MODUL 13 http://www.mercubuana.ac.id Distribusi Binomial 8-1. Eksperimen binomial dan percobaan Bernoulli (Bernoulli trial) Suatu eksperimen mungkin terdiri dari serangkaian percobaan yang bersifat independen dan tiap percobaan dapat menghasilkan 2 macam hasil yang berbeda. Dalam teori probabilita, istilah eksperimen tidak usah harus diartikan eksperimen dalam laboratorium. Segala tindakan yang menyerupai suatu eksperimen dapat juga dianggap sebagai suatu eksperimen dalam arti statistik. Kami akan kemukakan beberapa contoh mengenai eksperimen demikian. a. b. Mesin A dipakai untuk memprodusir barang x sebanyak 1.000 unit dan setiap hasil produksi x dapat digolongkan ke dalam “barang x yang baik” dan “barang x yang cacad”. Di sini eksperimen statistik terdiri dari 1.000 percobaan sedangkan hasilnya dapat digolongkan ke dalam “x yang baik” dan “x yang cacad”. Bila seorang memilih secara random sehelai kartu dari setumpuk kartu bridge, kartu yang terpilih dapat merupakan “kartu as” atau “bukan kartu as”. c. Hasil pertandingan sepak bola dapat juga digolongkan ke dalam “menang” dan “kalah”. d. Pelemparan uang logam dapat menghasilkan “K” atau “bukan K” Dalam analisa statistik, eksperimen/peristiwa yang memiliki 2 hasil alternatif seperti di atas ternyata sangat penting dan luas sekali kegunaannya. Dalam beberapa hal, kita hanya ingin mengetahui kemungkinan terwujudnya suatu peristiwa yang tertentu atau terwujudnya hasil yang tertentu, sehingga pengasingan hasil-hasil lain yang tidak relevan bagi maksud tujuan kita ke dalam suatu golongan yang khusus dianggap perlu sekali. Misalnya, pada pelemparan sekeping uang logam sebanyak n kali, berapakah probabilita hasil “1 K”. Di sini, yang kita bedakan hasil pelemparan ke dalam “1 K” dan bukan “1 K” . Eksperimen di atas seringkali terdiri dari beberapa percobaan yang identik, bahkan eksperimen itu sendiri dapat diulang hingga berkali-kali. Bila 3 butir dadu dilempar sekali atau sebutir dadu dilempar 3 kali, maka setiap lemparan dengan timbulnya mata dadu tertentu merupakan suatu percobaan dan ketiga percobaan di atas dapat membentuk suatu eksperimen. Sudah tentu, satu eksperimen yang terdiri dari 3 lemparan dadu dapat dilakukan sampai berkali-kali, sehingga kita memperoleh eksperimen yang diulang berkali-kali. Betapa pun juga, hasil percobaan hanyalah 2 macam. Secara statistik, kita selalu menyatakan salah satu dari kedua hasil tiap percobaan dengan istilah sukses sedangkan hasil yang lain http://www.mercubuana.ac.id

b. Probabilita sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan c. Setiap percobaan harus bersifat independen. d. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus dengan p. tertentu. Seluruh hasil dari serangkaian percobaan Bernoulli harus dapat digolongkan ke dalam 2 golongan saja, sukses atau gagal. Jelas sudah bahwa pengertian sukses dan gagal sebenarnya sama dengan pengertian A dan komplimennya A. Meskipun demikian, kami tidak menolak kenyataan bahwa hasil suatu percobaan mungkin lebih dari 2 macam. Hasil pertandingan sepak bola tidak usah harus menang atau kalah, tetapi mungkin seri. Kenyataan di atas tidaklah mengurangi kegunaan arti eksperimen binomial serta percobaan binomial, karena kita hanya berminat untuk mengetahui sesuatu yang tertentu dan terwujudnya “sesuatu” tersebut merupakan “sukses” sedangkan terwujudnya sesuatu yang lain dapat kita anggap sebagai “gagal”. Jadi, syarat a dari percobaan Bernoulli tidaklah “destruktif” ditinjau dari kegunaan konsep percobaan Bernoulli sendiri. Tiap-tiap percobaan harus memiliki probabilita sukses yang identik. Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak sekali, probabilita timbulnya mata dadu 6 ialah 1/6. Bila dadu dilempar sebanyak n kali (n percobaan) maka pada tiap pelemparan, probabilita timbulnya mata dadu 6 harus tetap 1/6. Hal tersebut berarti, p haruslah konstan. Bila sekeping uang logam dilempar 100 kali, maka pelemparan tersebut merupakan 100 percobaan Bernoulli di mana setiap percobaan selalu menghasilkan “sukses” (misalnya K) atau “gagal (misalnya E) dan probabilita bagi K adalah sama untuk tiap-tiap pelemparan dalam 100 pelemparan. Bila uang logam di atas setimbang, maka p =1/2 dan 1 – p = q = ½. Tetapi bila uang logam di atas tidak setimbang, maka p ≠ ½. Dalam suatu proses produksi, sebuah mesin otomatis dipakai untuk memprodusir barang x. Andaikata, pada tiap produksi sebanyak 50.000 unit x dianggap sebagai satu “run” dan jika setelah mengalami pengawasan, tiap x yang dihasilkan per run dapat digolongkan dalam “x yang baik” dan “x yang cacad”, maka kita dapat menganggap produksi per run sebagai suatu eksperimen dan produksi per x sebagai satu percobaan dengan hasil “sukses” bagi “x yang cacad” dan “gagal” bagi “x yang baik”. Jika kita percaya bahwa p adalah konstan bagi setiap produksi x (operasi mesin memiliki probabilita yang sama untuk menghasilkan x yang cacad pada tiap percobaan atau produksi per x), maka production run di atas dapat dianggap sebagai suatu proses Bernoulli dengan 50.000 percobaan. Probabilita bagi “sukses” pada tiap percobaan dinamakan fraksi cacad rata-rata dari proses produksi. Suatu sekuens (urutan) dari sebarang percobaan-percobaan (tidak usah percobaan Bernoulli) dapat dianggap sebagai suatu proses di mana hasil dari tiap percobaan terjadi sesudah percobaan yang bersangkutan dilaksanakan. Proses sedemikian ini dinamakan proses stokhastis atau proses random, http://www.mercubuana.ac.id

http://www.mercubuana.ac.id di mana r = 0, 1, ... , n dan x = 0, 1, ... , n. Dalam seksi ini, kami akan memberi uraian tentang suatu teknik yang khusus untuk memecahkan persoalan di atas bila x = 0, 1, . . . , n. Bila probabilita timbulnya K dinyatakan dengan p dan probabilita timbulnya E dinyatakan dengan 1-p atau q, berapakah probabilita timbulnya K sebanyak x pada pelemparan uang Iogam sebanyak n kali? Pada pelemparan sekeping uang Iogam sebanyak 2 kali, hanya 4 peristiwa yang mungkin terwujud dan hal tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah ruang sampel sebagai berikut, S = {(K, K), (K, E), (E, K), (E, E)} Bila hasil kedua lemparan di atas merupakan peristiwa yang independen, maka hasil probabilita di atas dapat dinyatakan sebagai pp, pq, qp dan qq atau secara singkat dapat ditulis sebagai p2, 2pq, q2. Bila sekeping uang logam dilempar 3 kali, maka hasilnya dapat dinyatakan dalam sebuah ruang sampel sebagai berikut, S = {(KKK), (KKE), (KEK), (EKK), (KEE), (EKE), (EEK), (EEE)} Probabilita hasil di atas dapat juga ditulis sebagai ppp, ppq, pqp, qpp, pqq, qpq, qqp dan qqq. Probabilita timbulnya 1K (atau dengan sendirinya 2E) menjadi pqq + qpq + qqp = 3pq2, sehingga bila p = 1/2 dan q = 1/2, maka probabilitanya menjadi 3(1/2)(1/2)2 = 3/8. Probabilita timbulnya 2K menjadi 3p2q dan seterusnya. Persoalan pelemparan sekeping uang logam sebanyak 3 kali merupakan sebuah eksperimen yang terdiri dari 3 percobaan Bernoulli dengan probabilita p bagi sukses dan q bagi gagal. Seluruh kemungkinan hasil pelemparan 3 keping uang logam ialah 2n atau 23= 8 seperti yang dinyatakan dalam ruang sampel di atas. Bila variabel random X menyatakan timbulnya jumlah K pada pelemparan 3 keping uang logam di atas, maka fungsi probabilita bagi variabel random X dapat dinyatakan dalam Tabel 8.2.1. TABEL 8.2.1. Iogam Fungsi probabilita timbulnya jumlah K pada percobaan pelemparan dengan 3 keping uang http://www.mercubuana.ac.id