Permutasi

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap kelompok urutan komponen diperhatikan Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 2 huruf Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah diperoleh 2 kelompok Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah: diperoleh 6 kelompok Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi ketiga Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi kedua

Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4 Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4 Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3 Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2 Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1 jumlah kelompok yang mungkin dibentuk: kelompok yaitu: ada 24 kelompok

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen yang setiap kelompok terdiri dari n komponen juga adalah Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n! dan kita tuliskan Kita baca : n fakultet Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen, tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan

Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya. Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4dan 3. Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya. Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

Secara Umum: Contoh: Contoh:

Kombinasi

Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan tanpa mempedulikan urutannya Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA maka sebaliknya hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

dibagi dengan permutasi k Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan jumlah permutasi nPk dibagi dengan permutasi k Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai nCk Jadi

Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf Contoh: Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf A, B, C, dan D Jawab: yaitu:

Contoh Aplikasi

Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja Distribusi Maxwell-Boltzman Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi

dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah

Banyaknya cara penempatan elektron di E1 merupakan permutasi n1 dari N yaitu Banyaknya cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari (Nn1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1 Banyaknya cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari (Nn1n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2 dst.

Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst. Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara satu elektron dengan elektron yang lain Jadi banyaknya cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N yaitu Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst. dst.

maka probabilitas tingkat-tingkat energi Setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst. maka probabilitas tingkat-tingkat energi adalah Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron yang demikian ini adalah: Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut permutasi dan kombinasi

(lihat buku “Mengenal Sifat Material”, Bab-9) Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann Banyaknya elektron pada tingkat energi Ei temperatur konstanta Boltzmann tingkat energi ke-i probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i fungsi partisi (lihat buku “Mengenal Sifat Material”, Bab-9)

Permutasi dan Kombinasi Course Ware Permutasi dan Kombinasi Sudaryatno Sudirham