© 2003 Pearson Prentice Hall Bagian I Bagian I Regresi Linear Sederhana

© 2003 Pearson Prentice Hall Tujuan Pembelajaran 1.Menjelaskan Model Regresi Linear 2.Menyatakan langkah2 u membangun Model Regresi 3.Menjelaskan Met. Kuadrat Terkecil Biasa 1. Mengerti dan memeriksa asumsi model 4.Menghitung koef Reg 5.Memprediksi var respon 6.Interpretasi perhitungan

© 2003 Pearson Prentice Hall Model

© 2003 Pearson Prentice Hall Model 1.Representasi bbrp Phenomena 2.Model Mat ad ekspresi Mat dr bbrp Phenomena 3.Sering u menjelaskan hubungan antar bbrp variabel 4.Tipe Model Deterministik Model Deterministik Model Probabilistik Model Probabilistik

© 2003 Pearson Prentice Hall Model Deterministik 1.Hipotesis hubungan eksak 2.Mengabaikan eror 3.Contoh: Gaya adalah massa kali percepatan F = m·a F = m·a © T/Maker Co.

© 2003 Pearson Prentice Hall Model Probabilistik 1.Hipotesis ada 2 komponen Deterministik Deterministik Eror Random E Eror Random E 2.Contoh : Volume penjualan ad 10 kali biaya iklan + eror Random Y = 10X +  Y = 10X +  Eror Random Error merupakan akumulasi faktor2 lain yg berpengaruh pd penjualan Eror Random Error merupakan akumulasi faktor2 lain yg berpengaruh pd penjualan

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Probabilistik

© 2003 Pearson Prentice Hall Model Regresi

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Probabilistik

© 2003 Pearson Prentice Hall Model Regresi 1.Menjawab ‘Apa hub antar bbrp variabel?’ 2.Persamaan yg digunakan 1 Variabel dependen numerik (Response) 1 Variabel dependen numerik (Response) Apa yang diprediksi Apa yang diprediksi 1 atau lebih variabel independen numerik atau Kategori (Explanatory) 1 atau lebih variabel independen numerik atau Kategori (Explanatory) 3.Terutama untuk Prediksi & Estimasi

© 2003 Pearson Prentice Hall Langkah2 Pemodelan Regresi 1.Tentukan komponen deterministiknya 2.Estimasi Parameter model yang tdk diketahui 3.Spesifikasikan dist prob dr eror random Estimasi Standard Deviasi Eror Estimasi Standard Deviasi Eror 4.Evaluasi Model 5.Gunakan Model u Prediksi & Estimasi

© 2003 Pearson Prentice Hall Spesifikasi Model Spesifikasi Model

© 2003 Pearson Prentice Hall Spesifikasi Model 1.Definisikan Variabel 2.Hipotesiskan hubungan alaminya Ekspektasi pengaruh (i.e., Tanda Koeffisien’ ) Ekspektasi pengaruh (i.e., Tanda Koeffisien’ ) Bentuk Fungsional (Linear or Non- Linear) Bentuk Fungsional (Linear or Non- Linear) Interaksi Interaksi

© 2003 Pearson Prentice Hall Spesifikasi Model dilandasi Teori 1.Teori bidang penelitian (e.g., Sociology) 2. Teori Matematika 3.Penelitian pendahulu 4.Kepekaan

© 2003 Pearson Prentice Hall Pikirkan: Mana yg lebih logis?

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi Model Regresi

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi Model Regresi Sederhana 1 Variabel Independen/pjls

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model regresi Model Regresi 2+ variabel independen Sederhana Ganda 1 Variabel independen

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi Model Regresi Linear 2+ Variabel independen Sederhana Ganda 1 Variabel independen

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi Model Regresi Linear Non- Linear 2+ Variabel Independen Sederhana Ganda 1 Variabel Independen

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi Model Regresi Linear Non- Linear 2+ Variabel Independen Sederhana Ganda Linear 1 Variabel Independen

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi Model Regresi Linear Non- Linear 2+ Variabel Independen Sederhana Ganda Linear 1 Variabel Independen Non- Linear

© 2003 Pearson Prentice Hall Model Regresi Linear

© 2003 Pearson Prentice Hall Tipe Model Regresi

© 2003 Pearson Prentice Hall Persamaan Linear Guru SMA © T/Maker Co.

