Latihan Kalkulus Predikat Part.2

Soal 1 I adalah interpretasi yang meliputi domain bilangan integer lebih besar dari 3, dimana: a = 7; b = 4; c = 10; x = 5; y = 10 f adalah fungsi “kali tiga” dimana fI(d) = 3 * d R adalah relasi “Kurang dari sama dengan” dimana RI(d1, d2) = d1 ≤ d2 Q adalah relasi “Tidak sama dengan” dimana QI(d1, d2) = d1 ≠ d2   Tentukan arti sematik dari ekspresi berikut : R(y,f(a)) berdasarkan I If R(y, x) then f(a) else f(c) berdasarkan I R(f(b),f(x)) berdasarkan <x  6> o I R(f(y),f(x)) berdasarkan <x  2> o I

Jawaban R(y,f(a)) berdasarkan I Berdasarkan aturan konstanta, maka a = 7 Berdasarkan aturan variabel, maka y = 10 Berdasarkan aturan aplikasi, maka f(a) = 3 * 7 = 21, karena f adalah fungsi kali tiga Berdasarkan aturan proposisi, maka R(y, f(a)) = 10 ≤ 21 = TRUE, karena r adalah relasi “kurang dari sama dengan”, y = 10, dan f(a) = 21

Jawaban If R(y, x) then f(a) else f(c) berdasarkan I Berdasarkan aturan konstanta, maka a = 7 dan c = 10 Berdasarkan aturan variabel, maka x = 5 dan y = 10 Berdasarkan aturan aplikasi, maka f(a) = 3 * 7 = 21, dan f(c) = 3 * 10 = 30, karena f adalah fungsi kali tiga, a = 7 dan c = 10. Berdasarkan aturan proposisi, maka r(y, x) =10 ≤ 5 = FALSE, karena y = 10, x = 5, dan r adalah relasi “kurang dari sama dengan”. Berdasarkan aturan term kondisional, maka If R(y, x) then f(a) else f(c) = 30, karena R(y, x) = False.

Jawaban R(f(b),f(x)) berdasarkan <x  6> o I Berdasarkan aturan konstanta, maka b = 4 Berdasarkan aturan variabel dan perluasan interpretasi, maka x = 6 Berdasarkan aturan aplikasi, maka f(b) = 3 * 4 = 12, dan f(x) = 3 * 6 = 18, karena f adalah fungsi kali tiga, b = 4 dan x = 6. Berdasarkan aturan proposisi, maka r(f(b), f(x)) =12 ≤ 18 = TRUE, karena f(b) = 12, f(x) = 18, dan r adalah relasi “kurang dari sama dengan”.

Jawaban R(f(y),f(x)) berdasarkan <x  2> o I Berdasarkan aturan variabel, maka y = 10 Berdasarkan aturan variabel dan perluasan interpretasi, maka interpretasi diperluas tidak berlaku karena perluasan interpretasi berada diluar domain sehingga x = 5 sesuai interpretasi semula. Berdasarkan aturan aplikasi, maka f(y) = 3 * 10 = 30, dan f(x) = 3 * 5 = 15, karena f adalah fungsi kali tiga, y = 10 dan x = 5. Berdasarkan aturan proposisi, maka r(f(y), f(x)) = 30 ≤ 15 = FALSE, karena f(y) = 30, f(x) = 15, dan r adalah relasi “kurang dari sama dengan”.

Soal 2 Misal I adalah interpretasi dengan Domain Bilangan Integer positif a = 1; b = 2; c = 3; x = 2; y = 1 f = fungsi fI(d) = d – 1 p = relasi pI(d1, d2) = dI < d2 Tentukan arti semantik dari kalimat : y p(y, f(x)) Tentukan arti semantik dari kalimat : x y p(x,y)

Jawaban Berdasarkan aturan FOR SOME maka : Kalimat (for some y) p(y, f(x)) bernilai TRUE jika ada elemen d1 dari D sehingga nilai p(y, f(x)) TRUE berdasarkan interpretasi <y  d1> o <x  d2> o I   Misal diambil d1 = 0 maka perluasan interpretasi menjadi < y  0 > o I sehingga berdasarkan aturan proposisi diperoleh bahwa p(0, 1) yaitu 0 < 2 adalah TRUE

Jawaban Berdasarkan aturan FOR ALL maka : Kalimat (for all x) (for some y) p(x, y) bernilai TRUE jika untuk semua elemen d dari D sehingga nilai subkalimat (for some y) p(x, y) TRUE berdasarkan interpretasi <x  d> o I. Berdasarkan aturan FOR SOME maka : Subkalimat (for some y) p(x, y) bernilai TRUE jika ada elemen d’ dari D sehingga nilai p(x, y) TRUE berdasarkan interpretasi <y  d’> o <x  d> o I   Misal ambil sembarang elemen domain dan d’ = d + 1 Maka berdasarkan aturan proposisi, nilai p(x, y) yaitu p(d, d’) Berarti p(d, d + 1) menyatakan bahwa d < d + 1 adalah TRUE berdasarkan < y  d’ > o < x  d > o I

Soal 3 Misalkan I adalah suatu interpretasi integer dengan : a = 2 x = 3 y = 5 f : fungsi f1(d) = d * 3 dan interpretasi J meliputi bilangan Integer dengan : a = 3 b = 1 Pernyataan ttg kecocokan ??

Jawaban I dan J cocok untuk variabel x dengan nilai yang sama yaitu 3 I dan J tidak cocok untuk konstana b karena interpretasi I tidak memberikan nilai terhadap konstanta b sedangkan interpretasi J memberikan nilai 1 I dan J tidak cocok untuk konstanta a karena interpretasi I memberikan nilai 2 sedangkan interpretasi J memberikan nilai 3 I dan J cocok untuk ekspresi f(x) karena sama-sama menghasilkan nilai 3 * 3 = 9 I dan J tidak cocok untuk variabel y karen interpretasi I memberikan nilai 5 terhadap variabel y, sedangkan interpretasi J tidak memberikan nilai terhadap y.

Misal I adalah Interpretasi yang meliputi bilangan integer, dengan : a → 3, c → 5 y → -2 g → fungsi “kali tiga” g(d) = d*3 dan Interpretasi J yang meliputi bilangan integer, dengan : a → 5, c → 5, x → -2 f → fungsi “suksesor” f(d) = d + 2 g → fungsi “bagi tiga” g(d) = d /3 Pernyataan terkait kecocokan??

Cek True/False a. I dan J cocok untuk variabel y -> F b. I dan J tidak cocok untuk ekspresi g(a) -> T c. I dan J cocok untuk ekspresi f(a) -> F d. I dan J tidak cocok untuk konstanta a -> T e. I dan J cocok untuk variabel c -> F

Soal Misal J adalah Interpretasi yang meliputi bilangan integer lebih dari 15 x =16, y =23, z =15 untuk perluasan <y ← 30> ○ <x ← 3> ○ I akan memberikan nilai . Maka Nilai y?, Nilai x?

Soal I adalah interpretasi yang meliputi bilangan integer dengan: a5 f fungsi f1(d)=d/2   J adalah interpretasi yang meliputi bilangan integer dengan: a2 b5 y1/2 f fungsi f1(d)=d*2

T/F ? I dan J cocok untuk konstanta a I dan J cocok untuk konstanta b I dan J cocok untuk ekspresi f(x) I dan J cocok untuk ekspresi f(y) I dan J cocok untuk variabel y