RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah.

Vektor pada Rn Definisi Ruang-n Notasi: Rn Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real Notasi: Rn n = 2  pasangan terurut; n = 3  triple terurut n = 1  satu bilangan real (notasi: R1 atau R) 2 interpretasi geometris tripel terurut (a1,a2,a3): Titik: a1,a2,a3 sebagai koordinat Vektor: a1,a2,a3 sebagai komponen vektor

Interpretasi tripel terurut

Operasi standar Dua vektor u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn) pada Rn Sama u=v; u1= v1, u2= v2, ···, un= vn Jumlah: u+v = (u1+v1, u2+v2, ···, un+vn) Perkalian skalar: ku=(ku1, ku2,···, kun) Vektor nol Notasi: 0 0 = (0,0, ···,0)

Sifat-sifat aritmatika Jika u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) pada Rn Negatif: -u = (-u1, -u2,···, -un) Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v1-u1, v2-u2, ···, vn-un) Teorema: (k,l: skalar) v+ u = u +v  k(l u) = (kl) u u + (v+w) = (u +v) + w  k(u +v) = k u + kv u + 0 = 0+ u = u  (k+l) u = ku+lu u +(- u)= 0  u - u = 0  1u = u

Ruang n-Euclidean Misal u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn), w=(w1, w2,···, wn) adalah vektor pada Rn dan k skalar Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean: u·v = (u1v1 + u2v2 + ··· + unvn) 4 sifat penting inner product u·v = v·u (u+v)·w = uw + vw (ku)·v = k(u·v) v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0

Contoh 1 Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor: u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)  u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18 Cara penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa (3u+2v)·(4u+v) = (3u)·(4u+v) + (2v)·(4u+v) = (3u)·(4u) + (3u)·v + (2v)·(4u) + (2v)·v = 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)

Norm dan jarak Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u1, u2,···, un): Definisi jarak (distance) antara titik u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn):

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) pada Rn Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz: atau

Sifat-sifat norm dan jarak Jika u dan v adalah vektor dan k skalar ||u|| ≥ 0 ||u|| = 0 iff u =0 ||ku|| = |k| ||u||  perkalian vektor dgn skalar mengalikan panjang dr vektor sebesar k ||u +v|| ≤ ||u||+||v||  jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga dr segitiga tersebut u ku v u + v

Vektor ortogonal Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff u·v=0 Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga u v u + v Teorema Phytagoras ||u+v||2=||u||2+||v||2

Ruang Vektor Real Definisi ruang vektor V: himpunan objek di mana dua operasi berikut didefinisikan pada V jumlah dari pasangan objek dalam V perkalian objek dengan skalar Jika aksioma –aksioma untuk ruang vektor terpenuhi oleh seluruh objek u,v,w dalam V dan skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor objek dalam V disebut vektor.

Aksioma-aksioma Jika u dan v adalah objek dalam V, maka u + v juga objek dalam V u + v = v + u u +(v +w) = (u+ v) + w Objek 0 dalam V disebut vektor nol untuk V 0+u=u+ 0=u untuk semua u dalam V Untuk tiap u dalam V, objek –u dalam V disebut negatif dari u u + (- u) = (- u) + u = 0 Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek dalam V, maka ku juga dalam V k(u +v) = ku + kv k(l u) = (kl) u 1u = u

Bukti Misal

Subspace (subruang) Definisi: Subset W dari ruang vektor V disebut subspace dari V jika W merupakan ruang vektor yang dibentuk dari operasi penjumlahan dan perkalian dalam V Bila W adalah himpunan yang terdiri dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W subspace dari V iff Jika u dan v vektor dalam W, maka u+v juga dalam W Jika k sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka ku juga dalam W

Contoh1: subruang Vektor u+v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v  W adalah subruang dari R3 u v u + v W ku Garis melalui origin adalah subruang u v u + v W W u ku

Subruang dari R2 dan R3 Tiap ruang vektor tak-nol V minimal terdiri dari 2 subruang: Subruang V Vektor nol dalam V  subruang nol (zero subspace) Subruang dari R2 {0} Garis melalui origin R2 Subruang dari R3 {0} Garis melalui origin Bidang melalui origin R3

