Multipel Integral Integral Lipat Dua

Presentasi berjudul: "Multipel Integral Integral Lipat Dua"— Transcript presentasi:

1 Multipel Integral Integral Lipat Dua
TIM DOSEN PENGAJAR KALKULUS 2

2 Penyelesaian integral untuk fungsi dua variabel
Partisi daerah tertutup R di bidang xy menjadi persegi panjang - persegi panjang kecil, nyatakan luas dari persegi panjang – persegi panjang ini sebagai Pilih titik sembarang dalam persegi panjang – persegi panjang tersebut, katakan

3 Partisi Daerah R . R x y Ui Vi

4 Penyelesaian integral untuk fungsi dua variabel
Tentukan jumlah Riemann Untuk , maka nilai limit jumlah riemann diatas sama dengan nilai integralnya.

5 Contoh Tentukan jumlah doubel Riemann
Dimana D1 adalah daerah persegi dengan batas-batas sebagai berikut dan

6 Integral Lipat Dua Dalam kasus khusus dimana f(x,y) fungsi nonnegatif atas daerah R, integral lipat diinterpretasikan sebagai volume benda solid yang dibatasi atas dengan permukaan z= f(x,y) dan bawah dibatasi daerah R. Jika fungsi f(x,y) atas daerah R bernilai positif dan negatif , integral lipat bisa diinterpretasikan sebagai selisih dari volume. Volume diatas bidang xy antara z= f(x,y) dan R dikurangi volume di bawah bidang xy antara z= f(x,y) dan R.

7 Sifat-Sifat Integral Lipat Dua
1. , c suatu konstanta Jika daerah R merupakan gabungan dari beberapa daerah, katakan maka,

8 Theorema Misal R daerah persegi panjang yang didefinisikan dengan pertidaksamaan jika f(x,y) kontinu atas daerah persegi panjang ini, maka

9 Contoh Selesaikan integral atas daerah Selesaikan integral atas daerah

10 Integral Lipat Untuk Daerah Bukan Persegi Panjang
Theorema 1. Jika R adalah daerah tipe I (gambar (i)) dimana f(x,y) kontinu, maka 2. Jika R adalah daerah tipe II (gambar (i))dimana f(x,y) kontinu, maka

11 Daerah Tipe I dan Tipe II
c d y = g2(x) y = g1(x) a b x y (i) x = h1(y) x = h2(y) (ii)

12 Contoh Hitung Hitung pada daerah R yang tertutup antara  

13 Perubahan Batas Integral
Kadang untuk menyelesaikan integral dapat disederhanakan dengan membalikkan batas integralnya Contoh Hitung

14 Hitunglah integral Integrannya dxdy, daerah R adalah tipe II. Bagian kiri dan kanannya dibatasi x = y1/2 dan x = 2 dan Dengan merubah R menjadi daerah tipe I yang memiliki batas bawah dan atas, yaitu y = 0 dan y = x2 dan (2,4) y 4 x = y1/2 2 x y = x2 tipe 2 tipe 1

15 Interpretasi Integral Lipat Dua
menyatakan volume benda solid S yang dibatasi oleh permukaan z = f(x,y) dan dibawah oleh daerah R. Volume dari S juga dapat dinyatakan sebagai Vol (S) = dimana A(x) luas daerah melintang pada titik tetap x.

16 Interpretasi Integral Lipat Dua
Daerah melintang ini diperpanjang dari g1(x) ke g2(x) sepanjang sumbu Y. A(x) = dengan mensubstitusikannya, diperoleh Vol (S) = =

17 Volume Benda y z y = gi(x) ui xi--1 b a  (x,y,0) P(x,g1,(x),0)
(x,y,f(x,y)) (x,y,0) P(x,g1,(x),0) Q(x,g2,(x),0) x R C