Ilustrasi Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Ilustrasi 1 Misal ada 3 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing.
Advertisements

START.
Bahan Kuliah IF2151 Matematika Diskrit
Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul
ANALISIS KOMBINATORIAL
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Statistika Industri Esti Widowati,S.Si.,M.P Semester Genap 2011/2012
Koefisien Binomial Teorema Binomial Bukti
Permutasi.
Definisi Fungsi adalah : jenis khusus dari relasi
Pengantar Hitung Peluang
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Departemen Matematika Fakultas MIPA Universitas Indonesia
Perluasan permutasi dan kombinasi
DALIL-DALIL PROBABILITAS (SSTS 2305 / 3 sks)
Oleh : Septi Fajarwati, S. Pd S1-Teknik Informatika .
Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit
LANJUTAN SOAL-SOAL LATIHAN DAN JAWABAN PELUANG.
KONSEP DASAR PROBABILITAS
SALBATRIL Materi P E L U A N G Belajar Individu Oleh :
Mata Kuliah: MATEMATIKA DISKRIT Harni Kusniyati
Pertemuan 12 MODEL PROBABILISTIK
BAB VII KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT.
KOMBINATORIAL.
BAB VI KOMBINATORIL DAN PELUANG DISKRIT.
PERTEMUAN 5 Oleh Sri Winiarti, S.T, M.Cs
Kombinatorial Source : Program Studi Teknik Informatika ITB
Peluang.
POPULASI, SAMPEL DAN PELUANG
Peluang Diskrit.
PELUANG SUATU KEJADIAN
UJI KOMPETENSI 1.
Metode Statistika (STK211)
Pertemuan ke 14.
KONSEP DASAR PROBABILITAS
10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT (lanjutan 1)
10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT.
Matriks, Relasi, dan Fungsi
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir
TIF4216 MatematikaDiskrit.
BAGIAN - 8 Teori Probabilitas.
Pertemuan ke 14.
KOMBINATORIAL STRUKTUR DISKRIT K-1 Program Studi Teknik Komputer
BAB XII PROBABILITAS (Permutasi dan Kombinasi) (Pertemuan ke-28)
Rinaldi Munir/IF2151 Matematika Diskrit
STATISTIKA Pertemuan 3 Oleh Ahmad ansar.
KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT
10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT.
Materi Kaidah Menghitung Inklusi-Eksklusi Permutasi Kombinasi
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir
10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT.
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
KOMBINATORIAL.
Kombinatorial Matematika Diskrit NELLY INDRIANI W. S.Si., M.T
Kombinatorial Source : Program Studi Teknik Informatika ITB
MUG2A3 MATEMATIKA DISKRIT
KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT.
Interpretasi Kombinasi
Oleh : Devie Rosa Anamisa
KOMBINATORIAL.
Permutasi.
Kombinatorial Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi Powerpoint Templates.
Prinsip dasar perhitungan
Pengantar Teori Peluang
Permutasi dan Kombinasi
#Kuliah 6 Matematika Diskrit
Kombinatorial NELLY INDRIANI W. S.Si., M.T Matematika Diskrit.
Kaidah Dasar Menghitung
KOMBINATORIAL.
Kaidah dasar Permutasi dan kombinasi
Transcript presentasi:

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI MATEMATIKA DISKRIT

Ilustrasi Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3 sama 3 cara Kelereng m h Kaleng 1 2 3 Matematika Diskrit

Ilustrasi (Cont.) Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng Matematika Diskrit

Definisi Kombinasi r elemen dari n elemen adalah : jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi Perbedaan permutasi dengan kombinasi : Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r : C(n,r) dibaca “n diambil r”  r objek diambil dari n buah objek Matematika Diskrit

Interpretasi Kombinasi Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbeda Contoh : Misal A = {1,2,3} Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A : {1,2} = {2,1} {1,3} = {3,1} 3 buah {2,3} = {3,2} Matematika Diskrit

Interpretasi Kombinasi (Cont.) Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting Contoh : Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama). Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah : Matematika Diskrit

Contoh 1 Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ? Matematika Diskrit

Solusi Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting {a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d} Sehingga : Matematika Diskrit

Contoh 2 Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari Maka : Matematika Diskrit

Contoh 3 Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ? Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ? Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ? Matematika Diskrit

Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) 1 bit terdiri dari “1” atau “0” Maka : Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0 Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) : Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk : (2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28 b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 : Matematika Diskrit

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0) Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap : C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128 Matematika Diskrit

Contoh 4 Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ? Matematika Diskrit

Solusi Pria = 7 orang Wanita = 5 orang Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita Maka : Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita  C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35 Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita  C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175 Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya : C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara Matematika Diskrit

Contoh 5 Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : Misalkan : Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang Misalkan : Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3) Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4) Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3) Sehingga total jumlah cara pengisian kamar : C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600 atau 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600 Matematika Diskrit

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama) n1 bola diantaranya berwarna 1 n2 bola diantaranya berwarna 2 … nk bola diantaranya berwarna k Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ? Matematika Diskrit

Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola : Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n ! Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola : n1! cara memasukkan bola berwarna 1 n2! cara memasukkan bola berwarna 2 … nk! cara memasukkan bola berwarna k Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum : Matematika Diskrit

Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak  ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1 Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak  ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2 Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak  ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3 Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan dalam kotak Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah : Matematika Diskrit

Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah : Matematika Diskrit

Contoh 6 Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ? Matematika Diskrit

Solusi S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I} Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah  jumlah elemen himpunan S Ada 2 cara : Permutasi : Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah Kombinasi : Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah Matematika Diskrit

Contoh 7 Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2 n4 = 5 Jumlah cara pewarnaan : Matematika Diskrit

Kombinasi Pengulangan Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n,r) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah : C(n+r-1, r) C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen  n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan Matematika Diskrit

Contoh 8 Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n = 5 orang anak r1 = 20 buah  apel r1 = 15 buah  jeruk 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak  C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20) 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak  C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15) Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah : C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41.186.376 cara Matematika Diskrit

Contoh 9 Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah) Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n = 8 macam roti r = 1 lusin = 12 buah roti Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti. Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu : C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12) Matematika Diskrit

Contoh 10 Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ? Matematika Diskrit

Solusi Diketahui : n = 6  6 buah mata dadu r = 3  3 dadu dilemparkan bersamaan Sehingga banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi adalah : C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3) = C(8,3) = 56 cara Matematika Diskrit

Latihan Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika : Tidak ada batasan jurusan Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Informatika Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektro Semua anggota panita harus dari jurusan yang sama 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah) Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ? Matematika Diskrit

Latihan (cont.) Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ? Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10 orang ? Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus sama dengan banyaknya wanita Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6? Matematika Diskrit

Latihan (Cont.) Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ? Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ? Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika : Tidak ada huruf pengulangan Boleh ada huruf pengulangan Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d harus ada Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada Matematika Diskrit

Latihan (Cont.) Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ? Matematika Diskrit