4. PROSES POISSON Prostok-4-firda

4.1 Proses Menghitung Definisi : Proses stokastik dikatakan proses menghitung (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi selama waktu t (S.Osaki,1992). Contoh: 1. adalah banyaknya bayi yang lahir selama waktu t. Maka proses menghitung. adalah banyaknya orang yang datang ke 2. Toserba Grya dalam waktu Maka proses menghitung. Prostok-4-firda

banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu Proses menghitung memenuhi sifat: (i) (ii) adalah bilangan bulat (iii) Jika maka (iv) Untuk menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu Prostok-4-firda

Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling bebas. artinya, banyaknya kejadian yang terjadi pd waktu t, (yaitu N(t)), bebas dari banyaknya kejadian yang terjadi pd waktu antara t dan t+s, (yaitu N(t+s)-N(t)). Prostok-4-firda

Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang dari interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut. Artinya, banyaknya kejadian pada interval waktu (yaitu mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu (yaitu untuk semua Prostok-4-firda

Untuk interval waktu yang kecil (h >0), Definisi: Fungsi dikatakan jika Contoh: Untuk interval waktu yang kecil (h >0), (tidak ada kejadian pada interval waktu yg kecil h>0) (peluang ada kejadian pada interval waktu yg kecil h>0) Prostok-4-firda

4.2 Definisi Proses Poisson (S. Osaki,1992) Suatu proses menghitung dikatakan proses Poisson dengan laju (parameter) jika memenuhi: (i) (ii) Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent increments) (iii) (iv) Prostok-4-firda 7

Dari definisi ini, untuk berlaku, (menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada interval (0,t]. hukum peluang total Karena proses Poisson stasioner,maka Prostok-4-firda 8

Definisi 2: (S. Osaki,1992) Suatu proses menghitung dikatakan proses Poisson dengan laju (parameter) jika memenuhi: (i) (ii) Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments) (iii) Peluang ada k kejadian dalam interval waktu t: Prostok-4-firda 9

rate (laju dari proses) Maka rate (laju dari proses) = rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per waktu t. Prostok-4-firda

Definisi 1 dan Definisi 2 ekivalen Bukti: (a) Definisi 1  Definisi 2 Sifat (i), (ii) jelas Selanjutnya, tulis Prostok-4-firda

Untuk k = 0, Sifat (iii),(iv) kenaikan bebas kenaikan stasioner Prostok-4-firda

Dari bentuk diperoleh : Dengan syarat awal Prostok-4-firda

Untuk Prostok-4-firda

atau Dari sini diperoleh : Atau ditulis, PDB linear Prostok-4-firda

Dengan syarat awal P1(0)=0, diperoleh: Untuk k =1, Dengan syarat awal P1(0)=0, diperoleh: Dengan induksi matematik diperoleh: Hal ini menunjukkan (Sifat (iii) Definisi 2). Prostok-4-firda

(b) Definisi 2  Definisi 1 Sifat (i) jelas Dari sifat (iii) definisi 2, mempunyai distribusi yang sama dengan Artinya, punya kenaikan stasioner (sifat (ii) definisi 1). Selanjutnya, dari sifat (iii) definisi 2, Prostok-4-firda

(memenuhi sifat (iii) definisi 1). Selanjutnya, (memenuhi sifat (iv) definisi 1.

Contoh: 1. Pelanggan tiba di toko mengikuti proses Poisson dengan laju 2 orang per jam selama jam kerja dari pukul 10.00 (t=0) sampai pukul 18.00. a. Tentukan peluang bahwa k pelanggan (k = 0,1,2) datang pada pukul 13.00 – 15.00. b. Tentukan mean dan variansi dari kedatangan pelanggan selama jam kerja. Prostok-4-firda

Jawab: a. waktu: 13.00 – 15.00  t =2. Prostok-4-firda

b. Selama jam kerja ( 10.00 – 18.00 )  t = 8 2. Panggilan telepon mengikuti proses Poisson dengan laju 10/jam. a. Tentukan peluang bahwa ada 8 panggilan telepon terjadi pada satu jam pertama. b. Tentukan peluang terdapat 3 panggilan telepon pada setengah jam pertama dan 6 panggilan telepon pada setengah jam kedua. Prostok-4-firda

Jawab: a. b. kenaikan bebas kenaikan stasioner Prostok-4-firda

Waktu antar kedatangan Berdasarkan proses menghitung N(t) menyatakan banyaknya kejadian sampai waktu t. Perhatikan bahwa kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval (0,t]. Misalkan kejadian pertama terjadi pada saat disini Kejadian kedua terjadi pada saat dan Disini, adalah panjang waktu terjadinya kejadian ke k+1 setelah kejadian ke k. Panjang selang ini disebut dengan waktu antar kedatangan/waktu antar kejadian.

