untuk memilih stand tersebut secara sembarang; jika distributor inginmenyewa hanya di stand yang menghadap ke selatan, berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan untukmemilih stand; jika distributor ingin menyewa 1 stand yang menghadap ke utara dan 1 stand yang menghadap ke selatan, berapa kemungkinan cara yang dia dapatkan untukmemilih stand ?

12. Ada 3 kotak ,yaitu 1, 2 dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sebagai berikut : Jumlah Bola merah Bola putih 5 4 7 3 8 20 13 9 10 14 33 Mula-mula satu kotak dipilih secara acak,kemudian dari kotak yang terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih Berapa peluang yang sama untuk terpilih Berapa peluang bahwa bola itu merah ? Berapa peluang bahwa bola itu putih ? Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1 ? Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2 ?