SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Bentuk Umum : Dalam bentuk matrik : a11 x1 + a12 x2 + ……….+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ……….+ a2n xn = b2   am1 x1 + am2 x2 + ……..+ amn xn = bn SPL dengan m persamaan dan n variabel. Dalam bentuk matrik : aij, bi : tetapan-tetapan SPL xj : variable SPL i= 1, 2, ………. m, j = 1, 2, ……….n

Dalam bentuk matrik lengkap (augmented) Persyaratan Sistem Persamaan Linier : A x = b Dengan : A : matrik koefisien (harus matrik bujursangkar) x : matrik variabel (matrik kolom) b : matrik suku tetap (matrik kolom)

TUNGGAL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN SPL BANYAK Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN SPL dalam : R2 (garis) : ax + by = c R3 (bidang): ax + by + cz = d

Syarat garis //(tetapi tidak berhimpit) Sistem persamaan linier dengan 2 variabel, secara geometris : Berupa dua garis sejajar (tidak punya penyelesaian) Syarat garis //(tetapi tidak berhimpit) Berupa titik hasil perpotongan dua garis(penyelesaian tunggal/unik) Syarat dua garis tidak // Berupa dua garis lurus saling berhimpit (penyelesaiannya banyak) Syarat garis berhimpit

ILUSTRASI GRAFIK SPL 2 persamaan 2 variabel: Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

Penyelesaian: Ada, Tunggal (well condition) Penyelesaian: Ada, Kondisi buruk (ill condition) x1 x2 3x1 + 2x2 = 18 -x1 + 2x2 = 2 x1 x2 - ½ x1 + x2 = 1 -2.3/5 x1 + x2 = 1.1 Det = 3*2 - (-1)*2 = 8 Det = -1/2 *1 - (-2.3/5)*1 = -0.04 Penyelesaian: Tak ada Penyelesaian: Tak berhingga x1 x2 -½ x1 + x2 = 1 -½ x1 + x2 = ½ x1 x2 -½ x1 + x2 = 1 -1 x1 + 2x2 = 2 Det = -1/2 *1 - (-1/2)*1 = 0 Det = -1/2 *2 - (-1)*1 = 0

CARA PENYELESAIAN SPL: Eliminasi biasa (operasi tanpa mengubah jawab) Mengalikan persamaan dengan bilangan ≠ 0 Menambah/mengurangkan persamaan dengan kelipatan persamaan lain 2. Dengan cara OBE : a. Eliminasi Gauss Membuat matrik lengkap (augmented) Mengubah matrik lengkap menjadi matrik eselon baris dengan sejumlah OBE Mendapatkan jawab SPL

Perubahan Eliminasi Gauss (backward) dapat digambar- kan sebagai berikut :

OBE b. Eliminasi Gauss – Jordan : (A b) (I x) Membuat matrik lengkap (augmented) Mengubah matrik lengkap menjadi matrik eselon baris tereduksi dengan sejumlah OBE Mendapatkan jawab SPL

Perubahan eliminasi Gauss – Jordan dapat digambarkan sebagai berikut :

3. Dengan matrik invers : 4. Dengan aturan Cramer : SPL berikut ini : maka : x = A-1 b

Agar solusi SPL dapat diperoleh, maka persyaratan berikut ini harus dipenuhi : 1. Ax = b mempunyai jawab unik x V untuk setiap b V 2. Jika Ax = 0, berarti x = 0 3. Mempunyai matrik invers A 4. Determinan A ≠ 0 5. Rank (A) = n, atau matrik A berorde n Jika persyaratan di atas tak terpenuhi, maka akan terjadi kombinasi linier (mengakibatkan SPL bersifat singular) Kombinasi Linier : per baris, cukup hanya 2 baris yang menyebabkannya per kolom, bila semua baris yang menyebabkannya.

