PEMROGRAMAN GEMARIS (Lee J. Krajewski dan Larry P. Ritzman PEMROGRAMAN GEMARIS (Lee J. Krajewski dan Larry P. Ritzman. Operations Management: Strategy and Analysis Prentice-Hall, 2002) Fungsi tujuan (objective function) Peubah keputusan (decision variables) Kendala (constraints) Daerah layak (feasible solution) Parameter Kegemarisan (linearity) Kenirgemarisan (non-linearity)

Pendekatan Grafik 1. gambar kendala 2. tandai daerah yang layak 3. gambar garis fungsi tujuan 4. cari solusi visual 5. cari solusi dari persamaan/ ketidaksamaan

Max Z = 34x1 + 40x2 Kendala 4x1 + 6x2  48 2x1 + 2x2  18 2x1 + x2  16 x1  0 x2  0

Gambar dibuat dengan mencari x1 dan x2 untuk tiap kendala. (a) Untuk 4x1 + 6x2  48 Jika x2 = 0 maka x1 = 12 Jika x1 = 0 maka x2 = 8 (b) Untuk 2x1 + 2x2  18 Jika x2 = 0 maka x1 = 9 Jika x1 = 0 maka x2 = 9 (c) Untuk 2x1 + x2  16 Jika x2 = 0 maka x1 = 8 Jika x1 = 0 maka x2 = 16

. . Gambar 1 Fungsi Kendala x2 16 14 12 10 8 B 6 4 (0,8) 4x1 + 6x2  0 (12,0) x1 4 6 8 10 12 14 16

Gambar 2 Fungsi Kendala . . x2 16 14 12 10 8 6 (0,9) 4 B 2x1 + 2x2  18 . (9,0) x1 4 6 8 10 12 14 16

Gambar 3 Fungsi Kendala . x2 (0,16) 16 14 12 10 B 8 6 4 A 2x1 + x2  16 (8,0) x1 4 6 8 10 12 14 16

Gambar 4 Fungsi Kendala x2 (0,16) 16 14 12 4x1 + 6x2  48 10 8 6 4 (0,9) 2x1 + 2x2  18 (0,8) (9,0) (8,0) (12,0) x1 4 6 8 10 12 14 16 2x1+x2  16

. . . . . Gambar 5 Fungsi Kendala x2 (0,16) 16 14 12 10 8 6 4 4x1 + 6x2  48 C . (0,9) B . 2x1 + x2  0 D . (9,0) . . E A x1 4 6 8 10 12 14 16 Daerah Layak 2x1+2x2 (8,0)

Buat garis fungsi tujuan Garis fungsi tujuan dibuat seperti membuat garis fungsi kendala. Misalnya pada titik E (8,0) yang merupakan solusi pojok, 34x1 + 40x2 = Z 34(8) + 40(0) = Z Z = 272 sehingga persamaan yang memotong titik E adalah 34x1 + 40x2 = 272 Jika x1 = 0 maka nilai x2 menjadi 34(0) + 40x2 = 272 x2 = 272/40 = 6,8 Kedua nilai itu digambarkan pada fungsi kendala sebelumnya sehingga

. . . . Gambar 6 Fungsi Kendala x2 (0,16) 16 14 12 10 8 6 4 3 4x1 + 6x2  48 C . (0,9) B . 2x1 + x2  0 F=6,8 D . (9,0) E = 8 A . x1 4 6 8 10 12 14 16 Daerah Layak 2x1+2x2 18 (8,0) 34x1 + 40x2 = 272

Ternyata garis itu belum dapat menunjukkan solusi yang tepat, akan tetapi nilai optimal dengan laba maksimum terdapat pada garis itu. Pemecahan optimal dapat dilakukan dengan solusi persamaan fungsi kendala sebelumnya yakni 4x1 + 6x2  48 2x1 + 2x2  18 2x1 + x2  16

Jadi 4x1 + 6x2 = 48 (Kendala 1) 2x1 + 2x2 = 18 (Kendala 2) 4x1 + 6x2 = 48 4x1 + 4x2 = 36 – _________________ 2x2 = 12 x2 = 6 Penyulihan nilai x2 ke dalam kendala ketiga menghasilkan 4x1 + 6x2 = 48 4x1 + 6(6) = 48 4x1 = 12 x1 = 3 Dengan demikian titik optimal adalah (3,6) dan laba total adalah 34(3) + 40(6) = 342

