Linear Programming Metode Simplex

Metode Simplex Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simplex. Namun persoalan simplex juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan linear program dengan 2 variabel keputusan.

Ketentuan yang perlu diperhatikan Nilai kanan (NK ) fungsi tujuan harus nol (0). Untuk fungsi batasan dengan tanda ( ≤ ), tambahkan variabel slack Untuk fungsi batasan dengan tanda ( ≥ ), kurangi dulu dengan variabel surplus, kemudian tambahkan variabel buatan (artificial ) Untuk fungsi batasan dengan tanda ( = ), tambahkan variabel buatan (artificial ) Nilai kanan (NK) dari setiap batasan harus mengandung bilangan positif atau 0. Jika terdapat bilangan yang negatif maka batasan tersebut dikalikan dulu dengan -1. Pastikan bahwa setiap batasan memiliki variabel Basis, jika terdapat suatu batasan yang tidak memilki variabel Basis maka tambahkan variabel baru (variabel buatan) ke sisi kiri dari kendala tersebut.

Contoh kasus Sebuah pabrik mobil menghasilkan 3 jenis sedan. Harga jual ketiga jenis sedan tersebut adalah 300, 500, dan 400 juta rupiah per unitnya. Sebut saja merknya camar, kasuari, nuri. Kebutuhan proses produksi untuk ketiga merk sedan tersebut adalah sebagai berikut: Keperluan Camar Kasuari Nuri Maksimum persediaan Bahan baku 10 20 15 15.000 Tenaga kerja 30 20.000 Lain-lain 40 26.500

Model Matematis Variabel: X1 = Camar, X2 = Kasuari, X3 = Nuri   Fungsi tujuan: Z max = 300 X1 + 500 X2 + 400 X3 Fungsi Batasan : 10 X1 + 20 X2 + 15 X3 ≤ 15.000 20 X1 + 15 X2 + 30 X3 ≤ 20.000 10 X1 + 30 X2 + 40 X3 ≤ 26.500

Langkah Penyelesaian Langkah 1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi batasan Fungsi tujuan: Z - 300 X1 - 500 X2 - 400 X3 = 0 Fungsi batasan: 10 X1 + 20 X2 + 15 X3 + X4 = 15.000 20 X1 + 15 X2 + 30 X3 + X5 = 20.000 10 X1 + 30 X2 + 40 X3 + X6 = 26.500 (X4, X5 dan X6 adalah variabel slack)

Langkah 2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel Beberapa Istilah dalam Metode Simplek NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama dengan ( = ). Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X4, X5, X6) pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif .

Tabel simplex yang pertama Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK 1 -300 -500 -400 10 20 15 15000 30 20000 40 26500

Langkah 3. Memilih kolom kunci Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplex. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada baris fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

2. Pemilihan kolom kunci pada tabel simplex pertama Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks 1 -300 -500 -400 10 20 15 15000 750 30 20000 1333,3 40 26500 883,3 Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuannya, berarti tabel itu sudah optimal.

Langkah 4. Memilih baris kunci Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplex, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. Nilai kanan (NK) Nilai kolom kunci Pilih baris yang mempunyai indeks bernilai positif dengan angka terkecil. Index =

Langkah 5. Mengubah nilai-nilai baris kunci => dengan cara membaginya dengan angka kunci Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci

3. Tabel simplex: cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks 1 -300 -500 -400 10 20 15 15000 750 30 20000 1333,3 40 26500 883,3 0,5 0,75 0,05 0/20 10/20 20/20 15/20 1/20 0/20 0/20 15000/20

Langkah 6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris pertama (Z) Baris lama [ -300 -500 -400 0 ] NBBK (-500) [ 0,5 1 0,75 0,05 750 ] ( - ) Nilai baru = [ -50 -25 25 375000]

Baris ke-3 (batasan 2) Baris lama [ 20 15 30 1 20000 ] NBBK (15) [ 0,5 0,75 0,05 750 ] ( - ) Nilai baru = [ 12,5 18,75 -0,75 8750] Baris ke-4 (batasan 3) Baris lama [ 10 30 40 1 26500 ] NBBK (30) [ 0,5 0,75 0,05 750 ] ( - ) Nilai baru = [ -5 17,5 -1,5 4000]

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga menjadi tabel simplex kedua seperti berikut: Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK 1 -50 -25 25 375000 0,5 0,75 0,05 750 12,5 18,75 -0,75 8750 -5 17,5 -1,5 4000

Langkah 7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada nilai negatif Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks 1 -50 -25 25 375000 0,5 0,75 0,05 750 1500 12,5 18,75 -0,75 8750 700 -5 17,5 -1,5 4000 -800 1,5 -0,06 0,08

Nilai baru Baris z Baris lama [ -50 -25 25 375000] NBBK (-50) [ 1 1,5 [ -50 -25 25 375000] NBBK (-50) [ 1 1,5 -0,06 0,08 700 ] ( - ) Nilai baru = [ 0 50 22 4 410000] Baris ke-2 (batasan 1) Baris lama [ 0,5 1 0,75 0,05 750 ] NBBK (0,5) [ 1 1,5 -0,06 0,08 700 ] ( - ) Nilai baru = [ 0 -0,04 400]

Baris ke-4 (batasan 3) Baris lama [ -5 17,5 -1,5 1 4000] NBBK (-5) [ 1 1,5 -0,06 0,08 700 ] ( - ) Nilai baru = [ 0 25 -1,8 0,4 7500]

Tabel simpleks final hasil perubahan Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK 1 50 22 4 410000 0,08 -0,04 400 1,5 -0,06 700 25 -1,8 0,4 7500 Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal , diperoleh hasil : Sedan Camar (X1) = 700 unit Sedan Kasuari (X2) = 400 unit Sedan Nuri (X3) = 0 (tidak perlu membuat mobil jenis Nuri) Total keuntungan = 410.000

Dalam hidup, selalu berikan yang terbaik yang kamu bisa Dalam hidup, selalu berikan yang terbaik yang kamu bisa. Tidak perlu jadi sempurna, karena apa yang menurutmu berbeda, justru membuatmu istimewa