YX iii  01 Model Regresi Linear 1.Hubungan antar variabel mrp fungsi linear Variabel Dependen (Respon) (e.g., income) Variabel Independen (Explanatory) (e.g., pdidikan) Populasi slope Populasi Y-Intercept Eror Random

© 2003 Pearson Prentice Hall Populasi & Sampel Model Regresi

© 2003 Pearson Prentice Hall Populasi& Sampel Model Regresi Populasi $ $ $ $ $

© 2003 Pearson Prentice Hall Population & Sample Regression Models Hubungan yg tdk diketahui Populasi $ $ $ $ $

© 2003 Pearson Prentice Hall Population & Sample Regression Models Hubungan yg tdk diketahui Populasi Sampel Random Sampel Random $ $ $ $ $

© 2003 Pearson Prentice Hall Populasi & Sampel Model Regresi Hub yg tdk diketahui Populasi Sampel Random Sampel Random $ $ $ $ $

© 2003 Pearson Prentice Hall Model Regresi Linear Populasi Nilai obsv  i = eror Random

© 2003 Pearson Prentice Hall Model Regresi Linear sampel Model Regresi Linear sampel Obsv yg tdk terpilih sbg sampel  i = eror Random Nil obsv ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Estimasi Parameter: Met Kuadrat Terkecil

© 2003 Pearson Prentice Hall Langkah Pemodelan Regresi 1.Hipotesiskan komponen deterministik 2.Estimatsi Parameter model yg tdk diketahui 3.Tentukan Dist Prob dr eror random Estimasi Standar Devisi Eror Estimasi Standar Devisi Eror 4.Evaluasi Model 5.Gunakan Model u Prediksi & Estimasi

© 2003 Pearson Prentice Hall X Y Scattergram 1.Plot semua pasangan (X i, Y i ) 2.Saran bgmn model dibuat (Fit)

© 2003 Pearson Prentice Hall Alur pemikiran Bgmn memilih sebuah garis yang melintasi titik2? Bagaimana menentukan garis ‘fits best’ garis terbaik yg mewakili data?

© 2003 Pearson Prentice Hall Alur pemikiran Bgmana menggambar garis yg melalui semua titik? Bgmana menentukan fit terbaik?

© 2003 Pearson Prentice Hall Alur pemikiran Bgmana menggambar garis yg melalui semua titik? Bgmana menentukan fit terbaik?

© 2003 Pearson Prentice Hall Alur pemikiran Bgmana menggambar garis yg melalui semua titik? Bgmana menentukan fit terbaik?

© 2003 Pearson Prentice Hall Alur pemikiran Bgmana menggambar garis yg melalui semua titik? Bgmana menentukan fit terbaik?

© 2003 Pearson Prentice Hall Alur pemikiran Bgmana menggambar garis yg melalui semua titik? Bgmana menentukan fit terbaik?

© 2003 Pearson Prentice Hall Alur pemikiran Bgmana menggambar garis yg melalui semua titik? Bgmana menentukan fit terbaik?

© 2003 Pearson Prentice Hall Kuadrat terkecil Kuadrat terkecil 1.‘Fit terbaik’ berarti selisih antar nilai Actual Y & Nilai prediksi Y Minimum Tapi Selisih Positive tereliminir dg selisih Negative Tapi Selisih Positive tereliminir dg selisih Negative

© 2003 Pearson Prentice Hall Kuadrat terkecil Kuadrat terkecil 1. ‘Fit terbaik’ berarti selisih antar nilai Actual Y & Nilai prediksi Y Minimum Tapi Selisih Positive tereliminir dg selisih Negative