Kendala ikat (binding constraint) adalah kendala yang membantu pemecahan pojok (corner solution); kendala itu membatasi pemecahan yang lebih baik. Dalam contoh, solusi (3,6) diperoleh dengan membuat kedua kendala itu menjadi kesamaan. Peubah slack dan surplus Peubah slack terjadi jika jumlah ruas kiri lebih kecil daripada ruas kanan seperti dalam contoh kendala terdahulu 2x1 + x2 + s1 = 16 2(3) + (6) + s1 = 16 s1 = 4 Peubah surplus terjadi jika jumlah ruas kiri lebih besar daripada ruas kanan, misalnya jika x1 + x2 = 6 sehingga perlu ditulis x1 + x2 – s2 = 6 3 + 6 – s2 = 6 – s2 = -3 s2 = 3

ANALISIS KEPEKAAN (SENSITIVITY ANALYSIS) Parameter fungsi tujuan dan kendala jarang diketahui secara pasti dan acap nilainya hanya merupakan taksiran. Contoh sebelumnya menunjukkan nilai taksiran yang tidak memasukkan unsur risiko dan ketidakpastian misalnya absennya karyawan dan ketidakpastian yang lain. Kontribusi laba yang dihasilkan dari fungsi tujuan belum mencerminkan unsur risiko dan ketidakpastian dalam harga faktor produksi, nilai jual produk dsbnya. Kendati demikian, nilai taksiran harus dibuat dan setelah hasilnya diperoleh dibuat manipulasi atau simulasi dengan berbagai anggapan (what if) yang dapat mempengaruhi nilai fungsi tujuan. Manipulasi atau simulasi spt ini disebut analisis kepekaan (sensitivity analysis).

Salah satu cara untuk melakukan analisis kepekaan adalah dengan pendekatan paksa-kasar (brute-force approach) yang hanya dapat digunakan untuk masalah kecil dengan peubah yang terbatas. Jika misalnya pendekatan ini digunakan untuk 3 nilai dan 20 koefisien fungsi tujuan maka diperlukan 320 atau 3.486.784.401 solusi. Sekarang sudah ada program yang dapat memecahkan masalah pemrograman gemaris. Koefisien Fungsi Tujuan Persamaan garis lurus dapat ditulis sebagai y = mx + b di mana b=tetapan dan m = lereng (slope) Dalam solusi grafik terdahulu digunakan x1 dan x2 sehingga x2 = mx1 + b.

Fungsi tujuan terdahulu dapat ditulis dalam bentuk spt itu sehingga, 34x1 + 40x2 = Z ―34x1 + 34x1 + 40x2 = Z ― 34x1 40x2 = ―34x1 +Z x2 = ―34x1/40 +Z/40 Jadi lereng m dari garis laba-sama (iso-profit line ) adalah ―34/40 atau ―0,85. Besaran itu tidak lain dari rasio negatif dari koefisien x1 dan x2. Jadi secara umum garis laba-sama (iso-profit line) adalah x2 = ―c1x1/c2 + Z/c2

Jika c1 naik dan c2 tetap maka lereng menjadi lebih peka atau lebih curam dan garis akan berubah arah. Misalnya c1 menjadi 40 shg lerengnya menjadi ―40/40 = ―1. Akan tetapi jika c1 turun misalnya mendekati nol maka nilainya menjadi lebih besar dan lerengnya mendekati nol dan garis berputar arah sebaliknya. Jika perubahan sangat tajam sehingga lereng fungsi tujuan sama dengan lereng kendala maka akan terdapat solusi pojok pada titik B dalam gambar terdahulu. (PR bagaimana jika nilai c2 yang berubah? Apakah ada solusi pojok seperti perubahan nilai c1? Perhatikan kembali gambar berikut ini:

. . . . . Lereng 7 Rentang Optimalitas x2 16 14 12 4x1 + 6x2  48 10 C . B . 2x1 + x2  0 D . . . E A x1 4 6 8 10 12 14 16 2x1+2x2 Lereng = ―1

