KALKULUS I NI KETUT SARI

KLASIFIKASI BILANGAN RIIL Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5,…. Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulat : …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,… Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasional. Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai contoh adalah : 2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 ) 3 5 1 9 2 2 -2

Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat. Contoh bilangan irasional : √3, √5, 1 + √2, 3√7, π , cos 19° Bilangan rasional dan irasional bersama-sama membangun suatu klas bilangan yang lebih besar yang disebut bilangan riil atau kadang disebut system bilangan riil. √2 1

PEMBAGIAN DENGAN NOL Pada perhitungan dengan bilangan riil, pembagian dengan nol tidak pernah diperkenankan karena hubungan dalam bentuk y = p/0 akan mengakibatkan 0 . y = p

BILANGAN KOMPLEKS Karena kuadrat suatu bilangan riil tidak negatif, persamaan : x2 = -1 i = √-1 didefinisikan memiliki sifat i 2 = -1 Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan yang berbentuk : a + bi dengan a dan b bilangan riil. Beberapa contohnya adalah : 2 + 3i [a = 2, b = 3] 3 – 4i [a = 3, b = -4] 6i [a = 0, b = 6] 2 [a = 2, b = 0]

REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN RIIL Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat dibedakan berdasarkan bentuk penyajian desimalnya. = 1.333…, [3 berulang] = .272727…, [27 berulang] = .714285714285…, [714285 berulang] Desimal berulang yang memuat nol setelah beberapa titik disebut desimal terakhir. = .50000…, = 3.0000… , = .320000…

GARIS KOORDINAT Geometri analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya, kurva geometri dengan rumus aljabar. Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan yang lain sebagai arah negatif.-+Titik Asal Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat dari titik tersebut. Pada gambar diberi tanda tempat titik-titik dengan koordinat –4, -3, -2,75, -1/2, √2, π, dan 4. Tempat dari √2 merupakan hampiran yang diperoleh dari hampiran desimalnya yaitu π ≈ 3.14 dan √2 ≈ 1.41 -4 -3 -1.7 -½ √2 Π 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

SIFAT-SIFAT URUTAN KETIDAKSAMAAN : 1. a < b atau b > a Interpretasi geometri : a sebelah kiri b Ilustrasi : a b 2. a ≤ b atau b ≥ a Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atau berimpit dengan b Ilustrasi : a b a b 3. 0 < a atau a > 0 Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal 0 a

4. a < 0 atau 0 > a Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal Ilustrasi : a 0 5. a < b < c Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan b sebelah kiri c a b c Simbol a < b ≤ c artinya a < b dan b ≤ c. Silahkan menyimpulkan arti symbol-simbol seperti : a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c dan a < b < c < d Ketidaksamaan berikut adalah benar : 3 < 8, -7 < 1.5, -12 ≤ π, 5 ≤ 5, 0 ≤ 2 ≤ 4. 8 ≥ 3, 1.5 > -7, -π > -12, 5 ≥ 5, 3 > 0 > -1.

TEOREMA 1.1 Misal a, b, c, dan d bilangan riil : a) Jika a < b dan b < c, maka a < c b) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a – c < b – c c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac > bc untuk c negatif d) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif dan a < b, maka 1/a > 1/b

Jika arah suatu ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka bagian (b)-(e) teorema di atas dapat diuraikan secara informal sebagai berikut : b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya digandakan dengan bilangan positif yang sama, tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat dijumlahkan. e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang berlawanan pada setiap sisinya.

Pernyataan dlm teorema 1.1 diIlustrasikan 1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7 Ketidaksamaan hasil : 5 < 13 2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8 Ketidaksamaan hasil : -10 < -2 3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 Operasi : kedua sisi digandakan 3 Ketidaksamaan hasil : -6 < 18 4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7 Operasi : kedua sisi digandakan 4 Ketidaksamaan hasil : 12 28 5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7 Operasi : kedua sisi digandakan –4 Ketidaksamaan hasil : -12 > -28

PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN Penyelesaian ketidaksamaan dalam x yang tidak diketahui merupakan nilai untuk x yang membuat ketidaksamaan itu sebagai pernyataan yang benar. Sebagai contoh x = 1 merupakan penyelesaian dari ketidaksamaan x < 5, tetapi x = 7 bukan merupakan penyelesaian. Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan disebut menyelesaikan ketidaksamaan. Contoh : Selesaikan 3 + 7x ≤ 2x – 9 Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1 dengan mengumpulkan x pada satu sisi ketidaksamaan 3 + 7x ≤ 2x – 9 [diberikan] 7x ≤ 2x – 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi] 5x ≤ -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi] x ≤ - [gandakan kedua sisi dengan 1/5] krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung x, jadi himpunannya berupa selang (-∞, - 12/5) -

