KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI MATEMATIKA DISKRIT

Ilustrasi Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3 sama 3 cara Kelereng m h Kaleng 1 2 3 Matematika Diskrit

Ilustrasi (Cont.) Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng Matematika Diskrit

Definisi Kombinasi r elemen dari n elemen adalah : jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi Perbedaan permutasi dengan kombinasi : Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r : C(n,r) dibaca “n diambil r”  r objek diambil dari n buah objek Matematika Diskrit

Interpretasi Kombinasi Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbeda Contoh : Misal A = {1,2,3} Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A : {1,2} = {2,1} {1,3} = {3,1} 3 buah {2,3} = {3,2} Matematika Diskrit

Interpretasi Kombinasi (Cont.) Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting Contoh : Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama). Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah : Matematika Diskrit

Contoh 1 Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ? Matematika Diskrit

Solusi Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting {a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d} Sehingga : Matematika Diskrit

Contoh 2 Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari Maka : Matematika Diskrit

Contoh 3 Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ? Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ? Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ? Matematika Diskrit

Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) 1 bit terdiri dari “1” atau “0” Maka : Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0 Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) : Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk : (2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28 b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 : Matematika Diskrit

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0) Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap : C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128 Matematika Diskrit

Contoh 4 Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ? Matematika Diskrit

Solusi Pria = 7 orang Wanita = 5 orang Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita Maka : Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita  C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35 Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita  C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175 Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya : C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara Matematika Diskrit

Contoh 5 Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : Misalkan : Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang Misalkan : Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3) Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4) Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3) Sehingga total jumlah cara pengisian kamar : C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600 atau 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600 Matematika Diskrit

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama) n1 bola diantaranya berwarna 1 n2 bola diantaranya berwarna 2 … nk bola diantaranya berwarna k Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ? Matematika Diskrit

Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola : Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n ! Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola : n1! cara memasukkan bola berwarna 1 n2! cara memasukkan bola berwarna 2 … nk! cara memasukkan bola berwarna k Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum : Matematika Diskrit

Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak  ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1 Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak  ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2 Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak  ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3 Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan dalam kotak Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah : Matematika Diskrit

Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah : Matematika Diskrit

Contoh 6 Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ? Matematika Diskrit

Solusi S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I} Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah  jumlah elemen himpunan S Ada 2 cara : Permutasi : Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah Kombinasi : Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah Matematika Diskrit

Contoh 7 Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2 n4 = 5 Jumlah cara pewarnaan : Matematika Diskrit

Kombinasi Pengulangan Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n,r) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n+r-1, r) C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen  n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan Matematika Diskrit

Contoh 8 Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n = 5 orang anak r1 = 20 buah  apel r1 = 15 buah  jeruk 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak  C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20) 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak  C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15) Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah : C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41.186.376 cara Matematika Diskrit

Contoh 9 Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah) Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n = 8 macam roti r = 1 lusin = 12 buah roti Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti. Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu : C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12) Matematika Diskrit

Contoh 10 Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n = 6  6 buah mata dadu r = 3  3 dadu dilemparkan bersamaan Sehingga banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi adalah : C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3) = C(8,3) = 56 cara Matematika Diskrit

Latihan Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika : Tidak ada batasan jurusan Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Informatika Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektro Semua anggota panita harus dari jurusan yang sama 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah) Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ? Matematika Diskrit

Latihan (cont.) Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ? Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10 orang ? Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus sama dengan banyaknya wanita Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6? Matematika Diskrit

Latihan (Cont.) Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ? Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ? Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika : Tidak ada huruf pengulangan Boleh ada huruf pengulangan Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d harus ada Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada Matematika Diskrit

Latihan (Cont.) Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ? Matematika Diskrit