MODEL MATEMATIK SISTEM FISIK

Computer program & Interface PEMODELAN MATEMATIK Model Matematik Gambaran matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem. Beberapa sistem dinamik seperti mekanika, listrik, panas, hidraulik, ekonomi, biologi dan sebagainya dapat dikarakteri-sasikan dengan persamaan differensial. Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa hukum fisika dari sistem yang dipelajari, misalnya: Hukum Newton untuk sistem mekanik Hukum Kirchhoff untuk sistem listrik Problem Definition Mathematical Model Theory Data Problem solving tools Computer program & Interface

Model dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda, tergantung pada sistem dan lingkungan sekelilingnya. Contoh dalam persoalan kontrol optimal lebih mudah untuk menggunakan perangkat persamaan differensial orde pertama. Beberapa perangkat analitik dan komputer (metoda numerik) dapat digunakan dalam analisis sistem dan sintesis. Dalam mencari suatu model, kita harus mengkompromikan antara penyederhanaan model dan ketelitian hasil analisis. Kecepatan dan kehandalan komputer digital memungkinkan merumuskan model matematika yang lebih lengkap dan kompleks. Harus dicari kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik dan hasil studi eksperimental pada sistem fisik.

Physical Model Mathematical Model Modeling Error Mathematical Model Numerical Model Discretization Error Numerical Model Computer Model Numerical Error

SISTEM LINIER Sistem Linier adalah suatu sistem yang mempunyai model persamaan yang linier. Suatu persamaan differensial adalah linier jika koefisiennya adalah konstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya. Prinsip superposisi menyatakan bahwa respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon individualnya. Sistem linier parameter konstan (time invariant) dinyatakan oleh persamaan differensial linier parameter konstan. Misal: Sistem pegas. Sistem linier parameter berubah (time-varying) dinyatakan oleh persamaan differensial yang koefisiennya merupakan fungsi dari waktu. Contoh: Sistem kendali pesawat ruang angkasa (masa pesawat berubah karena konsumsi bahan bakar dan gravitasi).

SISTEM NON-LINIER Sistem non-linier adalah sistem yang dinyatakan oleh persamaan non- linier. Beberapa contoh persamaan non-linier: y = ex y = sin x y = x2 z = x2 + y2 Persamaan differensial disebut non-linier jika tidak berlaku prinsip superposisi, contoh:

FUNGSI ALIH Fungsi Alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dari transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak), dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah nol. Fungsi alih merupakan sifat dari sistem itu sendiri untuk merelasikan masukan dengan keluaran. Fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem. Masukan X(s) Keluaran Y(s) Fungsi Alih G(s)

Sistem Translasi Mekanik Tinjau sistem pegas-massa daspot (menimbulkan gaya viskos atau redaman). Setiap gerakan relatif antara batang torak dan silinder dilawan oleh minyak. Energi yang diserap daspot didisipasikan sebagai panas sehingga daspot tidak menyimpan energi kinetik atau potensial. Gaya x(t) sebagai masukan dan perpindahan masa y(t) sebagai keluaran. Kita akan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: Menulis persamaan diferensial dari sistem Mencari transformasi Laplace dari persamaan diferensial, dengan mengganggap semua syarat awal nol. Mencari perbandingan dari keluaran Y(s) dan masukan X(s). Perbandingan ini adalah fungsi alih.

Jawab Hukum Newton untuk sistem translasi: m.a =  F dengan: m = massa (kg), a = percepatan (m/dtk2), F = gaya (N). Terapkan hukum Newton pada sistem, kita peroleh: atau Transformasi Laplace tiap suku persamaan diperoleh:

Jika kita tentukan syarat awal sama dengan nol, maka y(0) = 0, dan maka transformasi Laplace diatas dapat ditulis: (ms2 + fs + k)Y(s) = X(s) Dengan mencari perbandingan Y(s) dan X(s), diperoleh:

Soal Buatlah fungsi pindah dari sistem rotasi mekanik yang terdiri dari inersia beban dan peredam gerakan viskositas. Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan: J =  T dengan: J = momen inersia (kg-m2), a = percepatan sudut (rad/dtk2), T = torsi (Nm). Dengan menerapkan hukum Newton pada sistem diperoleh: Jw’ + fw = T Dengan menganggap torsi T sebagai masukan dan kecepatan sudut w adalah keluaran, maka fungsi alih adalah:

dimana: (s) = L[w(t)] T(s) = L[T(t)]

Rangkaian R-L-C Rangkaian RLC terdiri dari suatu induktansi L (henry), suatu tahanan R (ohm) dan suatu kapasitansi C (farad). Tentukan fungsi alih dari sistem ini. Dengan menerapkan hukum Kirchhoff pada sistem kita peroleh:

Dengan mencari transformasi Laplace dan menganggap syarat awal nol, kita peroleh: Jika ei dianggap sebagai masukan dan eo sebagai keluaran, maka fungsi alih dari sistem adalah:

IMPEDANSI KOMPLEKS Z1 Z2 ei eo Dalam menurunkan fungsi alih rangkaian listrik, seringkali kita rasakan lebih mudah untuk menuliskan persamaan dalam bentuk transformasi Laplace secara langsung. (tanpa menulis persamaan differensialnya). Z1 Z2 ei eo Fungsi alih dapat diperoleh langsung sebagai berikut:

ELEMEN PASIF DAN AKTIF Elemen Pasif : jumlah energi yang diberikan tidak melebihi jumlah energi yang tersimpan dalam elemen. Contoh: kapasitansi, tahanan, induktansi; massa, inersia, pegas. Elemen Aktif : elemen fisik yang dapat memberikan energi eksternal ke dalam sistem. Contoh : Penguat mempunyai catu daya dan memberikan daya kepada sistem, Gaya, Torsi atau kecepatan eksternal.

Analogi Gaya - Tegangan Tinjau sistem mekanik dan sistem listrik Persamaan diferensial Sistem Mekanik: Persamaan diferensial Sistem Listrik:

BESARAN-BESARAN KESEPADAN Besaran-besaran Sepadan dalam Analogi Gaya-Tegangan Sistem Mekanik Sistem Listrik Gaya p (Torsi T) Massa m (Inersia J) Koefisien gesekan viskos f Konstanta pegas k Perpindahan x (sudut q) Kecepatan v (kecepatan sudut w) Tegangan e Induktansi L Tahanan R Kebalikan dari kapasitansi 1/C Muatan q Arus i

Soal Tentukan fungsi pindah dari rangkaian dibawah ini

Soal 2 Tentukan fungsi pindah dari rangkaian dibawah ini

Analogi Gaya - Arus Bentuk analogi lain yang sangat berguna antara sistem listrik dan sistem mekanik adalah analogi gaya-arus. Persamaan diferensial yang melukiskan sistem mekanik:

Hukum Kirchhoff untuk sistem listrik: iL + iR +iC = isL Dengan: Persamaan dapat ditulis: Fluksi magnetik gandeng dihubungkan dengan: Persamaan kemudian dapat ditulis:

BESARAN-BESARAN KESEPADAN Besaran-besaran Sepandan dalam Analogi Gaya Arus Sistem Mekanik Sistem Listrik Gaya p (Torsi T) Massa m (Inersia J) Koefisien gesekan viskos f Konstanta pegas k Perpindahan x (sudut q) Kecepatan v (kecepatan sudut w) Arus i Kapasitansci C Kebalikan dari tahanan 1/R Kebalikan dari induktansi 1/L Fluksi magnetik gandeng  Tegangan e

MOTOR SERVO HIDRAULIK Motor servo hidraulik merupakan penguat daya hidraulik dengan pengontrolan katup pandu dan aktuator. Katup pandu adalah suatu katup imbang (semua gaya tekan yang bekerja padanya adalah setimbang). Keluaran daya yang sangat besar dapat dikendalikan dengan katup pandu yang posisinya diatur dengan daya sangat kecil. Operasi motor servo hidraulik adalah sbb.: Jika tutup pandu digerakkan ke kanan maka lubang I dihubung-kan dengan lubang catu, dan minyak bertekanan masuk ke dalam ruang di sebelah kiri torak daya. Karena lubang II dihubungkan dengan lubang kuras, maka minyak di sebelah kanan torak daya keluar kembali. Minyak yang mengalir ke dalam silinder daya mempunyai tekanan yang tinggi, sedangkan minyak yang keluar dari silinder daya mempunyai tekanan yang rendah.