Kombinasi linear dari vektor Vektor w adalah kombinasi linear dari v1, v2,, vr dan k1,k2, , kr jika Untuk r = 1: w = k1v1 Kombinasi linear vektor tunggal v1 Vektor v=(a,b,c): kombinasi linear dari vektor basis standar

Contoh 2 Vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) Tunjukkan bahwa w=(9,2,7): kombinasi linear dari u dan v w´=(4,-1,8): bukan kombinasi linear w kombinasi linear dari u dan v bila w = k1u + k2v (9,2,7) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2) (9,2,7) = k1+6k2, 2k1+4k2, -k1+2k2 k1 + 6k2 = 9; 2k1 + 4k2 = 2; -k1 + 2k2 = 7 → k1=-3; k2=2 Maka w = -3u + 2v

Rentangan (spanning) Jika v1, v2,, vr adalah vektor dalam ruang vektor V, maka Himpunan W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,, vr adalah subruang V W adalah subruang terkecil dalam V yang berisi v1,v2,, vr Jika S = {v1, v2,, vr} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka Subruang W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,, vr disebut ruang yang direntang oleh vektor tersebut W= span (S) atau W= span {v1, v2,, vr}

Jika v1dan v2 adalah vektor di R3 dengan titik awal pada origin Span{v1, v2} yang berisi seluruh kombinasi linear k1v1 + k2v2: bidang melalui origin yang ditentukan oleh v1 dan v2 Jika v merupakan vektor di R2 atau R3 Span{v} yang berupa seluruh perkalian kv: garis yang ditentukan oleh v v1 k1v1 k1v1+ k2v2 k2v2 v2 y z x span{v1, v2} v kv span{v}

Contoh 3 Tunjukkan bahwa v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1), v3 = (2,1,3) merentang ruang vektor pada R3 Tentukan vektor semu b=(b1,b2,b3) sebagai kombinasi linear b = k1v1 + k2v2 + k3v3 (b1,b2,b3) = k1(1,1,2) + k2(1,0,1)+k3(2,1,3) k1 + k2 + 2k3 = b1 k1 + k3 = b2 2k1 + k2 + 3k3 = b3 Sistem linear konsisten iff matriks koefisien A dapat diinverskan det(A)=0 → A tidak dapat diinverskan v1, v2 dan v3 tidak dapat merentang pada R3

Kebebasan linear Himpunan vektor S = {v1, v2, , vr} Persamaan vektor k1v1 + k2v2 +  + krvr = 0 Jika hanya ada satu solusi k1= 0, k2 = 0, , kr = 0 S adalah himpunan bebas linier (linearly independent) Jika ada solusi yang lain S disebut himpunan takbebas linear

Contoh 4 Tunjukkan bahwa v1 = (1, -2,3), v2 = (5,6,-1), v3 = (3,2,1) membentuk himpunan bebas linear atau tak bebas linear Persamaan vektor dalam komponen k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1(1, -2,3) + k2(5,6, -1)+k3(3,2,1)=(0,0,0) (k1+5k2+3k3, –2k1+6k2+2k3, 3k1– k2 +k3) = (0,0,0) Persamaan untuk tiap komponen k1 + 5k2 + 3k3 = 0 – 2k1 + 6k2 + 2k3 = 0 3k1 – k2 + k3 = 0

Contoh 4 (cont.) Solusi sistem Solusi nontrivial k1= t/2; k2 = -t/2; k3 = t Solusi nontrivial v1, v2 dan v3: himpunan takbebas linear Eksistensi solusi nontrivial Determinan matriks koefisien sama dengan nol Matrik tsb tidak dapat diinverskan

Interpretasi geometri dari kebebasan linear y z x v1 v2 (a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier y z x v3 v2 v1 (a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier

Basis Definisi: Teorema: Jika V adalah ruang vektor S = {v1, v2, , vn}: himpunan vektor dalam V S disebut basis untuk V jika memenuhi kondisi berikut S adalah bebas linear S merentang V (S spans V) Teorema: Jika S = {v1, v2, , vn}: basis untuk ruang vektor V Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam satu cara saja

Basis Bukti: Kurangkan kedua persamaan v = c1v1+ c2v2+ + cnvn dan v = k1v1+ k2v2+ + knvn Kurangkan kedua persamaan 0 = (c1– k1)v1+ (c2 – k2)v2+ + (cn – kn)vn Solusi: c1= k1, c2 = k2,  , cn = kn Kedua ekspresi untuk v adalah sama

Dimensi Definisi: Teorema: Ruang vektor tak nol V disebut dimensi berhingga Bila V berisi himpunan vektor-vektor berhingga {v1, v2, , vn} yang membentuk sebuah basis Jika tidak terdapat himpunan vektor tersebut, V disebut dimensi tak berhingga Teorema: Jika V adalah ruang vektor dimensi berhingga dan {v1, v2, , vn} merupakan basis Tiap himpunan yang memiliki vektor > n  takbebas linear Himpunan vektor < n  tidak dapat merentang V

Dimensi Catatan: Bila S = {v1, v2, , vn} adalah basis untuk V Seluruh basis untuk V memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis S Basis untuk Rn memiliki n vektor Basis untuk R3 memiliki 3 vektor Basis untuk R2 memiliki 2 vektor Basis untuk R1 memiliki 1 vektor Jumlah vektor dalam basis = jumlah dari dimensi

Contoh 5 Tentukan basis dan dimensi untuk solusi ruang sistem homogen berikut: 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 – x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0

Bentuk reduksi dalam persamaan: Augmented matriks: Reduksi eselon baris: Bentuk reduksi dalam persamaan: x1+ x2+ x5 = 0 x3+ x5 = 0 x4 = 0

Solusi: Dalam bentuk vektor: x1 = –s –t; x2 = s; x3 = –t; x4 =0; x5 = t; Dalam bentuk vektor:

Vektor yang merentang ruang solusi: Vektor v1, v2: bebas linear {v1, v2}: basis Ruang solusi: dua dimensi

Ruang baris, kolom dan nul Jika A matriks m×n: subruang Rn direntang oleh vektor baris disebut ruang baris dari A subruang Rm direntang oleh vektor kolom disebut ruang kolom dari A ruang solusi dari sistem homogen dari persamaan Ax = 0 yang merupakan subruang Rn disebut ruang nul dari A Teorema: Sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten iff b merupakan ruang kolom dari A

Contoh 6 Tunjukkan bahwa b merupakan ruang kolom dari A dan ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom matriks A:

Contoh 6 (cont.) Solusi sistem: x1 = 2; x2 = – 1; x3 = 3 Sistem konsisten  b merupakan ruang kolom A Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A

Basis untuk ruang baris, kolom dan nul Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul dan ruang baris dari matriks Jika matriks R merupakan matriks hasil reduksi baris: Vektor baris dengan leading 1 (baris tak nol)  basis untuk ruang baris Vektor kolom dengan leading 1  basis untuk ruang kolom

Contoh 7 Matriks: Basis untuk ruang baris: Basis untuk ruang kolom:

Rank dan nullity Rank: dimensi dari ruang baris dan ruang kolom Notasi: rank(A) Nulitas(nullity): dimensi dari ruang nul Notasi: nullity(A) rank(A)=dim(ruang baris A)=dim(ruang kolom AT) rank(A) + nullity(A) = n Jumlah var. leading + jumlah var. bebas = n

Nilai maksimum dari rank Jika A matriks m×n: rank(A) = jumlah var. leading dalam solusi Ax = 0 nullity(A) = jumlah parameter dalam solusi Ax = 0 Vektor baris terletak pada Rn  ruang baris berdimensi n Vektor kolom terletak pada Rm  ruang kolom dimensi m Ruang baris = ruang kolom mn, rank(A) = nilai terkecil antara m dan n Nilai maksimum rank: rank(A)  min(m,n)