Contoh : Selesaikan 7 ≤ 2 – 5x < 9 Selesaikan x2 – 3x ˃ 10

NILAI MUTLAK Nilai mutlak atau magnitude suatu bilangan riil a dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan dengan : |a| = +a jika a ≥ 0 -a jika a < 0 Contoh : |5| = +5 [karena 5 > 0] |-4/7| = -(-4/7) = + 4/7 [karena –4/7 < 0] |0| = +0 [karena 0 ≥ 0]

Pengambilan nilai mutlak pada sebuah bilangan berakibat pada hilangnya tanda minus jika bilangan negatif dan tidak berubah jika bilangan itu tak-negatif. Jadi |a| merupakan bilangan tak-negatif untuk semua nilai a dan -|a| ≤ a ≤ |a|

HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN NILAI MUTLAK Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar kuadrat dari a. Setiap bilangan riil positif a mempunyai dua akar kuadrat riil, satu positif dan satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan dengan √a. Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua akar kuadrat –3 dan 3. Karena 3 merupakan akar kuadrat positif, diperoleh √9 = 3. Sebagai tambahan didefinisikan √0 = 0.

Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan √a 2 = a Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan √a 2 = a. Meskipun persamaan ini benar apabila a tak negatif, tetapi salah untuk a negatif. Sebagai contoh jika a = -4, maka : √a 2 = √(-4) 2 = √16 = 4 ≠ a Teorema : Untuk setiap bilangan riil a √a 2 = |a| Bukti : Karena a 2 = (+a) 2 = (-a) 2, maka bilangan +a dan –a merupakan akar-akar kuadrat dari a 2. Jika a ≥ 0, maka +a merupakan akar kuadrat tak-negatif dari a 2, dan jika a < 0, maka –a akar kuadrat tak-negatif dari a 2, sehingga diperoleh √a 2 = +a jika a ≥ 0 √a 2 = - a jika a < 0 Jadi √a 2 = |a|.

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka (a) |-a| = |a| Suatu bilangan dan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama (b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak (c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian merupakan pembagian nilai mutlak Bukti (a) : |-a| = √(-a)2 = √a2 = |a| Bukti (b) : |ab| = √(ab) 2 = √a 2b 2 = √a 2√b 2 = |a||b|

KETIDAKSAMAAN SEGITIGA Secara umum tidak selalu benar bahwa |a + b|=|a|+|b| Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = -3, maka a + b = -1, sehingga|a + b| = |-1| = 1 Sedangkan ;|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5 Jadi |a + b| ≠ |a| + |b|. Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai mutlak. Hal ini merupakan isi teorema yang sangat penting, yang dikenal dengan ketidaksamaan segitiga.

Teorema (Ketidaksamaan Segitiga) : Jika a dan b sebarang bilangan riil, maka |a + b| ≤ |a| + |b| Bukti :-|a| ≤ a ≤ |a| dan -|b| ≤ |b| ≤ |b| Dengan menambahkan kedua ketidaksamaan tersebut didapat -(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|)

INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka jarak d antara A dan B adalah : b – a jika a < b d = a – b jika a > b 0 jika a = b A B B A a b b a b-a a-b (1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a| (2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a|

TEOREMA 1.5 Rumus Jarak ; Jika A dan B titik –titik pada suatu garis koordinat yang masing-masing mempunyai koordinat a dan b, maka jarak d antara A dan B adalah ; d = | b - a| Rumus diatas memberikan interpretasi geometrik yang berguna untuk beberapa ekspresi matematika yang umum dan dapat dituliskan sbb ;

TABEL RUMUS JARAK EKSPRESI INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS KOORDINAT |x - a| Jarak antara x dan a |x + a| Jarak antara x dan –a (krn |x+a|=|x-(-a)|) |x| Jarak antara x dan titik asal (karena |x|=|x-0|) Ketidaksamaan dalam bentuk |x-a| < k dan |x-a| > k, sering digunakan, sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ; Ketidak Interpretasi Gambar Bentuk Alternatif Himpunan Samaan geometrik ketidaksamaan penyelesain (k>0) |x-a|<k x didlm k k k -k<x-a<k (a-k, a+k) satuan dr a a-k a x a+k |x-a|>k x lebih dr k k x-a<-k atau (-∞,a-k) U k stn dr a a-k a a+k x x-a>k (a+k, +∞) Dlm tabel diatas, < dapat diganti dgn ≤ dan > dgn ≥, yaitu titik2 terbuka diganti dgn titik2 tertutup dlm ilustrasi diatas

