Statistika Deskriptif Parameter Populasi 1

STATISTIKA DESKRIPTIF: Bab 3A STATISTIKA DESKRIPTIF: PARAMETER POPULASI 1 A. Parameter Rerata 1. Batasan dan Jenis Skala data paling rendah adalah pada level interval (interval dan rasio) Ada tiga jenis rerata mencakup Rerata hitung (sering disebut rerata saja) Rerata ukur Rerata harmonik

2. Parameter Rerata Hitung (a) Rumus rerata hitung Dengan N sebagai banyaknya data, rerata untuk data X dan Y adalah

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 1 Data X : 7 7 6 5 4 4 4 3 Y : 10 9 9 6 5 4 3 2 1 1

Cara lain menghitung rerata X Y 7 10 7 9 6 9 X = 40 / 8 = 5 5 6 4 5 4 4 4 3 Y = 50 / 10 = 5 3 2 1 40 50 Cara ini lebih praktis daripada cara pertama sehingga digunakan secara umum

(b) Rumus dengan Frekuensi Rumus rerata dengan melibatkan frekuensi Rumus ini lebih praktis untuk data dengan berbagai frekuensi

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 2 X Y X f fX 7 10 7 2 14 7 9 6 1 6 X = 40 / 8 = 5 6 9 5 1 5 5 6 4 3 12 4 5 3 1 3 4 4 8 40 4 3 3 2 1 Y f fY 1 10 1 10 9 2 18 6 1 6 Y = 50 / 10 = 5 5 1 5 4 1 4 3 1 3 2 1 2 1 2 2 10 50

------------------------------------------------------------------------------ Bab 3A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 3 Data X Frek f fX 4 3 12 5 5 25 6 10 60 7 15 105 8 11 88 9 6 54 jumlah 50 344 Rerata X = 6.88

Contoh 4 Data Y Frek f fY 0 0 0 1 1 1 2 0 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6 Rerata Y =

Contoh 5 Kelompok Nilai kel X Frek f fX 31 – 40 35,5 2 71 41 – 50 45,5 3 91 51 – 60 55,5 5 61 – 70 65,5 14 71 – 80 75,5 25 81 – 90 85,5 18 91 – 100 95,5 13 Rerata X =

(c) Perhitungan dengan Kalkulator Elektronik Cara pakai kalkulator elektronik tercantum di dalam manual kalkulator itu Sebagai contoh di sini digunakan Casio fx 350 TL Contoh 6 X : 7 7 6 5 4 4 4 3 Mode 2 (ke statistika rerata) Shift AC = AC (membersihkan isi memori) 7 shift ; 2 DT (frekuensi 2) 6 DT 5 DT 4 shift ; 3 DT (frekuensi 3) 3 DT Shift X = (tampilkan rerata 5) Mode 1 (kembali ke kalkulator biasa)

Dengan kalkulator elektronik, hitung kembali rerata pada Contoh 7 Dengan kalkulator elektronik, hitung kembali rerata pada Contoh 2, 3, 4, dan 5 Contoh 8 Dengan Excel/kalkulator elektronik, hitung rerata dari 79 49 48 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 91 74 73 68 72 85 53 65 93 83 86 90 32 83 73 74 43 86 68 92 93 76 71 90 72 67 75 80 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 82 60 67 89 63 76 63 88 70 66 80 79 75  =

(d) Rerata sebagai Titik Tumpu Keseimbangan Rerata adalah titik tumpu keseimbangan sehingga jumlah di bawah rerata sama dengan jumlah di atas rerata Data X : 7 7 6 5 4 4 4 3 Y : 10 9 9 6 5 4 3 2 1 1 Pada X dan Y, rerata 5 adalah titik tumpu keseimbangan X 3 4 6 7 5 Y 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5

3. Parameter Rerata Hitung pada Data Dikotomi Khusus pada data dikotomi, rerata sama dengan proporsi X =  sehingga pada umumnya, digunakan proporsi Contoh 9 Data X 1 0 X = 7 / 10 = 0,7 1 X = 7 dari 10 = 0,7 1 X = X = 0,7 7

4. Parameter Rerata Ukur Rerata ukur adalah perkalian data yang ditarik akarnya sebesar banyaknya data Rumus rerata ukur Contoh 10 Data : 3 4 5 Rerata ukur Data : 2 2 4 5 7 8 8 Rarata ukur U =

