SMPN 13 Semarang Jl. Lamongan Raya Semarang Sistem Persamaan Linier Dua Variabel: Bagaimana Memahami Himpunan Penyelesaian? Disajikan oleh: Tri Hartati, S.Pd. SMPN 13 Semarang Jl. Lamongan Raya Semarang Kontributor: Isnarto-S3 Pend. Matematika UPI

PENGERTIAN HIMPUNAN PENYELESAIAN DARI SPLDV Himpunan penyelesaian (disingkat HP) dari suatu SPLDV adalah himpunan yang memuat semua pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi semua persamaan dalam SPLDV tersebut. SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI

Ada beberapa cara (metode), antara lain: Pertanyaan: Bagaimanakah menentukan himpunan penyelesaian SPLDV? Ada beberapa cara (metode), antara lain: 1. Metode Grafik 2. Metode Eliminasi 3. Metode Substitusi SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI 4. Metode Gabungan Eliminasi-Substitusi

Penguatan Pemahaman Himpunan Penyelesaian melalui Metode Grafik Catatan: Dalam bentuk grafik, anggota HP adalah titik yang dilalui oleh semua garis dalam SPLDV. SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI

Jawab: 1 + 2 = 3 (benar) 1 - 2 = -1 (benar) Jadi(1,2) anggota HP. Contoh 1 Diketahui SPLDV: x + y = 3, x – y = -1. Apakah pasangan (1,2) anggota HP? Jawab: SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI 1 + 2 = 3 (benar) 1 - 2 = -1 (benar) Pasangan (1,2) memenuhi semua persamaan. Jadi(1,2) anggota HP.

Kesimpulan: (3,0) bukan anggota HP. Contoh 1 Diketahui SPLDV: x + y = 3, x – y = -1. Apakah pasangan (3,0) anggota HP? Jawab: 3 + 0 = 3 (benar), 3 - 0 = -1 (salah). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI Tidak semua persamaan dipenuhi oleh (3,0). Kesimpulan: (3,0) bukan anggota HP.

Contoh 1 Diketahui SPLDV: x + y = 3, x – y = -1. HP = {(1,2)} 4 2 1 O -1 (1,2) x + y = 3 x – y = -1 Contoh 1 Diketahui SPLDV: x + y = 3, x – y = -1. SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI HP = {(1,2)} SPLDV pada Contoh 1, mempunyai tepat satu anggota himpunan penyelesaian.

Apakah pasangan (0,2) anggota HP? Contoh 2 Diketahui SPLDV: x - 2y = -4, -2x + 4y = 8. Apakah pasangan (0,2) anggota HP? Pasangan (0,2) anggota HP karena: 0 - 2.2 = -4 (benar), dan -2.0 + 4.2 = 8 (benar). Semua persamaan dipenuhi oleh (0,2). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI

Apakah pasangan (4,4) anggota HP? Contoh 2 Diketahui SPLDV: x - 2y = -4, -2x + 4y = 8. Apakah pasangan (4,4) anggota HP? Pasangan (4,4) anggota HP karena; 4 – 2.4 = -4 (benar), dan -2.4 + 4.4 = 8 (benar). Semua persamaan dipenuhi oleh (4,4). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI

Apakah pasangan (2,5) anggota HP? Contoh 2 Diketahui SPLDV: x - 2y = -4, -2x + 4y = 8. Apakah pasangan (2,5) anggota HP? Pasangan (2,5) bukan anggota HP karena; 2 – 2.5 = -4 (salah), dan -2.2 + 4.5 = 8 (salah). Semua persamaan tidak dipenuhi oleh (2,5). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI Kesimpulan: (0,2) dan (4,4) anggota HP, tetapi (2,5) bukan anggota HP. Anggota HP tidak hanya satu (tidak tunggal).

Contoh 2 Diketahui SPLDV: x - 2y = -4, -2x + 4y = 8. 3 4 2 1 O -1 5 6 -2x + 4y = 8 Contoh 2 Diketahui SPLDV: x - 2y = -4, -2x + 4y = 8. x – 2y = -4 SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI HP = {(0,2),(1,2 𝟏 𝟐 ), 𝟐,𝟑 ,…}, semua titik di sepanjang garis merupakan anggota HP. SPLDV pada Contoh 2, mempunyai tak terhingga anggota himpunan penyelesaian.

