Probabilitas Sheldon M Ross, Introduction Probability and Statistics for Engineers and Scientists, 2004 Oliver C. Ib, Fundamentals of Applied Probability and Random Proceses, 2005 John A Gubner, Probability and random Processes for Electrical and Computer Engineers, 2006 KA Stroud, Engineering Mathematics ,2001 Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Probabilitas Probabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian (event) untuk terjadi dalam suatu percobaan atau eksprimen yang dilaksanakan dalam kondisi tertentu. Setiap kemungkinan yang dihasilkan dari percoban disebut hasil (outcome) Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percoban statistika disebut ruang sample (sample space) Contoh : Pelemparan mata uang logam S ={ M, B } Pelemparan sebuah dadu S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Kejadian (Event) Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sample. Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah semua unsur S yang tidak termasuk A. Komplemen A dinyatakan dengan lambang A’, Ac Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan A B, adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B Kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah bila A B = Ø, yakni bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan lambang AUB, adalah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.(Union) Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Diagram Venn S S S S S Ø Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Kombinatorik Menghitung Titik Sample Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi dapat dikerjakan dengan n3 cara dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1.n2.n3…nk Contoh : Berapakah titik sample dalam ruang sample bila dua buah dadu dilempar sekali ? Dadu pertama dapat menghasilkan n1 = 6 posisi. Untuk tiap posisi tersebut dadu kedua dapat menghasilkan n2 =6 posisi. Jadi pasangan dadu tersebut dapat menghasilkan n1.n2 = (6).(6) = 36 posisi Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Permutasi Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. Contoh : Ambilah 3 buah hurup a,b,c. Permutasi yang dapat dibuat : abc, acb, bac, bca, cab dan cba, ada n1 = 3 pilihan untuk tempat pertama, n2=2 untuk tempat kedua dan menyisakan hanya n3 =1 untuk tempat ketiga, jadi jumlah permutasi yang dapat dibuat oleh 3 hurup tersebut (3)(2)(1) = 6 permutasi Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n! n faktorial adalah n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) Definisi : 1! = 1, 0! = 1 Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah Contoh : Banyaknya permutasi empat buah hurup a,b,c dan d adalah 4! =24. Banyaknya permutasi yang dapat dibuat dari 4 hurup bila dua 2 hurup diambil sekaligus. Permutasi tersebut adalah : ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dan dc Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Kombinasi Kombinasi adalah banyaknya cara memilih r benda dari sejumlah n tanpa memperdulikan urutannya. Banyaknya kombinasi dar n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r sekaligus adalah Contoh : Bila ada 4 orang Elektro dan 3 orang Informatika. Carilah banyaknya panitia 3 orang yang dibuat yang beranggotakan 2 elektro dan 1 Informatika Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian Banyaknya cara memilih 2 Elektro dari 4 adalah : Banyaknya cara memilih seorang Informatika dari 3 adalah : Jadi sesuai dengan teorema permutasi n1 =6 dan n2 = 3 , maka didapat n1 n2 =(6)(3) =18 panitia yang terdiri dari 2 Elektro dan 1 Informatika Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Definisi Probabilitas Klasik Contoh : Pelemparan sebuah dadu. S= 1, 2 ,3 ,4, 5, 6 P(enam) = 1/6, P(bukan enam)=5/6 Kejadian {bukan A} dikatakan komplemen dari kejadian {A} yaitu : P(Ac) = 1- P(A) Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Definisi Probabilitas Empiris/Relatif Frekuensi Probabilitas empiris didasarkan pada hasil-hasil sebelumnya yang diketahui. Frekuensi relatif dari banyaknya ulangan suatu kejadian telah muncul sebelumnya merupakan suatu indikasi tentang kemungkinan kemunculannya dikemudian hari. Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Difinisi Probabilitas Aksioma Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Kejadian Mutually Exclusive Kejadian terputus (mutually exclusive) adalah kejadian yang tidak terjadi secara bersamaan. Contohnya pada pelemparan sebuah dadu, kejadian untuk mendapatkan angka enam dan mendapatkan angka lima tidak mungkin terjadi pada waktu yang sama Ø Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Kejadian Mutually Non-Exclusive Kejadian berbarengan (mutually non-exclusive adalah kejadian-kejadian yang dapat terjadi secara bersamaan.Sebagai contoh pada pelemparan sebuah dadu, kejadian mendapatkan angka yang merupakan kalipatan 3 dan kejadian memperoleh angka kalipatan 2 dapat terjadi bersamaan jika angka 6 diperoleh Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Aturan Penjumlahan Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Jika ada n kemungkinan hasil suatu percobaan dan x menghasilkan kejadian A dan y menghasilkan kejadian B, maka jika kejadian A dan B mutual exclusive, probabilitas P baik bagi munculnya kejadian A atau B dan tentu saja bukan keduanya maka Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Jika kejadian A dan B berbarengan, sedemikian sehingga kejadian A dan B dapat terjadi bersamaan, maka probabilitas munculnya