© 2003 Pearson Prentice Hall Kuadrat Terkecil Kuadrat Terkecil 1. ‘Fit terbaik’ berarti selisih antar nilai Actual Y & Nilai prediksi Y Minimum Tapi Selisih Positive tereliminir dg selisih Negative 2.Kuadrat terkecil meminimumkan Jumlah kuadrat sesatan (SSE/JKS)

© 2003 Pearson Prentice Hall Kudrat terkecil (Least Squares ) Scr Grafik

© 2003 Pearson Prentice Hall Koefisien Persamaan Slope/ kemiringan sampel Slope/ kemiringan sampel Y-intersep sampel Y-intersep sampel Persamaan prediksi

© 2003 Pearson Prentice Hall Tabel Perhitungan

© 2003 Pearson Prentice Hall Interpretasi Koef

© 2003 Pearson Prentice Hall Interpretasi Koef 1.Slope (  1 ) Perub Y diestimasi oleh  1 u setiap 1 Unit kenaikan X Perub Y diestimasi oleh  1 u setiap 1 Unit kenaikan X jk  1 = 2, maka penjualan (Y) diekspektasi naik 2 untik setiap kenaikan 1 Unit pengiklanan (X) jk  1 = 2, maka penjualan (Y) diekspektasi naik 2 untik setiap kenaikan 1 Unit pengiklanan (X) ^ ^ ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Interpretasi Koef 1.Slope (  1 ) Perub Y diestimasi oleh  1 u setiap 1 Unit kenaikan X Perub Y diestimasi oleh  1 u setiap 1 Unit kenaikan X jk  1 = 2, maka penjualan (Y) diekspektasi naik 2 untik setiap kenaikan 1 Unit pengiklanan (X) jk  1 = 2, maka penjualan (Y) diekspektasi naik 2 untik setiap kenaikan 1 Unit pengiklanan (X).2.Y-Intersep (  0 ) Rata2 nil Y bila X = 0 Rata2 nil Y bila X = 0 jk  0 = 4, maka rata2 penjualan (Y) diekspektasi 4 bila iklan (X) ad 0 jk  0 = 4, maka rata2 penjualan (Y) diekspektasi 4 bila iklan (X) ad 0 ^ ^ ^ ^ ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Contoh Estimasi Parameter You’re a marketing analyst for Hasbro Toys. You gather the following data: Ad $Sales (Units) What is the relationship between sales & advertising?

© 2003 Pearson Prentice Hall Scattergram Penjualan vs. Iklan Penjualan iklan

© 2003 Pearson Prentice Hall Perkirakan nilai parameter!

© 2003 Pearson Prentice Hall Scattergram Sales vs. Advertising Sales Advertising

© 2003 Pearson Prentice Hall Tabel Solusi Estimasi Parameter

© 2003 Pearson Prentice Hall Solusi Estimasi Parameter

© 2003 Pearson Prentice Hall Solusi Interpretasi Koefisien

© 2003 Pearson Prentice Hall Solusi Interpretasi Koefisien 1.Slope (  1 ) Vol penjualan (Y) diekspektasi naik.7 Unit untuk setiap kenaikan $1 biaya iklan (X) Vol penjualan (Y) diekspektasi naik.7 Unit untuk setiap kenaikan $1 biaya iklan (X) ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient Interpretation Solution 1.Slope (  1 ) Vol penjualan (Y) diekspektasi naik.7 Unit untuk setiap kenaikan $1 biaya iklan (X) Vol penjualan (Y) diekspektasi naik.7 Unit untuk setiap kenaikan $1 biaya iklan (X) 2.Y-Intersep (  0 ) Rata2 nilai vol penjualan (Y) ad -.10 Unit bila biaya iklan (X) 0 Rata2 nilai vol penjualan (Y) ad -.10 Unit bila biaya iklan (X) 0 Sulit u menjelaskan pg Manager Sulit u menjelaskan pg Manager Ekspektasi penjualan tanpa iklan Ekspektasi penjualan tanpa iklan ^ ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Parameter Estimates Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Param=0 Prob>|T| INTERCEP ADVERT Output komputer untuk Estimasi Parameter 00 ^ 11 ^ kk ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Derivasi of Persamaan Parameter Tujuan: Meminimumkan kuadrat eror

Derivation of Parameter Equations

© 2003 Pearson Prentice Hall Pola pikir Estimasi Parameter Anda seorang ahli ekonomi satu perusahaan, dan mengumpulkan data berikut: pupuk (lb.)hasil (lb.) Bagaimana hubungan antara pupuk & hasil panen? © T/Maker Co.

