II. Pengujian rata-rata k populasi Metoda Anova (Analysis of Varians) Anova  metoda untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yg mengukur berbagai sumber keragaman Dalam percobaan ada 2 komponen : - Mengukur varian yg disebabkan oleh kesalahan percobaan - Mengukur varian yg disebabkan kesalahan percobaan plus keragaman yg disebabkan oleh jenis kelompok (mis : varitas, kelas, pengajar, dll) Dengan kata lain : Anova membagi total variasi menjadi : - Varian between k samples; - Varian within k samples Seringkali kita ingin menguji apakah tiga atau lebih pop. Memiliki rata-rata yg sama. Contoh : apakah bahan bakar/km yg digunakan untuk beberapa merek mobil sama ?, pendapatan pekerja pada beberapa lap. Pekerjaan, atau biaya produksi yg menggunakan beberapa proses yg berbeda.

Kita dapat menggunakan cara seperti yg lalu untuk menguji kesamaan rata-rata dua populasi, tetapi hal tsb. akan memakan waktu dan perhitungan yg lebih lama. Sbg contoh : jika ada 5 pop, maka ada 5C2 cara/perhitungan yg harus dilakukan. Untuk itu kita ingin melakukan uji secara simultan/keseluruhan populasi tsb. dengan menggunakan distribusi F dan metoda yg disebut  ANOVA (Analysis of Variance) Anova satu arah :  perbedaan varian yg disebabkan oleh, misalkan : - perbedaan tempat petak sawah (kesalahan percobaan) - Perbedaan yg disebabkan petak sawah dan jenis varitas Anova dua arah : - perbedaan tempat petak sawah - perbedaan yg disebabkan oleh petak sawah dan jenis varitas - perbedaan yg disebabkan oleh petak sawah dan jenis pupuk Untuk selanjutnya akan dibahas Anova satu arah :

Misalkan ada k populasi masing2 berdistribusi normal dan berukuran n, saling bebas dan mempunyai rata2 µ1, µ2 … µk dan varian 2 (ragam sama) : maka untuk menguji H0 : µ1= µ2 = … = µk H1 : sekurang2nya ada dua nilai tengah tidak sama, dapat disusun nilai pengamatan untuk masing2 pop.:

Pengujian akan didasarkan pada perbandingan nilai dugaan yg bebas bagi ragam populasi 2 . Nilai dugaan tsb. dapat diperoleh dengan menguraikan keragaman total menjadi 2 komponen, dimana:   Varian total : Pembilang dari S2 ( ) merupakan jumlah kuadrat total (JKT/SST), yang mengukur keragaman total dalam data keragaman tsb. Dapat diuraikan menjadi:   (Pembuktian lihat di buku Walpole)

Sehingga: utk n yg berbeda atau SS1+SS2+ …. + SSk. ’ Sehingga: utk n yg berbeda atau SS1+SS2+ …..+ SSk .’. JKT = JKK + JKG SST = SSB + SSW Nilai dugaan bagi 2, yg didasarkan pada k-1 derajat bebas adalah : Jika H0 benar, S12 merupakan penduga tak bias bagi 2

Nilai dugaan bagi 2 yg lain, yang didasarkan pada k(n-1) derajat bebas :   Nilai dugaan tersebut bersifat unbiased, baik H0 benar atau salah. Varian seluruh data yang mempunyai nk-1 derajat bebas : yg merupakan unbiased estimate bagi bila H0 benar. Jika H0 benar, maka MSW dan MSB merupakan unbiased estimator dari 2 , dan rasio : merupakan nilai peubah acak F yg berdistribusi Fisher dengan (k-1) dan k(n-1) derajat bebas dan F tidak berbeda nyata dari 1. Maka, jika F mendekati 1, data tidak memberikan bukti kuat untuk menolak H0. Sebaliknya jika arat2 pop berbeda, MSB cenderung overestimate 2 sementara MSW tetap unbiased estimator bg 2 . Konsekuensi jika Ho salah, F stat cenderung melebihi 1, shg nilai F yg besar memberikan bukti kuat untuk menolak Ho

Karena MSB (S12) overestimate 2 bila H0 salah, maka kita punya uji satu arah dengan wilayah kritiknya terletak seluruhnya di ujung kanan sebaran/ distribusi F. Sehingga H0 ditolak pada taraf nyata α, jika : ƒ > ƒα (k-1), k(n-1) Jika analisa tersebut disusn dalam sebuah tabel, maka dikenal dengan Tabel ANOVA, seperti berikut:

Penghitungan bagi SST, SSB , dan SSW: atau → atau

Tes kesamaan rata-rata populasi untuk k populasi, didasarkan pd asumsi: Observasi xij adalah independen Varian masing-masing populasi adalah σ2 Masing2 populasi, xij berdistribusi normal Anova tes didasarkan pd cara yg berbeda dlm mengestimasi σ2. Dalam melakukan uji dgn Anova, ke-3 asumsi tsb harus dipenuhi jika tidak maka tdk dpt dilakukan pengujian. Dalam pengujian dengan Anova, untuk n yg sama lebih menguntungkan kr: Nilai rasio f tdk peka terhadap penyimpangan dari asumsi homogenitas Meminimumkan peluang melakukan galat jenis II (terima Ho/Ho salah) Perhitungan JKK(SSB) lebih sederhana