Rentang Optimalitas (Optimality Range) Jika koefisien fungsi tujuan membuat lereng fungsi tujuan lebih besar daripada lereng Kendala 1 ttp lebih kecil daripada lereng Kendala 2, maka titik C tetap menjadi solusi optimal. Area yang diarsir pada Gambar 7 adalah rentang kedua kendala tersebut seperti terlihat dalam hubungan berikut: ―1  ―c1/c2  ―2/3 Hubungan ini digunakan untuk mencari rentang optimalitas c1 tanpa mengubah titik optimalitas C dengan nilai c2 tetap pada 40 sehingga ―1  ―c1/40  ―2/3

Oleh karena yang dicari adalah rentang c1 ruas yang dibagi (numerator) dalam hubungan terdahulu dikalikan dengan ―40 sehingga ―1 (―40) ―(―40)c1/40  ―(―40)2/3 yang menghasilkan 40  c1  26,6 atau 26,67  c1  40 Jadi, koefisien fungsi tujuan untuk x1 mempunyai rentang dari batas terendah 26,67 dan batas tertinggi 40 di mana nilai optimal dari peubah keputusan (decision variables) tidak berubah. DEFINISI Rentang optimalitas adalah batas terendah dan tertinggi di mana nilai optimal dari peubah keputusan (decision variables) tidak berubah.

Berapa rentang optimalitas c2 untuk masalah terdahulu? Jika c2 tetap 34, maka hubungan lereng garis laba-sama adalah ―1  ―34/c2  ―2/3 Pemecahan ruas kiri menghasilkan c2  34 Pemecahan ruas kanan menghasilkan ―34/c2  ―2/3 Kalikan dengan ―c2 menghasilkan 34  2c2/3 c2  51 Jadi rentang c2 adalah 34  c2  51 Kepekaan koefisien (coefficient sensitivity) Ukuran seberapa jauh koefisien fungsi tujuan dari suatu peubah keputusan (decision variables) dapat ditingkatkan (naik dalam maksimisasi atau turun dalam minimasisasi) sebelum solusi optimal berubah dan peubah keputusan menjadi angka yang positip.

Alternatip pemecahan? Jika c2 tetap 34, maka hubungan lereng garis laba-sama adalah ―1  ―34/c2  ―2/3 Kalikan semua ruas dengan ―34 ―1/ ―34  ―34/ ―34c2  ―(2/3)/ ―34 Pemecahan ruas kanan menghasilkan 1/34  1/c2  2/3(34) 1/34  1/c2  1/51 Jadi rentang c2 adalah 34  c2  51 Kepekaan koefisien (coefficient sensitivity) Ukuran seberapa jauh koefisien fungsi tujuan dari suatu peubah keputusan (decision variables) dapat ditingkatkan (naik dalam maksimisasi atau turun dalam minimasisasi) sebelum solusi optimal berubah dan peubah keputusan menjadi angka yang positip.

Kepekaan koefisien dapat dicari dengan langkah-langkah berikut: 1. Identifikasi perputaran (rotasi) dari garis laba sama yang memperbaiki nilai c1 dan putar garis laba sama atau biaya sama sesuai dengan arah itu sampai terdapat solusi pojok yang baru di mana nilai x lebih besar daripada 0. 2. Tentukan kendala mana mempunyai lereng yang sama pada titik yang baru ini. Cari solusi c1 yang lereng fungsi tujuan sama dengan lereng fungsi kendala tadi. 3. Tentukan koefisien kepekaan sama dengan beda antara nilai tersebut dengan nilai c1 yang sekarang.

Misalnya dalam masalah terdahulu c1 = 20 (tadinya 34) dan garis laba sama tetinggi melewati titik B, bukan titik C dan pada titik itu nilai x1 = 0. Berapa kepekaan koefisien c1? 1. Oleh karena masalahnya adalah maksimisasi, c1 meningkatkan nilai sejalan dengan naiknya nilai c1. Naiknya nilai c1 mengubah garis laba-sama berlawanan dengan arah jam. Rotasi terus sampai mencapai titik C yang membuat nilai x1 positip. 2. Kendala mengikat yang mempunyai lerang yang sama adalah Kendala 1 dan solusi untuk c1 yang membuat lereng keduanya sama adalah ―c1/40 = ―2/3 c1 = 26,67 3. Koefisien kepekaan adalah 6,67 atau 26,67 ― 20 = 6,67 Jadi c1 akan naik sebesar 6,67 yang membuat x1 > 0