Tentukan SPL di bawah ini : Contoh : Tentukan SPL di bawah ini : Jawab : Dengan cara eliminasi : 2 x1 – 3(2) = – 4 x1 = 1 Jadi : x1 = 1 dan x2 = 2

b. Dengan cara OBE : x1 = 1 dan x2 = 2

c. Dengan cara matrik invers. Jadi x1 = 1 dan x2 = 2

d. Dengan cara aturan Cramer : Jadi, x1 = 1 dan x2 = 2

Tentukan SPL di bawah ini : 2 x1 + x2 – x3 = 2 x1 – x2 + x3 = 1 –x1 + 2 x2 – x3 = 3 Dengan cara eliminasi : 2 x1 + x2 – x3 = 2 …….(1) x1 – x2 + x3 = 1 …….(2) –x1 + 2 x2 – x3 = 3 ..…..(3) (1) 2 x1 + x2 – x3 = 2 (2) x1 – x2 + x3 = 1 3 x1 = 3 x1 = 1

(2) x1 – x2 + x3 = 1 (3) –x1 + 2 x2 – x3 = 3 x2 = 4 x1 – x2 + x3 = 1 1 – 4 + x3 = 1 x3 = 4 Jadi : x1 = 1, x2 = 4 dan x3 = 4

b. Dengan cara OBE : OBE b12 b21(-2)

b31(1) b2(1/3) b12(1) b32(-1) b23(1) Jadi : x1 = 1, x2 = 4 dan x3 = 4

c. Dengan cara matrik invers

Jadi : x1 = 1, x2 = 4 dan x3 = 4

d. Dengan cara Cramer : Jadi : x1 = 1, x2 = 4 dan x3 = 4

SPL dengan penyelesaian tunggal (unik) 3. Cari penyelesaian dari sistem dengan metode Gauss: x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 Lakukan OBE, bawa (A B) menjadi bentuk eselon baris (A B) = ~

~ ~ r(A) = 3 r(A B) = 3 n = 3 ~ Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = -5 x2 – x3 = 4 2x3 = -2

Selanjutnya lakukan substitusi balik : 2x3 = -2 x3 = -1 x2 – (-1) = 4 x2 – x3 = 4 x2 = 3 x1 – 2x2 + x3 = -5 x1 – 2(3) + (- 1) = -5 x1 = 2 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

4. Cari penyelesaian dari sistem dengan metode Gauss - Jordan : x1 – 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 – 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 Lakukan OBE, bawa (A B) menjadi bentuk eselon baris tereduksi. (A B) = ~

~ ~ ~ ~ r(A) = 3 r(A B) = 3 n = 3 ~ ~

Persamaan terakhir menjadi: x1 = 2 x2 = 3 x3 = -1 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

SPL dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x1 – 2x2 + x3 = 2 -2x1 + 3x2 – 4x3 = 1 -5x1 + 8x2 – 9x3 = 0 Lakukan OBE, bawa (A B) menjadi bentuk eselon baris (A B) = ~

Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 r(A) = 2 r(A B) = 2 n = 3 ~ Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3 Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = 2 – x2 – 2x3 = 5

Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru. Misalkan x3 = α, dengan α bilangan nyata – x2 – 2α = 5 – x2 – 2x3 = 5 x2 = - 2α – 5 x1 – 2(- 2α – 5) + α = 2 x1 – 2x2 + x3 = 2 x1 = -5α – 8 Jadi penyelesaian umum : {(-5α – 8, -2α – 5, α)}. Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.

Selesaikan sistem : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 5 (A B) = ~ r(A) = 2 r(A B) = 2 n = 4 ~

Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x2 dan x4 Persamaan baru menjadi : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 – x3 – 2x4 = - 1 Misalkan x2 = α, dan x4 = β dengan α, β bil. nyata – x3 – 2x4 = - 1 – x3 – 2β = - 1 x3 = - 2β + 1

x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 x1 – α + 2 (-2β + 1) – 3β = -2 x1 = α + 7β – 4 Jadi penyelesiaan umum : {(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β)}. misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}.

SPL yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian. Selesaikan sistem : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 -x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1 2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3 (A B) = ~

r(A) = 2 r(A B) = 3 n = 4 ~ r(A) ≠ r(A B); tidak punya penyelesaian. Mengapa ? Persamaan baru yang terakhir dapat dibaca : 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2 Apakah ada nilai x yang memenuhi ? Sistem tidak punya penyelesaian.