5. Parameter Rerata Harmonik Rumus Contoh 11 Data: 3 5 6 6 7 12 12 Data: 2 2 4 5 7 8 8 H =

Kecondongan distribusi 6. Kecondongan (skewness) Kecondongan distribusi Distribusi frekuensi atau distribusi proporsi dapat saja Simetri Condong ke kiri atau positif Condong ke kanan atau negatif Distribusi simetri modus = median = rerata (hitung)

Distribusi condong positif (positively skewed) modus < median < rerata Distribusi condong negatif (negatively skewed) modus > median > rerata  Mo M  M Mo

7. Kurtosis (kepuncakan) Kurtosis distribusi Distribusi frekuensi atau distribusi proporsi dapat saja memiliki puncak Mesokurtik (puncak biasa) Leptokurtik (puncak tinggi) Platikurtik (puncak rendah) Mesokurtik

Platikurtik (puncak rencah) Leptokurtik (puncak tinggi) Platikurtik (puncak rencah)

B. Parameter Variansi dan Simpangan Baku 1. Penyebaran Data Penyebaran data ini diacu kepada rerata hitung yakni berapa lebar data itu menyebar di sekitar rerata hitung Penyebaran data ini mencakup beberapa parameter Simpangan Jumlah Kuadrat Simpangan Variansi Simpangan Baku Selain rerata hitung, parameter variansi dan simpangan baku merupakan parameter yang banyak digunakan di dalam statistika

2. Simpangan (a) Nilai simpangan Nilai simpangan = nilai data – rerata hitung x = X – X y = Y – Y Nilai di atas rerata memperoleh simpangan positif Nilai sama dengan rerata memperoleh simpangan nol Nilai di bawah rerata memperoleh simpangan negatif

(b) Penyebaran Makin menyebar data makin besar simpangannya Simpangan kecil Simpangan besar x1 x2 rerata y1 y2 rerata

Data X Simpangan x Data Y Simpangan y 7 2 10 5 7 2 9 4 6 1 9 4 5 0 6 1 Contoh 12 Data X Simpangan x Data Y Simpangan y 7 2 10 5 7 2 9 4 6 1 9 4 5 0 6 1 4 – 1 5 0 4 – 1 4 – 1 4 – 1 3 – 2 3 – 2 2 – 3 0 1 – 4 1 – 4 X = 5 0 Y = 5 Jumlah Simpangan Karena rerata adalah titik tumpu keseimbangan maka jumlah simpangan (negatif dan positf) adalah nol  x = 0  y = 0

Jumlah simpangan terhadap rerata hitung adalah nol  x = 0  y = 0 Simpangan kurang (–) = simpangan lebih (+) 3 4 6 7 5 Simpangan kurang – Simpangan lebih +

Contoh 13 Data X Frek f fX Simp x 4 3 12 – 2,88 5 5 25 6 10 7 15 8 11 9 6 X = Contoh 14 Data Y Frek f fY Simp y 1 1 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6 Y =

3. Jumlah Kuadrat Simpangan (a) Hakikat Sering disingkat sebagai jumlah kuadrat JK Karena simpangan bernilai negatif dan positif dan jumlah mereka adalah nol, maka sebelum dijumlahkan simpangan dikuadratkan Jumlah dari simpangan yang dikuadratkan ini merupakan jumlah kuadrat Makin besar simpangan, makin besar jumlah kuadrat sehingga JK merupakan indikator dari penyebaran data Makin lebar penyebaran data makin besar nilai jumlah kuadrat (JK)

(b) Rumus Jumlah Kuadrat Simpangan JK =  x2 =  (X – X)2 Melalui aljabar, JK dapat juga dinyatakan melalui dengan NX sebagai banyaknya data Contoh 15 Data X X2 7 49 6 36 JK = 216 – (40)2 / 8 = 16 5 25 4 16 3 9 40 216

4. Parameter Variansi (a) Data Umum JK bergantung kepada banyaknya data NX sehingga JK dapat berbeda karena banyaknya data berbeda Untuk mengatasinya, JK dibagi dengan banyaknya data, dan hasil bagi ini dikenal sebagai variansi Variansi diberi notasi 2 (merupakan ukuran penyebaran data)

Dari contoh 15, telah diperoleh JK = 16 NX = 8 Variansi 2X = 16 / 8 = 2 Contoh 17 Data Y Y2 10 100 9 81 6 36 2y = 10,4 5 25 4 16 3 9 2 4 1 1 50 354