Beda tekanan yang dihasilkan pada kedua sisi torak akan menyebabkan torak bergerak ke kanan. Minyak yang kembali ke saluran kuras ditekan dengan sebuah pompa kemudian di sirkulasikan lagi di dalam sistem. Jika torak pandu digerakkan ke kiri, maka torak daya akan bergerak ke kiri. Besaran-besaran: Q = laju aliran minyak ke silinder (kg/dtk). DP = P2 – P1 = beda tekanan pada torak daya (N/m2). x = perpindahan katup pandu (m). Q = f(x, DP) Dengan linierisasi persamaan non-linier, kita peroleh:

Kondisi kerja normal sistem ini adalah : sehingga persamaan menjadi : Q = K1x – K2DP Gambar menunjukkan hubungan antara Q, x dan DP yang dilinierkan (kurva karakteristik motor servo hidraulik dilinierkan).

Kita peroleh : A r dy = Q dt laju aliran minyak Q (kg/dtk) dikali dt (dtk) sama dengan perpin-dahan torak dy (m) dikali luas torak A (m2) dikali rapat massa minyal r (kg/m3). Persamaan dapat ditulis: Gaya yang dibangkitkan torak daya sama dengan beda tekanan dikali luas torak Gaya yang dibangkitkan torak daya dikenakan pada massa dan gesekan beban, sehingga diperoleh:

atau Dengan menganggap bahwa perpindahan x dari katup pandu (pilot-valve) adalah masukkan, dan perpindahan y dari torak daya adalah keluaran, maka fungsi alih motor servo hidraulik adalah: dengan:

DIAGRAM BLOK Suatu sistem kontrol terdiri dari beberapa komponen. Diagram blok suatu sistem adalah penyajian dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya. Buat diagram blok rangkaian listrik dibawah ini Persamaan untuk rangkaian adalah:

Transformasi Laplace dari persamaan dengan syarat awal nol: Persamaan menyatakan operasi penjumlahan, diagram bloknya dinyatakan dengan: Persamaan keluaran:

Dengan merakit kedua elemen diatas, diperoleh diagram blok keseluruhan dari sistem

GRAFIK ALIRAN SINYAL Diagram blok sangat berguna dalam menyajikan sistem kendali secara grafis, tetapi untuk sistem yang sangat kompleks, proses penyederhanaan diagram blok memerlukan waktu cukup lama. Suatu pendekatan lain untuk mencari hubungan antara variabel sistem kontrol yang kompleks adalah pendekatan grafik aliran sinyal, yang dikembangkan oleh S.J. Mason. Grafik aliran sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan seperangkat persamaan diferensial linier simultan. Untuk menggunakan metode grafik, kita harus mentransformasi-kan persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar dalam s. Contoh: Gambarkan Grafik Aliran Sinyal dari Hukum Ohm E = R I dengan E adalah tegangan, I adalah arus dan R suatu tahanan. I R E

Soal Gambarkanlah Grafik Aliran Sinyal dari rangkaian R1 dan R3 yang dipasang seri dibawah ini. Jawab: dan

Soal 2 Sistem mekanik terdiri atas dua buah pegas dengan konstanta pegas k1 dan k2 dan masa M1 dan M2, friksi f1 dan f2 dan pergeseran X1 dan X2 dan gaya F. Gambarkan Grafik Aliran Sinyalnya. Jawab: (I) F + k1X2 = (M1s2 + f1s + k1) X1 (II) k1X1 = (M2s2 + f2s + k1 + k2) X2

Ambil: A  M1s2 + f1s + k1  (I) (1/A)F + (k1/A)X2 = X1 B  M2s2 + f2s + k1 + k2  (II) (k1/B)X1 = X2