Apakah pasangan (0,2) dan (3,3) anggota HP? Contoh 3 Diketahui SPLDV: x - 2y = 1, -2x + 4y = 8. Pasangan (0,2) bukan anggota HP karena; 0 – 2.2 = 1 (salah), meskipun -2.0 + 4.2 = 8 (benar). Tidak semua persamaan dipenuhi oleh (0,2). Pasangan (3,3) bukan anggota HP karena; 3 – 2.3 = 1 (salah), dan -2.3 + 4.3 = 8 (salah). Semua persamaan tidak dipenuhi oleh (3,3). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI Pertanyaan: Pasangan mana yang merupakan anggota HP?. Ada atau tidak?

HP = { }. Tidak ada titik yang dilalui oleh kedua garis. 3 4 2 1 O -1 5 6 x – 2y = 1 -2x + 4y = 8 Contoh 3 Diketahui SPLDV: x - 2y = 1, -2x + 4y = 8. SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI HP = { }. Tidak ada titik yang dilalui oleh kedua garis.

Apakah pasangan (3,2) dan (1,1) anggota HP? Pasangan (3,2) anggota HP karena; 2.3 + 3.2 = 12 (benar), 2.3 – 2 = 4 (benar), dan 2.3 – 3.2 = 0 (benar). Semua persamaan dipenuhi oleh (3,2). Contoh 4 Diketahui SPLDV: 2x + 3y = 12 2x – y = 4 2x – 3y = 0 Pasangan (1,1) bukan anggota HP karena; 2.1 + 3.1 = 5 (salah), 2.1 – 1 = 4 (salah), dan 2.1 – 3.1 = 0 (salah). Tidak ada persamaan yang dipenuhi oleh (1,1). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI Kesimpulan: (3,2) anggota HP. Mungkinkah memuat pasangan yang lain?

Contoh 4 Diketahui SPLDV: 2x + 3y = 12 2x – y = 4 2x – 3y = 0 -1 5 6 (3,2) 2x+3y =12 2x-3y = 0 2x-y = 4 Contoh 4 Diketahui SPLDV: 2x + 3y = 12 2x – y = 4 2x – 3y = 0 SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI HP = {3,2}. Terdapat satu titik yang dilalui oleh ketiga garis. SPLDV ini mempunyai solusi tunggal.

Pasangan (0,2) bukan anggota HP karena; 0 + 2 = 5 (salah), meskipun 0 + 4.2 = 8 (benar), dan 2.0 – 2 = -2 (benar). Tidak semua persamaan dipenuhi oleh (0,2). Contoh 5 Diketahui SPLDV: x + y = 5 x + 4y = 8 2x – y = -2 Pasangan (4,1) bukan anggota HP karena; 4 + 1 = 5 (benar), 4 + 4.1 = 8 (benar), tetapi 2.1 – 1 = -2 (salah). Tidak semua persamaan dipenuhi oleh (4,1). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI Apakah (0,2) dan (4,1) anggota HP? Pertanyaan: Pasangan mana yang merupakan anggota HP?. Ada atau tidak?

HP = { }. Tidak ada titik yang dilalui oleh ketiga garis sekaligus. x + 4y = 8 3 4 2 1 O -1 (1,4) 5 6 (0,2) (4,1) x + y = 5 2x – y = -2 Contoh 5 Diketahui SPLDV: x + y = 5 x + 4y = 8 2x – y = -2 SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI HP = { }. Tidak ada titik yang dilalui oleh ketiga garis sekaligus.

Kesimpulan Terdapat 3 jenis SPLDV: 1. Mempunyai solusi tunggal. Semua garis melalui satu titik. (Contoh 1 dan 4). 2. Mempunyai solusi tak terhingga. Garis-garisnya berimpit. Semua titik pada garis merupakan anggota himpunan penyelesaian. (Contoh 2). SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI 3. Tidak mempunyai solusi (HP = { }). Tidak ada titik yang dilalui oleh semua garis. (Contoh 3 dan 5).

SELESAI SELAMAT BELAJAR SMPN 13 SEMARANG S-3 PEND. MATEMATIKA UPI