MATRIKS Trihastuti Agustinah

DEFENISI Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan Ukuran (size) matriks: banyaknya baris dan kolom Matriks hanya memiliki 1 kolom  vektor kolom Matriks hanya memiliki 1 baris  vektor baris Notasi: matriks  huruf besar kuantitas numerik dalam matriks  huruf kecil

Notasi entry Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A  aij Matriks Amxn: Notasi kompak [aij]mxn atau [aij] Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A juga dinotasikan: (A)ij = aij

Notasi (lanj.) Notasi matriks baris dan kolom: Huruf kecil cetak tebal Contoh: Matriks A dengan n-baris dan n-kolom Matriks bujursangkar orde-n Entri a11, a22, …, ann  diagonal utama dari A

Operasi-operasi matriks (1) Matriks A dan B adalah sama Ukuran sama Entri yang bersesuaian sama Jadi, A=B ↔ (A)ij=(B)ij atau aij=bij Contoh: Jika x = 4, maka A=B

Operasi-operasi matriks (2) Ukuran matriks A dan B adalah sama Jumlah A+B Matriks Jumlahkan entri-entri yang bersesuaian Selisih A–B

Operasi-operasi matriks (3) A: matriks dan c: skalar Hasilkali cA Matriks Perkalian tiap entri A dengan c

Contoh 1

Kombinasi linear Matriks A1, A2, …, An berukuran sama c1, c2, …, cn adalah skalar Ekspresi disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien c1, c2, …, cn

Contoh 2 Matriks dari contoh 1 kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien 2, -1 dan 1/3

Hasilkali matriks Matriks Amxr dan Brxn Hasilkali AB: Contoh:

Partisi matriks (1) Matriks dibagi / dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil menyisipkan garis vertikal atau horizontal diantara baris atau kolom Contoh:

Partisi matriks (2) Contoh:

Perkalian matriks melalui kolom dan baris (1) Perkalian matriks tanpa menghitung semua hasilkalinya Cara melakukan perkalian: Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B] Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B

Perkalian matriks melalui kolom dan baris (2) Jika matriks baris dari A: a1,a2, …, am dan matriks kolom dari B: b1,b2, …, bn Maka: dan

Contoh 3 Matriks kolom ke-2 dari AB: Matriks baris pertama AB:

Perkalian matriks: kombinasi linear Cara alternatif perkalian matriks

Contoh 4 Perkalian matriks: Dengan kombinasi linear

Contoh 4 (lanj.) Perkalian matriks: Dengan kombinasi linear

Sistem linear: bentuk matriks Sistem persamaan linear m persamaan n unknown

Sistem linear (2) Pers. matriks Perkalian matriks

Sistem linear (3) Notasi pers. matriks Augmented matriks

Transpos Definisi: jika A matriks mxn, maka transpos A, AT adalah matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom dari A Transpos matriks A bujursangkar:

Trace Matriks A bujursangkar Trace A: jumlah dari entri-entri pada diagonal utama

Sifat-sifat operasi matriks Asumsi ukuran matriks berikut sesuai Operasi berikut adalah valid

Matriks nol Matriks yang seluruh entrinya nol Operasi matriks nol

Matriks identitas Matriks bujursangkar dengan entri pada diagonal utama bernilai 1 dan yang lain nol Notasi: I Jika ukuran diperhatikan: In A matriks mxn, maka

Invers matriks A dan B matriks bujursangkar berukuran sama Terdapat hubungan AB=BA=I Maka A disebut dapat-dibalik (invertible) dan B disebut invers dari A Contoh: matriks A dan B Buktikan bahwa matriks B adalah invers dari A

Sifat-sifat invers (1) Jika B dan C adalah invers dari A, maka B=C. Buktikan! Perkalian A dengan invers A = matriks identitas AA-1 = I atau A-1A = I A dan B berukuran sama AB dapat-dibalik (AB)-1 = B-1A-1

Contoh 4 Matriks:  Invers dari matriks tersebut dan

Sifat-sifat invers (2) Matriks A orde-2 berikut dapat dibalik bila ad–bc≠0 Rumus:

Pangkat dari matriks (1) A matriks bujursangkar A0=I n>0 Jika A dapat-dibalik, pangkat negatif dari A:

Pangkat dari matriks (2) Jika A dapat-dibalik, maka A-1 dapat-dibalik dan (A-1)-1 = A An dapat-dibalik dan (An)-1 = (A-1)n k: skalar, matriks kA dapat-dibalik dan Contoh: Dapatkan A-3

Sifat-sifat transpos Ukuran matriks memungkinkan terjadinya operasi berikut: ((A)T)T = A (A  B)T = AT  BT (kA)T = kAT (AB)T = BTAT Jika A dapat-dibalik, maka AT juga dapat-dibalik (AT)-1 = (A-1)T

Matriks elementer Matriks nxn disebut matriks elementer: diperoleh dari matriks identitas In melalui satu operasi baris elementer Contoh matriks elementer dan operasinya Kalikan kedua dari I2 dengan -3 Pertukarkan baris kedua dengan baris keempat dari I4

Matriks elementer Contoh matriks elementer dan operasinya Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama Kalikan baris pertama dari I3 dengan 1

Note: Operasi baris elementer: Kalikan baris dengan konstanta tidak nol Pertukarkan dua baris Tambahkan perkalian baris pada baris lainnya

Perkalian matriks dengan matriks elementer Matriks elementer E: hasil operasi baris pada Im A: matriks mxm EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama seperti pada A Contoh: matriks

Perkalian matriks dengan matriks elementer Matriks elementer E: Tambahkan 3 kali baris pertama dari I3 pada baris ketiga Matriks EA: Tambahkan 3 kali baris pertama pada baris ketiga dari A

Metode membalik matriks (invers) Cara mendapatkan invers dari matriks A Lakukan operasi baris elementer  reduksi A menjadi I Lakukan operasi yang sama pada I Prosedur: Bentuk matriks: [A | I] Lakukan operasi baris sehingga A tereduksi menjadi I Matriks yang diperoleh memiliki bentuk [I | A-1]

Prosedur: invers matriks Contoh: dapatkan invers dari Bentuk matriks [A : I] Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

Prosedur: invers matriks Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Kalikan baris ketiga dengan -1 Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama

Prosedur: invers matriks Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama Invers A:

Matriks tidak dapat-dibalik Matriks Anxn tidak dapat-dibalik Tidak dapat direduksi menjadi In Bentuk reduksi eselon baris minimal ada satu baris nol Komputasi dihentikan Contoh:

Matriks diagonal Matriks bujursangkar Entri nondiagonal utama bernilai nol Dnxn: Ditulis juga dalam bentuk:

Matriks diagonal Pangkat matriks diag.: Dapat-dibalik ↔ seluruh entri diagonal utama tidak ada yang bernilai nol Invers matriks diag. Pangkat matriks diag.:

Perkalian matriks dengan matriks diag. Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kiri: tiap entri diagonal dikalikan dengan baris matriks A yang bersesuaian Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kanan: tiap entri diagonal dikalikan dengan kolom A yang bersesuaian

Matriks segitiga (triangular) Lower triangular Upper triangular

Matriks simetris Matriks bujursangkar A = AT Jika dan hanya jika aij = aji Contoh:

Hasilkali matriks Matriks Amxn dan ATnxm Hasilkali AAT (berukuran mxm) dan ATA (berukuran nxn) matriks bujursangkar simetris Contoh: Dapatkan AAT dan ATA

terimakasih