Tim Dosen Kalkulus 2 Tahun Akademik 2010/2011 Turunan Parsial Tim Dosen Kalkulus 2 Tahun Akademik 2010/2011 Tim Kalkulus 2

Turunan Fungsi dua Variabel Turunan Parsial. Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka : (i). x berubah-ubah sedangkan y tertentu. (ii). y berubah-ubah sedangkan x tertentu. Tim Kalkulus 2

Turunan Fungsi dua Variabel Definisi i) Turunan parsial terhadap variabel x Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap x sbb : Tim Kalkulus 2

Turunan Fungsi dua Variabel ii) Turunan parsial terhadap variabel y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y, Turunan parsial z = f(x,y) terhadap y sbb : Tim Kalkulus 2

Menentukan nilai turunan menggunakan limit Contoh: a. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap x jika f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f(x,y) = x2 + 2y maka Tim Kalkulus 2

Menentukan nilai turunan menggunakan limit b. Tentukan turunan parsial fungsi f terhadap y jika f(x,y) = x2 + 2y Tim Kalkulus 2

Menentukan nilai turunan Contoh: Jika z = ln (x2 + y2) tunjukkan bahwa Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu Selanjutnya tentukan nilai Tim Kalkulus 2

z = ln (x2 + y2) , turunan parsial terhadap x dan y Lanjutan Contoh z = ln (x2 + y2) , turunan parsial terhadap x dan y dan maka : Tim Kalkulus 2

Turunan Parsial Tingkat Dua Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai turunan parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai turunan parsial yang disebut turunan parsial tingkat dua. Tim Kalkulus 2

Turunan Parsial Tingkat Dua Turunan parsial tingkat dua dinyatakan sbb: Tim Kalkulus 2

Menentukan nilai turunan parsial tingkat dua Contoh Tentukan turunan parsial tingkat dua untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2 Jawab : Turunan parsial tingkat satu dari fungsi: fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2 fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y Jadi turunan parsial tingkat dua fxx (x,y) = 2y + 4y2 fyy (x,y) = 4 x2 fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 dan fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3 Tim Kalkulus 2

Turunan Parsial Tingkat Tiga Turunan parsial ketiga dan yang lebih tinggi dinyatakan dalam bentuk yang sama. Tim Kalkulus 2

Turunan Parsial dari Fungsi Lebih dari Dua Variabel Untuk fungsi tiga variabel f(x,y,z), terdapat tiga turunan parsial fx (x,y,z), fy (x,y,z), dan fz (x,y,z) Turunan parsial fx diperoleh dengan menganggap y dan z konstan dan menurunkan pada variabel x. Untuk fy , variabel x dan z konstan, dan untuk fz variabel x dan y konstan. Tim Kalkulus 2

Turunan Parsial dari Fungsi n Variabel Secara umum, jika f(v1,v2,…,vn) adalah fungsi n variabel, maka terdapat n turunan parsial dari f, dimana ada n-1 variabel tetap dan menurunkan pada variabel yang bersangkutan. Jika w=f(v1,v2,…,vn), maka turunan parsialnya dinyatakan dengan Tim Kalkulus 2

Turunan Parsial dari Fungsi n Variabel dimana diperoleh dengan menganggap semua variabel kecuali vi tetap dan menurunkan pada variabel vi. Tim Kalkulus 2

Contoh: Jika f(x,y,z)=x3y2z4+2xy+z, tentukan fx , fy , fz , dan fz (-1, 1, 2) Contoh : Jika tentukan Tim Kalkulus 2