Mathematics III TS 4353 Class B Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University

PD Linier Non homogen orde 2 PD Lengkap y” + py’ + qy = f(x) PUPD: y = yc + yp yc = diperoleh dari PR (PD homogen) yp = diperoleh dengan 3 metode: Koefisien tak tentu Variasi parameter Operator D Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Koefisien Tak Tentu Berlaku untuk persamaan dengan koefisien konstanta dan ruas kanan r(x) yang berupa suatu fungsi eksponensial, polinomial, cos dan sin atau jumlah fungsi-fungsi semacam itu. Suku di dalam r(x) yp keax Ceax kxn ( n = 0,1,…) Knxn + Kn-1xn-1 + … + K1x + K0 k cos ωx K cos ωx + M sin ωx k sin ωx keax cos ωx eax (K cos ωx + M sin ωx) keax sin ωx Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Kaidah untuk metode koefisien tak tentu Kaidah dasar. Jika r(x) di dalam persamaan non homogen merupakan salah satu fungsi pada kolom pertama tabel, maka digunakan fungsi yp pada kolom yang kedua dan menentukan koefisiennya dengan cara mensubtitusikan yp dan turunannya ke dalam persamaan non homogen. Kaidah modifikasi. Jika r(x) adalah solusi bagi persamaan homogen padanan persamaan non homogen, maka kalikan yp yang dipilih dengan x (atau dengan x2 jika solusi ini berasal dari akar kembar persamaan ciri bagi persamaan homogen tersebut). Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Kaidah jumlah. Jika r(x) merupakan jumlah beberapa fungsi di dalam kolom pertama dari tabel, maka digunakan yp dari kolom dua, dimana yp ini merupakan jumlah fungsi-fungsi padanannya. Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 y” – 2y’ + y = e3x subs: y=ekx k2 – 2k + 1 = 0 (k-1)(k-1)=0 k=1 or k=1 yc= ex(c1 + c2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 (Lanjutan) yp = Ce3x y’p = 3Ce3x y”p= 9Ce3x 9Ce3x – 2(3Ce3x) + Ce3x= 0 4 Ce3x= e3x 4 C= 1  C= ¼ PUPD : y =yc + yp = ex(c1 + c2x) + 1/4e3x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2 y” – 5y’ + 6y = 3e4x ?