A atau B adalah : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh pelemparan sebuah dadu. Probabilitas munculnya angka kalipatan 3 ( yaitu 3 atau 6) =2/6 P(A) Probabilitas munclnya angka kalipatan 2 (yaitu 2, 4, 6)= 3/6 P(B) P(A)=2/6; P(B)= 3/6; P(A dan B)=1/6 P(A atau B)=P(A) + P(B) – P(A dan B)=2/6+3/6 – 1/6 =2/3 Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Probabilitas Bersyarat Probabilitas terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). Lambang P(B|A) dibaca peluang B terjadi bila diketahui A terjadi. Peluang bersyarat B bila A diketahui dinyatakan dengan P(B|A) ditentukan oleh : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Sebuah kotak berisi lima resistor 10 Ω dan dua belas resistor 30 Ω. Resistor-resistor ini tidak ditandai dan berukuran fisik sama. Jika satu resistor diambil secarak acak (random), hitunglah probabilitas bahwa resistornya adalah 10 Ω Jika resistor pertama ternyata adalah 10 Ω dan dia dibiarkan diluar kotak, hitunglah probabilitas bahwa resistor kedua yang dipilih adalah resistor 30 Ω Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian: Misalkan A={resistor 10 Ω } dan B= {resistor 30 Ω} a. S={ 5+12} =17, maka P(A)=5/17 b. Sekarang kotak itu berisi empat resistor 10 Ω dan dua belas resistor 30 Ω S= { 4 + 12 )= 16 Maka probabilitas B, setelah A terjadi P(B|A)=12/16=3/4 Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : B A C A : Pengambilan resistor 47 Ohm Resistansi (Ohm) Toleransi 5% 10% Total 22 10 14 24 47 28 16 44 100 8 32 62 38 A C A : Pengambilan resistor 47 Ohm B : Pengambilan resistor dengan toleransi 5% C : Pengambilan resistor 100 Ohm Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Kejadian Bebas dan Tak Bebas (Independent dan Dependent) Kejadian-kejadian disebut bebas (independent) bila munculnya satu kejadian tidak mempengaruhi probabilitas munculnya kejadian kedua. Sebagai contoh pelemparan sebuah dadu dalam dua kesempatan, hasil pelemparan pertama tidak akan mempengaruhi probabilitas diperolehnya angka enam pada pelemparan kedua. Kejadian-kejadian tak bebas (dependent) bila satu kejadian mempengaruhi probabilitas munculnya kejadian kedua. Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Probabilitas tertariknya kartu as dari setumpukan kartu adalah 4/52=1/13. Jika karu itu dikembalikan sehingga tumpukan kartu itu lengkap lagi dan dikocok kembali, probabilitas tertariknya sebuah kartu as pada kesempatan kedua adalah serupa yaitu 1/13 (kejadian bebas). Akan tetapi, jika kartu as tadi ditarik pada kesempatan pertama dan tidak dikembalikan, probabilitas tertariknya sebuah as pada kesempatan kedua adalah 3/51, karena kini hanya ada 3 kartu as dalam tumpukan 51 kartu yang tidak lengkap (kejadian tak bebas) Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Aturan Perkalian Contoh : Misalkan kita mempunyai kotak berisi 20 sekring. Lima diantaranya cacat. Bila dua sekring dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak ( tanpa mengembalikan yang pertama kedalam kotak. Berapakah probabilitas kedua sekring itu cacat. Penyelesaian : Misalkan A kejadian bahwa sekring pertama cacat dan B adalah kejadian bahwa sekring yang kedua cacat. Kemudian tafsirkanlah A B sebagai kejadian A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. Probabilitas mengeluarkan sekring cacat yang pertama adalah ¼ dan kemudian probabilitas mengeluarkan kedua yang cacat dari sisa yang tinggal 4 adalah 4/19. Jadi Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika, Contoh : Suatu kota kecil mempunyai satu mobil pemadam kebakaran dan satu mobil ambulans untuk keadaan darurat. Probabilitas mobil pemadam kebakaran siap waktu diperlukan 0.98, probabilitas ambulans siap waktu dipanggil 0.92. Dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, cari probabilitas keduanya siap. Penyelesaian : Misalkan A dan B menyatakan masing-masing kejadian mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap. Maka Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Probabilitas Total Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Probabilitas Total untuk k kejadian Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Teorema/Aturan Bayes Probabilitas Bersyarat Probabilitas Total Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Bentuk umum Teorema Bayes untuk k kejadian (k events) Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Probabilitas suatu penerbangan telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) =0.83; probabilitas sampai tepat waktu P(S)=0.82 dan probabilitas berangkat dan sampai tepat waktu P(B S)=0.78. Carilah bahwa pesawat : A. Sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu B. Berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu. Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Pemyelesaian P(B)=0.83, P(S)=0.82, P(B S)=0.78 A. Probabilitas pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu : B. Probabilitas pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Bila A dan B dua kejadian yang saling terpisah dengan P(A)=0.3 dan P(B)=0.5, hitunglah : A. P(A B) B. P(Ac) C. P(Ac B) Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Keandalan (Reliability) Sistem terhubung seri Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Keandalan (Reliability) Sistem terhubung paralel Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Contoh : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Penyelesaian : Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Ir. I Nyoman Setiawan, MT.