Cara hitung menggunakan frekuensi Data Y Frek f Y2 fY fY2 10 1 100 10 100 9 2 81 18 162 6 1 36 6 36 5 1 25 5 25 4 1 16 4 16 3 1 9 3 9 2 1 4 2 4 1 2 1 2 2 50 354 σ2Y = 10,4

Dalam hal data dikotomi, terdapat nilai maksimum pada variansi (b) Data Dikotomi Pada data dikotomi (0 dan 1), rumus variansi dapat disederhanakan menjadi 2X =  (1 – ) Dalam hal data dikotomi, terdapat nilai maksimum pada variansi 2X maks = 0,25 pada  = 0,5 Contoh 18 X Y 1 1 2X = (0,4)(1 – 0,4) = 0,24 0 1 0 0 1 1 2Y = (0,8)(1 – 0,8) = 0,16

5. Parameter Simpangan Baku (a) Hakikat Simpangan Baku Simpangan baku adalah akar dua positif dari variansi Simpangan baku merupakan simpangan yang dibakukan Simpangan baku bersama-sama dengan variansi merupakan ukuran penyebaran data Simpangan baku sering dijadikan satuan dari simpangan data Simpangan baku diberi notasi 

Makin lebar penyebaran data, maka besar nilai mereka Simpangan, jumlah kuadrat, variansi, dan simpangan baku menunjukkan penyebaran data Makin lebar penyebaran data, maka besar nilai mereka Penyebaran : kecil Nilai simpangan : kecil Jumlah kuadrat : kecil Variansi : kecil Simpangan baku : kecil Penyebaran : besar Nilai simpangan : besar Jumlah kuadrat : besar Variansi : besar Simpangan baku : besar

Contoh 19 Dari contoh 16 X = √ 2 = 1,41 Dari contoh 17 Y = √ 10,40 = 3,22 Dari contoh 18 X = √ 0,24 = 0,44 Y = √ 0,16 = 0,40

(b) Perhitungan dengan Kalkulator Simpangan baku dapat langsung dihitung dengan bantuan kalkulator elektronik Caranya dapat dibaca pada manual Contoh pada kalkulator Casio fx 350 TL Langkahnya sama dengan langkah pada perhitungan rerata dengan kalkulator Casio fx 350 TL Untuk membaca simpangan baku tekan xn = atau yn = Tekan tombol x2 untuk menemukan variansi

Contoh 20 Data X Frek f X2 fX fX2 4 3 16 12 48 5 5 25 25 125 4 3 16 12 48 5 5 25 25 125 6 10 36 60 360 7 15 49 105 735 8 11 64 88 704 9 6 81 54 486 50 344 2458 Variansi 2X = 2458- (344)2 /50=91,28 Simpangan baku X = 9,55 Hitung kembali dengan menggunakan Exel atau kalkulator elektronik

Hitung kembali dengan menggunakan kalkulator elektronik Contoh 21 Data Y Frek f Y2 fY fY2 1 1 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6 Hitung 2Y = Y = Hitung kembali dengan menggunakan kalkulator elektronik

Contoh 22 Kelompok Nil Kel X Frek f X2 fX fX2 31 – 40 35,5 2 41 – 50 3 31 – 40 35,5 2 41 – 50 3 51 – 60 5 61 – 70 14 71 – 80 25 81 – 90 18 91 – 100 13 Hitung 2X = X = Hitung kembali dengan menggunakan Excel/kalkulator elektronik

Dengan kalkulator elektronik, hitung X = X = 2X = Contoh 23 Data X adalah sebagai berikut 79 49 48 74 81 98 87 80 80 84 90 70 91 93 82 78 70 71 92 38 56 91 74 73 68 72 85 53 65 93 83 86 90 32 83 73 74 43 86 68 92 93 76 71 90 72 67 75 80 91 61 72 97 91 88 81 70 74 99 95 80 59 71 77 63 60 83 82 60 67 89 63 76 63 88 70 66 80 79 75 Dengan kalkulator elektronik, hitung X = X = 2X =