Metode Grafik Det{A}  0  A nonsingular, maka invertible Solusi Unik 2 -2 Det{A}  0  A nonsingular, maka invertible Solusi Unik

Sistem persamaan yang tak terselesaikan Tidak ada jawab Det [A] = 0, Sistem inkonsisten SPL Tak terselesaikan

Sistem dengan solusi tak terbatas Det{A} = 0  A singular solusi tak terbatas Konsisten, sehingga dapat diselesaikan

Umumnya inkonsisten (tetapi tidak selalu) SPL Overdetermined Disebut overdetermined jika jumlah persamaan (m) lebih banyak dari jumlah variabelnya (n). Dalam penulisan matrik, jumlah baris selalu lebih besar dari jumlah kolom Umumnya inkonsisten (tetapi tidak selalu) Contoh : (a) 2 x1 – x2 = 7 (b) 2 x1 + x2 + x3 = 4 (c) x1 +2x2 + x3 = 1 –2 x1 – x2 =– 5 –2 x1 – x2 –3 x3 = – 5 2x1 – x2 + x3 = 2 x1 +2x2 = 2 2 x1 – 3x2 +3 x3 = – 3 4x1 +3x2 + 3x3 = 4 x1 +2x2 –2 x3 = 9 3x1 + x2 + 2x3 = 2

Untuk sistem (a) Baris terakhir menyatakan bahwa SPL inkonsisten, karena tidak ekivalen atau tidak memiliki himpunan penyelesaian yang sama satu sama lain.

Untuk sistem B Matrik berbentuk segitiga, SPL konsisten dan memiliki tepat satu himpunan penyelesaian yaitu : (3, 2, -1)

Untuk sistem (c) SPL dikatakan konsisten. Himpunan penyelesainnya tidak terhingga dengan variabel bebasnya x3. Himpunan penyelesainnya adalah : {(1- 0,6 x3), (-0,2 x3), x3}. Nilai x3 bebas

Bisa inkonsisten dan memiliki penyelesaian tak berhingga. SPL Underdetermined Disebut underdetermined jika jumlah persamaan (m) lebih sedikit dari jumlah variabelnya (n). Dalam penulisan matrik, jumlah baris selalu lebih kecil dari jumlah kolom Bisa inkonsisten dan memiliki penyelesaian tak berhingga. Tidak mungkin menghasilkan penyelesaian unik Contoh : (a) 2 x1 + x2 – 2x3 = 4 (b) x1 + x2 + x3 – x4 – 2x5 = 3 –2 x1 – x2 +2x3 =3 2 x1 + x2 + x3 – x4 – x5 = 3 2 x1 – x2 – x3+ x4 + 6x5 = 7

Untuk sistem (a): SPL underdetermined juga mungkin tidak memiliki himpunan penyelesaian (inkonsisten)

Jika diteruskan diperoleh hasil : Untuk sistem b : Terdapat 2 variabel bebas, sehingga SPL memiliki penyelesaian tak terhingga Jika diteruskan diperoleh hasil : x1 = 2, x2 = 3 – x3 + x4, x5 = 1 ( x3 dan x4 = variabel bebas)

Latihan soal : 1. Tentukan x1, x2, x3 dan x4 dengan metode Cramer dan matrik invers : a) 2 x1 + 4 x2 – x3 + 2 x4 = – 7 4 x1 + 2 x2 +3 x3 – x4 = 17 6 x1 –3 x2 + 4 x3 + 4 x4 = 19 –2 x1 + x2 – 2x3 – x4 = – 9 b) 2 x1 – x2 + 3 x3 + 4 x4 = 9 x1 – 2 x3 + 7 x4 = 11 3 x1 – 3 x2 + x3 + 5 x4 = 8 2 x1 + x2 + 4 x3 + 4 x4 = 10

2. Tentukan x1, x2, x3 dan x4 dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss Jordan : a) x1 – x2 + 2 x3 – x4 = – 8 2 x1 – 2 x2 +3 x3 – 3 x4 = –20 x1 + x2 + x3 = – 2 x1 – x2 + 4x3 – 3 x4 = 4 b) 3 x1 –13 x2 + 9 x3 + 3 x4 =–19 6 x1 – 2 x2 + 2 x3+ 4 x4 = 16 12 x1 –8 x2 +6 x3 + 10 x4 = 26 –6 x1 + 4 x2 – x3 – 18 x4 = –34