Ilustrasi Waktu antar kedatangan Prostok-4-firda

Berdasarkan proses menghitung Definisi: Berdasarkan proses menghitung Misalkan adalah waktu dari kejadian pertama. Untuk misalkan adalah waktu antara kejadian ke (n-1) dan kejadian ke n. Maka disebut barisan waktu antar kedatangan/waktu antar kejadian. Prostok-4-firda

4.3 Distribusi Waktu Antar Kedatangan Teorema Waktu antar kedatangan dari suatu proses Poisson adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter Bukti: Akan ditunjukkan Catat bahwa, terjadi jika tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi pada interval [0,t]. Ini identik dengan t X1 Prostok-4-firda

kita dapatkan distribusi bersyarat dengan maka Jadi Untuk kita dapatkan distribusi bersyarat dengan kejadian pertama terjadi pada waktu s. kenaikan bebas kenaikan stasioner Prostok-4-firda

Contoh Dengan induksi matematika, kita dapatkan, tiap waktu antar kedatangan adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter . (terbukti) Contoh Jika kedatangan pasien ke sebuah rumah sakit mengikuti proses Poisson dengan laju 5/jam, tentukan distribusi peluang dari waktu antar kedatangan pasien ke 10 dan ke 11. Jawab: Berdasarkan teorema, waktu antar kedatangan pasien berdistribusi eksponensial dengan parameter 5/jam. Prostok-4-firda

Soal Toko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan laju 10 orang per jam selama jam kerja. a. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja. b. Tentukan peluang tidak ada pelanggan yang datang dalam waktu setengah jam. 2. Toko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan mean dari waktu antar kedatangan adalah 6 menit. a. Tentukan peluang ada k pelanggan (k=0,1,2) datang dalam waktu setengah jam b. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja. Prostok-4-firda

3. Banyaknya panggilan telepon di suatu kantor mengikuti proses Poisson dengan laju 2 kali per menit. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 panggilan berturutan tidak lebih dari 4 menit. 4. Jika adalah suatu proses Poisson, Tunjukkan bahwa untuk Prostok-4-firda

Waktu menunggu dan distribusinya Waktu menunggu sampai kejadian ke n adalah : Jika adalah waktu tunggu sampai kejadian ke n, maka Realisasi dari waktu antar kedatangan dan waktu tunggu Prostok-4-firda

Perhatikan waktu tunggu, Untuk proses Poisson, Perhatikan waktu tunggu, Karena adalah bebas dan maka Prostok-4-firda

Hubungan antara Hubungan antara Prostok-4-firda

Teorema Untuk proses Poisson dengan laju yakni Ekivalen dengan yakni Prostok-4-firda

4.4 Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan Distribusi bersyarat dari waktu antar kedatangan pertama diberikan ada kejadian pada waktu [0,t], Untuk Prostok-4-firda

Superposisi proses Poisson Misalkan proses dan adalah proses Poisson dengan laju dan Maka juga merupakan proses Poison dengan laju Bukti: Cobakan… Prostok-4-firda

4.5 Proses Poisson Nonhomogen Definisi: Proses menghitung dikatakan proses Poisson Nonhomogen atau nonstasioner dengan fungsi intensitas jika memenuhi: (i) N(0) = 0 (ii) Proses mempunyai kenaikan bebas (iii) (iv) Prostok-4-firda

Proses Poisson homogen mempunyai parameter Proses Poisson nonhomogen mempunyai parameter disebut fungsi intensitas. Yakni, Maka kita punyai, Prostok-4-firda

Soal 1. Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti proses Poisson dengan laju 3 orang perjam. a. Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 8.00 dan 10.00 di suatu pagi. b. Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7 pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam. 2. Banyaknya kecelakaan pada jalan tol mengikuti proses Poisson dengan laju 13 kali perbulan. a. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 kecelakaan berturut-turut tidak lebih dari 2 hari. Prostok-4-firda

b. Tentukan nilai harapan jumlah kecelakaan yang terjadi antara bulan Maret 2011 dan bulan Juli 2011. (catat bahwa 1 bulan = 30 hari). 3. Supermarket buka dari pukul 10.00 sampai pukul 20.00 Pelanggan datang mengikuti proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas: 3. Mean 410 variansi 410 Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada waktu kerja dari 10.00 – 20.00. b. Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada pukul 16.00 – 18.00. Prostok-4-firda