© 2003 Pearson Prentice Hall Scattergram Hasil panen vs. Pupuk* hasil (lb.) pupuk (lb.)

© 2003 Pearson Prentice Hall Tabel Solusi Estimasi Parameter

© 2003 Pearson Prentice Hall Solusi Estimasi Parameter

© 2003 Pearson Prentice Hall Solusi Interpretasi Koefisien*

© 2003 Pearson Prentice Hall Interpretasi * 1.Slope (  1 ) Hasil panen (Y)diekspektasi naik sebesar.65 lb. untuk setiap kenaikan 1 lb. pupuk (X) Hasil panen (Y)diekspektasi naik sebesar.65 lb. untuk setiap kenaikan 1 lb. pupuk (X) ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient Interpretation Solution* 1.Slope (  1 ) Hasil panen (Y)diekspektasi naik sebesar.65 lb. untuk setiap kenaikan 1 lb. pupuk (X) Hasil panen (Y)diekspektasi naik sebesar.65 lb. untuk setiap kenaikan 1 lb. pupuk (X) 2.Y-Intersep (  0 ) Rata2 hasil panen (Y) diekspektasi sebsar 0.8 lb. bila tanpa pemupukan (X) Rata2 hasil panen (Y) diekspektasi sebsar 0.8 lb. bila tanpa pemupukan (X) ^ ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Distribusi Probabilitas Eror Random

© 2003 Pearson Prentice Hall Langkah2 Pemodelan Regresi 1.Hipotesiskan komponen Deterministik 2.Estimasi parameter Model yg tdk diketahui 3.Tentukan Dist Prob eror Random Estimasi Standar Deviasi Eror Estimasi Standar Deviasi Eror 4.Evaluasi Model 5.Gunakan Model u Prediksi & Estimasi

© 2003 Pearson Prentice Hall Asumsi2 Regersi Linear 1.Mean dr dist Probabilitas Sesatan/ Eror 0 2.Variansi dist prob sesatan konstan 1. Exercise: Constant across what? 3.Dist Probabilitas sesatan adalah Normal 4. Seatan saling independen

© 2003 Pearson Prentice Hall Dist Prob Eror ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Variasi Eror Random

© 2003 Pearson Prentice Hall Random Error Variation 1.Variasi Y sesungguhnya dari from prediksi Y

© 2003 Pearson Prentice Hall Random Error Variation 1.Variasi Y sesungguhnya dari from prediksi Y 2.Ukur standar Eror model Regresi Model Standard Deviasi sampel of , s Standard Deviasi sampel of , s ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Variasi Random Error Variation 1.1.Variasi Y sesungguhnya dari from prediksi Y 2.Ukur standar Eror model Regresi Model Standard Deviasi sampel of , s Standard Deviasi sampel of , s 3. Mempengaruhi bbrp faktor Signifikansi Parameter Signifikansi Parameter Keakuratan Prediksi Keakuratan Prediksi ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Evaluasi Model Uji Signifikansi

© 2003 Pearson Prentice Hall Regression Modeling Steps 1. Hipotesiskan komponen deterministik 2.Estimatsi Parameter model yg tdk diketahui 3.Tentukan Dist Prob dr eror random Estimasi Standar Devisi Eror Estimasi Standar Devisi Eror 4.Evaluasi Model 5.Gunakan Model u Prediksi & Estimasi

© 2003 Pearson Prentice Hall Uji Koef Slope 1.Tunjukkan apakah ada hub linear antara X & Y 2.Meliput slope Populasi Slope  1 3.Hipotesis H 0 :  1 = 0 (tdk ada hub linear) H 0 :  1 = 0 (tdk ada hub linear) H a :  1  0 (ada hub linear) H a :  1  0 (ada hub linear) 4.Dasar teori : dist sampling dr Slope