Dengan kalkulator elektronik, hitung Y = Y = 2Y = Contoh 24 Data Y adalah sebagai berikut 39 42 30 11 35 25 18 26 37 15 29 22 33 32 21 43 11 11 32 29 44 26 30 49 13 38 26 30 45 21 31 28 14 35 10 41 15 39 33 34 46 21 38 26 26 37 37 14 26 24 32 15 22 28 33 47 19 22 31 20 37 40 20 39 30 18 29 35 41 21 26 25 29 33 23 30 43 28 32 32 34 28 38 32 31 Dengan kalkulator elektronik, hitung Y = Y = 2Y =

Dengan kalkulator elektronik, hitung X = Contoh 25 Data X adalah sebagai berikut 161 152 157 151 158 163 159 167 152 155 143 145 148 160 153 156 146 154 157 164 153 156 161 149 161 144 152 147 151 156 158 148 154 153 146 165 160 162 149 153 166 147 149 150 155 148 151 159 155 161 146 151 159 162 160 154 149 165 148 160 163 149 160 152 150 161 156 150 155 152 156 157 164 149 158 145 153 156 161 156 154 147 159 154 165 155 148 151 150 162 152 162 156 158 155 157 163 159 152 168 Dengan kalkulator elektronik, hitung X = X = 2X =

Contoh 26 Data Y  2Y Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

C. Nilai Baku dan Transformasi Baku 1. Nilai Baku Linier (a) Hakikat nilai baku Nilai baku adalah nilai simpangan yang dinyatakan dalam satuan simpangan baku Nilai baku ini dikenal sebagai nilai baku linier karena ada nilai baku lain yang nonlinier Nilai baku linier diberi notasi z Rumus nilai baku (linier)

(b) Sifat Nilai baku Tanda nilai baku adalah relatif terhadap nilai rerata Nilai baku adalah negatif jika data terletak di bawah rerata Nilai baku adalah nol jika data terletak tepat pada rerata Nilai baku adalah positif jika data terletak di atas rerata Nilai dari nilai baku adalah relatif terhadap nilai simpangan baku Nilai baku menjadi kecil jika simpangan baku adalah besar (sebaran data adalah besar) Nilai baku menjadi besar jika simpangan baku adalah kecil (sebaran data adalah kecil)

Contoh 27 Rerata sama X = Y = 5 Simpangan sama x = y = 2 Simpangan baku beda X = 1 Y = 5 5 X 7 X = 1 zX = (7 – 5)/2 = 2 5 Y 7 Y = 5 zY = (7 – 5)/5 = 0,4

Contoh 28 Contoh 29 Data X Frek f Nilai baku zX 7 2 6 1 X = 5 1 7 2 6 1 X = 5 1 4 3 X = 3 1 Contoh 29 Data Y Frek f Nilai baku zY 10 1 9 2 6 1 Y = 5 1 4 1 Y = 3 1 2 1 1 2

Contoh 30 Contoh 31 Data X Frek f Nilai baku zX 4 3 5 5 X = 6 10 4 3 5 5 X = 6 10 6 15 X = 8 11 9 6 Contoh 31 Data Y Frek f Nilai baku zY 1 1 3 5 Y = 4 9 5 15 Y = 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6

2. Transformasi Baku Linier (a) Hakikat Tranformasi baku linier terjadi di antara nilai pada dua sistem (misalnya, X dan Y) Tranformasi baku ini dikatakan linier karena masih ada transformasi baku lainnya yang nonlinier Tranformasi baku linier ini dikatakan linier karena apabila nilai diletakkan di sumbu X dan nilai transformasi diletakkan di sumbu Y, maka mereka membentuk garis lurus Y X

(b) Rumus Transformasi Baku Linier Nilai baku setelah tranformasi disamakan dengan nilai baku sebelum transformasi (maka itu dinamakan transformasi baku) Dengan demikian maka

Contoh 32 Data X X X Data Y Y Y 10 20 5 ____ 50 10 10 20 5 ____ 50 10 4 12 1 ____ 20 2 17 25 4 ____ 8 2 30 50 5 45 ___ 6 60 40 8 20 ___ 4 25 15 3 65 ___ 6 ___ 50 5 70 88 9 ___ 5 1 26 20 2 ___ 75 10 10 8 1 40 30 5 60 50 ___ 70 62 8 40 35 ___ 25 40 3 40 70 ___ 50 ___ 2 60 50 4 35 ___ 4 27 30 6 65 ___ 10 40 25 5 20 10 ___ 80 60 10 55 40 ___ 90 70 4 15 25 ___ 65 80 3

Bahan U1: Distribusi frekuensi, Modus, median, rerata, varians dan simpangan baku.