FUNGSI SUB BAB 1.8

f Definisi: f : A  B b a v x t A dan B adalah himpunan. Fungsi f memasangkan tepat satu nilai di B kepada setiap elemen A. Notasinya f(a) = b, di mana b adalah nilai unique (satu-satunya) yang dipasangkan kepada a. A B f b v t a x A disebut domain (daerah asal) B disebut codomain {b,t} disebut range(daerah hasil)

Terminologi: f: A  B Fungsi f memetakan (maps) A ke B A = domain dari fungsi f, B = codomain dari fungsi f f(a) = b, b disebut image (bayangan) dari a, a disebut pre-image dari b Himpunan bagian dari B yang berisi semua bayangan disebut range dari fungsi f

4

Beberapa contoh fungsi: Fungsi linier: Fungsi kuadrat: Fungsi Polinom: Fungsi Trigonometri: Fungsi Eksponen: Fungsi Logaritma: Fungsi invers: Fungsi tangga Fungsi Lantai Fungsi Atap Fungsi Pecahan: dll

dengan . Berikut bentuk khusus dari fungsi polinom, yaitu : Bentuk umum fungsi polinom order atau pangkat n ( n bilangan bulat positif ) dinyatakan oleh: dengan . Berikut bentuk khusus dari fungsi polinom, yaitu : Misal f(x) merupakan fungsi polinom order n maka akan mempunyai paling banyak n buah pembuat nol yang berbeda. Untuk mendapatkan pembuat nol fungsi polinom dapat digunakan aturan horner. 6

Beberapa contoh fungsi: Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) =  x   x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) =  x   x  = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x x  x  x  x  7

Contoh-contoh lain: lihat Examples 1 s/d. 3 1. Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x2 A = Z = { … -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = domain B = Z = codomain, { 0, 1, 4, 9, … } = range 2. Fungsi f adalah fungsi floor A = R = { bilangan nyata } = domain B = Z = { bilangan bulat } = codomain, range 3. Cari Df dan Rf dari: a. f(x)= b. f(x)=

Definisi: penambahan dan perkalian 2 fungsi f1 : A  R, f2 : A  R (f1 + f2) (x) = f1(x) + f2(x) (f1 f2) (x) = f1(x) f2(x) Contoh: Example 4 f1 : R  R; f2 : R  R f1(x) = x2; f2(x) = x - x2 (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = (x2) + (x - x2) = x (f1f2)(x) = f1(x)f2(x) = (x2)(x - x2) = x3 - x4 Jika f(x)= dan g(x)= cari Df dan Rf dari f+g dan f.g

f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1, f(e) =1 f(S) = { 1, 4 } Definisi: f : A  R S = himpunan bagian dari A f(S) = { f(s) | s  S } Contoh: Example 5 A = { a, b, c, d, e }; S = { b, c, d } B = { 1, 2, 3, 4} f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 4, f(d) = 1, f(e) =1 f(S) = { 1, 4 }

Jenis fungsi: f: A  B One-to-one, injective f fungsi injective  x y [ f(x) = f(y)  x = y ] Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A Onto, surjective f fungsi surjective  y x [ f(x) = y ] Universe (x) = domain = A; universe (y) = codomain (f) = B One-to-one correspondence, bijective f fungsi bijective jika f injective dan surjective

f : A  B Strictly increasing x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] Universe (x) = universe (y) = domain (f) = A Strictly decreasing x y [ ( x  y )  ( f(x)  f(y) ) ] Fungsi identitas f : A  A f(x) = x

Contoh: example 6 1 2 3 4 5 a b c d 1-1; injective

ayu bambang citra dono Contoh: nomor urut nama murid 1 2 3 4 5 6 1-1; injective

Contoh: example 6 (modified) 3 4 5 a b c d Onto, surjective (not 1-1)

Onto, surjective (not 1-1) Contoh: nilai huruf NRP 101 102 110 115 119 126 144 A B C D Onto, surjective (not 1-1)

Contoh: example 6 (modified) b c d 1 3 4 5 1-1 and onto; bijective

Contoh: kegiatan rutin 1-1 and onto; bijective TIF-1 TIF-2 TIF-3 TIF-4 praktikum kuliah administrasi kemahasiswaan kantin 1-1 and onto; bijective

Fungsi invers: f A  B di mana f(a) = b f –1: B  A di mana f –1(b) = a Catatan: f dan f –1 harus bijective f a b f -1

Komposisi dua fungsi f dan g: (f o g) (a) = f(g(a)) Catatan: fungsi yang paling kanan dioperasikan paling awal, selanjutnya fungsi di samping kirinya, demikian seterusnya. g f a g(a) f(g(a)) f o g

Partial function: lihat halaman 111 f(x) undefined Total function: f A a b B x b y a x A B f