Dalam uji hipotesa: Ho → hipotesa yg ingin ditolak, tetapi jika pengujian tsb merpkn syarat/asumsi yg hrs dipenuhi dalam pengujian selanjutnya, maka; Ho → hipotesa yg ingin diterima Untuk uji hipotesa: perbedaan dlm sampel merupakan: Kebetulan? Atau indikasi adanya perbedaan sebenarnya dalam populasi Dalam artian apakah perbedaan dlm rata-rata sampel cukup untuk membuat kesimpulan bahwa rata2 pop berbeda Dalam ANOVA, jika variasi masing2 sampel (within) kecil, maka xˉi mrpkn penduga yg baik bagi µi, dan perbedaan rata2 antar sampel dpt mrpkn indikasi adanya perbedaan rata2 populasi. Jika varian within besar → xˉi ≠ μi, dan perbedaan rata2 antar sampel tdk langsung mengindikasikan bahwa μi berbeda

Contoh soal Indeks polusi untuk lima kota diambil dlm delapan hari secara random. Ujilah kesamaan rata2 populasi dari lima kota tsb dgn α = 5% Kota 1 108 25 2 111 28 3 116 26 4 104 32 5 109 36

UJI WILAYAH BERGANDA Dari hsl pengujian kesamaan rata2 populasi dgn ANOVA, jika keputusan adlh menolak Ho. Maka kita pada kesimpulan bahwa tidak semua µ sama (paling sedikit ada dua g tdk sama). Namun kita tdk tahu yg mana yg berbeda. Uji untuk memisahkan sekelompok µ yg berbeda nyata mjd kel. yg homogen → UJI WILAYAH BERGANDA DUNCAN DAN UJI TUKEY UJI DUNCAN Kita asumsikan : tolak Ho, dan ada k pop dimana contoh yg diambil (n) berukuran sama Wil p rata2 contoh harus melampaui nilai ttt, sebelum dpt mengatakan bhw p nilai tengah pop berbeda →wil nyata terkecil bg p Hipotesis: Ho : µi = µj i ≠ j H1 : µi ≠ µj

S2 mrpkn dugaan bg σ2, diperoleh dari MSE (kuadrat tengah galat) Rp = rp.SE = rp. √S2/n S2 mrpkn dugaan bg σ2, diperoleh dari MSE (kuadrat tengah galat) Rp tergantung dr α dan derajat bebas dr MSE(MSW) (lihat tabel A.11) Cara penghitungan: Urutkan dari yg kecil ke besar misalkan; Cari S2 (MSE) , dlm hal ini = 2.880 dan dof = 20, α = 0, 05 Cari rp di Tabel A.11 Rp = rp. √S2/n 2,8 4,0 5,2 6,6 7,8 p 2 3 4 5 rp 2,950 3,097 3,190 3,225 Rp 2,24 2,35 2,42 2,47

Jika selisih rata2 contoh > dari Rp, maka tolak Ho, misalkan; 5. Bandingkan wil nyata t’kecil itu dgn selisih rata2 contoh yg telah diurutkan: Jika selisih rata2 contoh > dari Rp, maka tolak Ho, misalkan; - x¯2 - x¯5 = 7,8 – 6,6 = 1,2 dan < R2 = 2,24 maka x¯2 dan x¯5 tdk berbeda nyata → µ2 dan µ5 tdk berbeda nyata - x¯2 - x¯1 = 7,8 – 5,2 = 2,6 dan > R3 = 2,35, maka x¯2 lebih besar secara nyata dari x¯1 → µ2 > µ1 yg berarti µ2 > µ3 dan µ2 > µ4 kita tidak perlu lg menghitung selisih x¯2 dgn x¯3 dan x¯4 x¯5 - x¯1 = 6,6 – 5,2 = 1,4 dan < R2 = 2,24 , maka x¯5 dan x¯1 tidak berbeda nyata dst... Sehingga kita menarik garis di bwh rata-rata contoh yg tidak berbeda nyata: 2,8 4,0 5,2 6,6 7,8

Dari hsl tsb dapat diambil kesimpulan rata2 nilai tenga pop yg tidak sama: µ2 > µ1 , µ2 > µ3 , µ2 > µ4 µ5 > µ3 , µ5 > µ4 µ1 > µ4 2. UJI TUKEY Ho : µi = µj i ≠ j H1 : µi ≠ µj Stat uji : Tα = qα (k,f) Sx⁻i k = banyaknya perlakuan f = d.o.f Sx⁻i = simp baku nilaitengah (√S2/n) qα (k,f) → lihat tabel “studendized range statistik” Daerah kritis: Tolak Ho jika > Tα

Contoh : Diket: Sx¯ = 0,142 x⁻1 = 2,460 x⁻2 = 2,458 x¯3 = 3,645 Ho : µi = µj i ≠ j H1 : µi ≠ µj qα (k,f) = q0,05 (3,12) = 3,77 T0.05 = (3,77) (0,142) = 0,535 x⁻2 = 2,458 x⁻1 = 2,460 x¯3 = 3,645 = ǀ2,460 – 2,458ǀ = 0,002 0,002 < 0,535 → Ho tdk ditolak = 1,185 → 1,1185 > 0,535 → Ho ditolak