Example 2 y” – 5y’ + 6y = 3e4x y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=ekx k2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 yc= c1e2x+c2e3x yp = Ce4x y’p= 4Ce4x y”p = 16Ce4x 16Ce4x – 5(4Ce4x)+ 6(Ce4x) = 3e4x 2Ce4x = 3e4x C = 3/2 yp= 3/2e4x PUPD = y = yc + yp = c1e2x+c2e3x + 3/2e4x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3 y” – 5y’ + 6y = 2x y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=ekx k2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 yc= c1e2x+c2e3x yp = K1x + K0 y’p= K1 y”p = 0 0 – 5K1 + 6(K1x + K0) = 2x 6 K1x + 6K0 - 5K1 = 2x + 0 6 K1 = 2  K1 = 1/3 6K0 - 5K1 = 0  K0 = 5/18 yp= 1/3x + 5/18 PUPD = y = yc + yp = c1e2x+c2e3x + 1/3x + 5/18 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 4 y” – 5y’ + 6y = x2+2x+1 ? Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 4 y” – 5y’ + 6y = x2+2x+1 y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=ekx k2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 yc= c1e2x+c2e3x yp = K2x2 + K1x + K0 y’p= 2K2x + K1 y”p = 2K2 2K2 – 5(2K2x + K1)+ 6(K2x2 + K1x + K0) = x2+2x+1 6K2x2 –(10K2+ 6K1)x + (2K2 – 5K1 + 6K0)= x2+2x+1 6K2 = 1  K2 = 1/6 - 10K2+ 6K1 = 2  K1= 11/18 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 4 (Lanjutan) 2K2 – 5K1 + 6K0 = 1 1/3 – 55/18 + 6K0 = 1 6K0 = (18-6+55)/18 K0 = 67/108 yp= 1/6x2 + 11/18x + 67/108 PUPD = y = yc + yp = c1e2x+c2e3x + 1/6x2 + 11/18x + 67/108 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 5 y” – 5y’ + 6y = 2 sin 3x y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=ekx k2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 yc= c1e2x+c2e3x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 5 (Lanjutan) yp = K cos 3x + M sin 3x y’p= -3K sin 3x + 3M cos 3x y”p = -9K cos 3x - 9M sin 3x (-9K cos 3x - 9M sin 3x) – 5(-3K sin 3x + 3M cos 3x )+ 6(K cos 3x + M sin 3x) = 2 sin 3x cos 3x(-9K – 15M+ 6K) + sin 3x(-9M+15K + 6M)= 2 sin 3x (-3K – 15M) cos 3x + (-3M+15K) sin 3x= 2 sin 3x K = -5/36; M = -1/36 yp = -5/36 cos 3x – 1/36 sin 3x PUPD = y = yc + yp = c1e2x+c2e3x + 1/6x2 -5/36 cos 3x – 1/36 sin 3x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 6 (Kaidah 2) y” – 3y’ + 2y = ex y” – 3y’ + 2y = 0 subs: y=ekx k2 – 3k + 2 = 0 (k-1)(k-2) = 0 k = 1 or k = 2 yc= c1ex+c2e2x yp = Cxex y’p= Cex + Cxex y”p = 2Cex + Cxex (2Cex + Cxex) – 3(Cex + Cxex)+ 2(Cxex) = ex -Cex = ex C = -1 yp= -xex PUPD = y = yc + yp = c1ex+c2e2x - xex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 7 (Kaidah 3) y” + 2y’ + 5y = 16ex + sin 2x y” + 2y’ + 5y = 0 subs: y=ekx k2 + 2k + 5 = 0 = -1 ± 2i yc = e-x(c1cos 2x + c2 sin 2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 7 (Lanjutan) yp = Cex + K cos 2x + M sin 2x y’p= Cex - 2K sin 2x + 2M cos 2x y”p = Cex - 4K cos 2x - 4M sin 2x (Cex - 4K cos 2x - 4M sin 2x ) + 2(Cex - 2K sin 2x + 2M cos 2x)+ 5(Cex + K cos 2x + M sin 2x ) = 16ex + sin 2x 8Cex + (-4K + 4M + 5K) cos 2x + (-4M – 4K + 5M) sin 2x = 16ex + sin 2x 8C = 16  C = 2 -4K + M = 1 K = -4/17 K + 4M = 0 M = 1/17 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 7 (Lanjutan) yp= 2ex – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x PUPD = y = yc + yp = e-x(c1cos 2x + c2 sin 2x) + 2ex – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 8 y”+ y = 0,001 x2 ; y(0) = 0; y’(0) = 1,5 y” + y = 0 subs: y=ekx k2 + 1 = 0 k2 = -1 k = ± √-1 yc= c1 cos x+c2 sin x yp = K2x2 + K1x + K0 y’p= 2K2x + K1 y”p = 2K2 2K2 – 0(2K2x + K1)+ (K2x2 + K1x + K0) = 0,001 x2 K2x2 = 0,001x2 K2 = 0,001 K1 x=0 K1=0 2K2 + K0 = 0 K0 = -0,002 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 8 (Lanjutan) yp = 0,001x2 – 0,002 PUPD = y = yc + yp = c1 cos x + c2 sin x + 0,001x2 – 0,002 y(x) = c1 cos x + c2 sin x + 0,001x2 – 0,002 Y(0) = 0 c1 cos 0 + c2 sin 0 + 0,00102 – 0,002 = 0 c1 = 0,002 y’(x) = -c1 sin x + c2 cos x + 0,002x Y’(0) = 1,5 -0,002 sin 0 + c2 cos 0 + 0,002x = 1,5 c2 = 1,5 Sehingga : y= 0,002 cos x + 1,5 sin x + 0,001x2 – 0,002 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 9 (Kaidah 4) y” - 3y’ - 4y = ex sin 2x y” - 3y’ - 4y = 0 subs: y=ekx k2 - 3k - 4 = 0 (k - 4)(k + 1) = 0 k = 4 or k = -1 yc= c1e4x+c2e-x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Exercise y” + 25y = 5x ; y(0) = 5; y’(0) = -4,8 y” + 3y’ +2,25 y = -10 e-1,5x ; y(0) = 1; y’(0) = 0 y” + 2y’ + 5y = e0,5x + 40 cos 10x – 190 sin 10x ; y(0) = 0,16; y’(0) = 40,08

Variation of parameters y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) yc(x) = c1y1(x) + c2y2(x) yp(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x) u’y1+ v’y2=0 u’y1’+ v’y2’=f(x) Aturan Cramet ax + by = c dx + ey = f Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 y” – 5y’+ 6y=ex PR: y” – 5y’+ 6y=0  subs: y=ekx PK: k2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 yc= c1e2x+c2e3x yp= ue2x+ve3x y1=e2x  y1’=2e2x y2=e3x  y2’=3e3x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 (Lanjutan) u’y1+ v’y2=0  u’e2x + v’e3x= 0 u’y1’+ v’y2’=f(x)  u’2e2x + v’3e3x= ex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 (Lanjutan) yp=uy1 + vy2 = e-xe2x+(-1/2e-2x)e3x= ex - 1/2ex = 1/2ex PUPD: y = yc + yp = c1e2x+c2e3x + 1/2ex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2 y” + y = sec x PR: y” + y=0  subs: y=ekx PK: k2 + 1 = 0 yc= c1 cos x + c2 sin x yp= u cos x + v sin x y1= cos x  y1’= - sin x y2= sin x  y2’= cos x

Example 2 (Lanjutan) u’y1+ v’y2=0  u’ cos x + v’ sin x = 0 u’y1’+ v’y2’=f(x)  u’(-sinx )+ v’ cos x = sec x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2 (Lanjutan) yp=uy1 + vy2 = ln |cos x| cos x + x sin x PUPD: y = yc + yp = (c1 + ln |cos x|) cos x + (c2+x) sin x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3 y” – 2y’ + y = ex/ (1+x2) ?