© 2003 Pearson Prentice Hall Distribusi Sampling Slopes Sampel

© 2003 Pearson Prentice Hall Distribusi Sampling Slopes Sampel

© 2003 Pearson Prentice Hall Distribusi Sampling Slopes Sampel All Possible Sample Slopes Sample 1:2.5 Sample 2:1.6 Sample 3:1.8 Sample 4:2.1 : : Very large number of sample slopes

© 2003 Pearson Prentice Hall Distribusi Sampling Slopes Sampel All Possible Sample Slopes Sample 1:2.5 Sample 2:1.6 Sample 3:1.8 Sample 4:2.1 : : Very large number of sample slopes Sampling Distribution 1111 1111 S ^ ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Statistik Uji Koef Slope

© 2003 Pearson Prentice Hall Contoh uji koef Slope Anda analis pasar Hasbro Toys. Anda memperoleh b 0 = -.1, b 1 =.7 & s = iklan $penjualan(Units) Apakah ada hub signifikan pada tngkat kepercayaan.05 ?

© 2003 Pearson Prentice Hall Tabel solusi Tabel solusi

© 2003 Pearson Prentice Hall Solusi uji parameter Slope H 0 :  1 = 0 H a :  1  0  .05 df  = 3 Critical Value(s): Test Statistic: Decision:Conclusion: Reject at  =.05 There is evidence of a relationship

© 2003 Pearson Prentice Hall Solusi Statistik Uji

© 2003 Pearson Prentice Hall Computer Output Parameter Estimates Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Param=0 Prob>|T| INTERCEP ADVERT t =  k / S  P-Value SS kk k k ^ ^ ^ ^

© 2003 Pearson Prentice Hall Ukuran Variasi di Regresi 1.Jumlah Kuadrat Total Ukuran variasi obsv Y i di sekitar mean  Y Ukuran variasi obsv Y i di sekitar mean  Y 2. Variasi yg dpt dijelaskan/regresi (SSR) Variasi yg berkaitan dg hub antara X & Y Variasi yg berkaitan dg hub antara X & Y 3.Variasi yg tdk dpat dijelaskan (SSE) Varasi berkaitan dg faktor lain Varasi berkaitan dg faktor lain

© 2003 Pearson Prentice Hall Ukuran Variasi Total sum of squares (Y i -  Y) 2 Unexplained sum of squares (Y i -  Y i ) 2 ^ Explained sum of squares (Y i -  Y) 2 ^ YiYiYiYi

© 2003 Pearson Prentice Hall 1.Proporsi variasi yg dijelaskan oleh hub antara X & Y Koefisien Determinasi 0  r 2  1

© 2003 Pearson Prentice Hall Contoh Koef Determinasi r 2 = 1 r 2 =.8r 2 = 0

© 2003 Pearson Prentice Hall Contoh Koef Determinasi Anda analis pasar Hasbro Toys. Anda memperoleh You find  0 = -0.1 &  1 = 0.7. Ad $Sales (Units) Interpretasikan koef determinasicient of ^ ^

© 2003 Pearson Prentice Hall r 2 Computer Output Root MSE R-square Root MSE R-square Dep Mean Adj R-sq Dep Mean Adj R-sq C.V C.V r 2 adjusted for number of explanatory variables & sample size S r2r2

© 2003 Pearson Prentice Hall Menggunakan Model untuk prediksi dan estimasi

© 2003 Pearson Prentice Hall Regression Modeling Steps 1.Hypothesize Deterministic Component 2.Estimate Unknown Model Parameters 3.Specify Probability Distribution of Random Error Term Estimate Standard Deviation of Error Estimate Standard Deviation of Error 4.Evaluate Model 5.Use Model for Prediction & Estimation