Contoh ; Selesaikan ; |x - 3| <4 Penyelesaian : ketidaksamaan tsb ditulis kembali sebagai -4 < x – 3 < 4 (+3) -1 < x< 7 dlm notasi selang ;(-1,7) -1 3 7 Selesaikan : |x + 4| ≥ 2 Penyelesaian : ketidaksamaan dpt ditulis kembali x + 4 ≤ -2 x ≤ -6 atau atau lebih sederhana atau x + 4 ≥ 2 x ≥ -2 -6 - 4 -2

BIDANG KOORDINAT DAN GRAFIK SISTEM KOORDINAT SIKU-SIKU Suatu sistem koordinat siku-siku (juga disebut sistem koordinat Cartesian) merupakan pasangan garis koordinat yang tegak lurus, yang disebut sumbu-sumbu koordinat sedemikian sehingga keduanya berpotongan di titik asal. Biasanya, salah satu garis tersebut horizontal dengan arah positif ke kanan, dan yang lain vertical dengan arah positif ke atas.

*KOORDINAT GRAFIK

Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x2 Himpunan penyelesaian dari y = x2 mempunyai tak hingga banyak anggota, sehingga tak mungkin digambarkan semuanya Sebaiknya diingat bahwa kurva dalam gambar di atas hanyalah hampiran grafik y = x2. Pada umumnya, hanya dengan cara kalkulus bentuk grafik yang benar dapat diketahui dengan pasti.

Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x3

PERPOTONGAN Perpotongan grafik dengan sumbu-x berbentuk (a, 0) dan perpotongan dengan sumbu-y berbentuk (0, b). Bilangan a tersebut dinamakan perpotongan-x dari grafik dan bilangan b dinamakan perpotongan-y. Contoh : Dapatkan semua perpotongan- x dan perpotongan- y dari (a) 3x + 2y = 6, (b) x = y2 – 2y, (c) y = 1/x Penyelesaian (a) : Untuk mendapatkan perpotongan-x, berikan y = 0 dan diselesaikan untuk x : 3x = 6 atau x = 2 Untuk mendapatkan perpotongan-y diberikan x = 0 dan diselesaikan untuk y : 2y = 6 atau y = 3

Grafik dari 3x + 2y = 6 merupakan garis seperti ditunjukkan dalam gambar.

GRAFIK DENGAN SKALA TIDAK SAMA Sebagai contoh, y = x3 untuk nilai antara –10 dan 10, akan mempunyai mempunyai nilai y antara (-10)3 = -1000, yang sulit digambarkan pada lembar kertas standar atau halaman cetak; satu-satunya cara mengatasinya menggunakan skala yang tidak sama

KATALOG GRAFIK-GRAFIK DASAR

GARIS *Kemiringan Dalam pengamatan,”tanjakan” atau “kemiringan” suatu bukit didefinisikan sebagai perbandingan jarak horisontal (run) dengan ketinggian (rise).

Definisi ; Jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) adalah titik-titik pada bidang koordinat maka kemiringan m dari garis tersebut didefinisikan dengan m= rise = y2-y1 run x2-x1 Definisi diatas; tidak diterapkan untuk garis vertikal. Untuk garis vertikal akan diperoleh x2=x1, sehingga memuat perbandingan dengan nol. Kemiringan garis vertikal tidak didefinisikan. Garis vertikal mempunyai kemiringan tak hingga

Contoh ; Pada tiap bagian tentukan kemiringan dan garis yang melalui (a) titik (6,2) dan titik (9,8) (b) titik (2,9) dan titik (4,3) (c) titik (-2,7) dan titik (5,7) Penyelesaian (a) m = 8-2/9-6 = 6/3 = 2 (c) m = 7-7/5-(-2) = 0/7 = 0 (b) m = 3-9/4-2 = -6/2 = -3

PERSAMAAN UMUM GARIS Suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk Ax + By + C = 0 disebut persamaan derajat-pertama dalam x dan y. Sebagai contoh, 4x + 6y – 5 = 0 adalah persamaan derajat-pertama dalam x dan y karena memiliki bentuk sesuai di atas dengan A = 4, B = 6, C = -5 Teorema : Setiap persamaan derajat-pertama dalam x dan y mempunyai grafik berupa garis lurus, sebaliknya, setiap garis lurus dapat disajikan oleh suatu persamaan derajat-pertama dalam x dan y. Bentuk persamaan Ax + By + C = 0 kadang disebut persamaan umum dari suatu garis atau persamaan linear dalam x dan y.

Contoh : Gambarkan grafik persamaan 3x – 4y + 12 = 0