© 2003 Pearson Prentice Hall Prediksi dg Model Regresi 1.Tipe Prediksi Estimasi titik Estimasi titik Estimasi Interval Estimasi Interval 2.Apa yang diprediksi Mean Respon Populsi E(Y) untuk X tertentu Mean Respon Populsi E(Y) untuk X tertentu Titik pd grs regresi Titik pd grs regresi Respon individual (Y i ) untuk X tertetntu Respon individual (Y i ) untuk X tertetntu

© 2003 Pearson Prentice Hall Apa yg diprediksi

© 2003 Pearson Prentice Hall Confidence Interval untuk estimasi mean Y

© 2003 Pearson Prentice Hall Factor yg berpengaruh pd lebar Interval 1.Tingkat kepercayaan (1 -  ) Width Increases as Confidence Increases Width Increases as Confidence Increases 2.Sebaran data (s) Width Increases as Variation Increases Width Increases as Variation Increases 3.Ukuran sampel Width Decreases as Sample Size Increases Width Decreases as Sample Size Increases 4.Jarak X p dari  X Width Increases as Distance Increases Width Increases as Distance Increases

© 2003 Pearson Prentice Hall Why Distance from Mean? Greater dispersion than X 1 XXXX

© 2003 Pearson Prentice Hall Confidence Interval Estimate Example You’re a marketing analyst for Hasbro Toys. You find b 0 = -.1, b 1 =.7 & s = Ad $Sales (Units) Estimate the mean sales when advertising is $4 at the.05 level.

© 2003 Pearson Prentice Hall Solution Table

© 2003 Pearson Prentice Hall Confidence Interval Estimate Solution X to be predicted

© 2003 Pearson Prentice Hall Prediction Interval of Individual Response Note!

© 2003 Pearson Prentice Hall Why the Extra ‘S ’ ?

© 2003 Pearson Prentice Hall Interval Estimate Computer Output Dep Var Pred Std Err Low95% Upp95% Low95% Upp95% Dep Var Pred Std Err Low95% Upp95% Low95% Upp95% Obs SALES Value Predict Mean Mean Predict Predict Predicted Y when X = 4 Confidence Interval SYSYSYSY^ Prediction Interval

© 2003 Pearson Prentice Hall Hyperbolic Interval Bands

© 2003 Pearson Prentice Hall Correlation Models

© 2003 Pearson Prentice Hall Types of Probabilistic Models

© 2003 Pearson Prentice Hall Correlation Models 1.Answer ‘How Strong Is the Linear Relationship Between 2 Variables?’ 2.Coefficient of Correlation Used Population Correlation Coefficient Denoted  (Rho) Population Correlation Coefficient Denoted  (Rho) Values Range from -1 to +1 Values Range from -1 to +1 Measures Degree of Association Measures Degree of Association 3.Used Mainly for Understanding

© 2003 Pearson Prentice Hall 1.Pearson Product Moment Coefficient of Correlation, r: Sample Coefficient of Correlation

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient of Correlation Values

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient of Correlation Values No Correlation

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient of Correlation Values Increasing degree of negative correlation No Correlation

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient of Correlation Values Perfect Negative Correlation No Correlation

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient of Correlation Values Perfect Negative Correlation No Correlation Increasing degree of positive correlation

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient of Correlation Values Perfect Positive Correlation Perfect Negative Correlation No Correlation

© 2003 Pearson Prentice Hall Coefficient of Correlation Examples r = 1r = -1 r =.89r = 0

© 2003 Pearson Prentice Hall Test of Coefficient of Correlation 1.Shows If There Is a Linear Relationship Between 2 Numerical Variables 2.Same Conclusion as Testing Population Slope  1 3.Hypotheses H 0 :  = 0 (No Correlation) H 0 :  = 0 (No Correlation) H a :   0 (Correlation) H a :   0 (Correlation)

© 2003 Pearson Prentice Hall Conclusion 1.Described the Linear Regression Model 2.Stated the Regression Modeling Steps 3.Explained Ordinary Least Squares 4.Computed Regression Coefficients 5.Predicted Response Variable 6.Interpreted Computer Output

End of Chapter Any blank slides that follow are blank intentionally.