Oleh : Septi Fajarwati, S. Pd S1-Teknik Informatika . KOMBINATORIKA Oleh : Septi Fajarwati, S. Pd S1-Teknik Informatika .

DASAR PENGHITUNGAN |A| : jumlah elemen dalam himpunan A Aturan Penjumlahan: |A| = |S1|+|S2|+|S3|+ . . . . .+|Sn|, dimana himpunan-himpunan bagian (S1, S2,..., Sn) semuanya saling asing Aturan Perkalian: suatu pekerjaan melibatkan k buah langkah langkah 1  dengan n1 cara langkah 2  dengan n2 cara ................ langkah k  dengan nk cara Maka keseluruhan pekerjaan dapat dilakukan dengan: (n1) (n2) (n3).... (nk) cara

Ilustrasi : Langkah-2 (C1,C1) (C1,C2) Langkah-1 . 1 …. n2 (C1,Cn2) (Cn1,C1) (Cn1,C2) (Cn1,Cn2)

ATURAN PENJUMLAHAN Contoh 1: Dalam suatu kartu bridge, berapa cara untuk mengambil: a. Sebuah jantung atau sebuah daun ? b. Sebuah jantung atau kartu As ? c. Sebuah As atau King ? d. Sebuah kartu bernomor 2 hingga 10 ? JAWAB: a. Ada 13 kartu jantung dan 13 kartu daun maka banyaknya cara untuk mengambil sebuah kartu jantung atau daun = 13 + 13 = 26 cara. b. Ada 13 kartu jantung (dgn as) dan 4 as, sehingga banyak kemungkinannya = 13 + 4 = 17 cara. c. Banyak cara = 4+4 = 8 cara d. Banyak cara = 9+9+9+9 = 36 cara

ATURAN PENJUMLAHAN Contoh 2: Misal 2 dadu yang berbeda warnanya dilontarkan. Ada berapa cara untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 ? JAWAB: - Cara mendapatkan jumlah angka 4 ada 3 cara - Cara mendapatkan jumlah angka 8 ada 5 cara Sehingga untuk mendapatkan jumlah angka 4 atau 8 ada : 3+5 = 8 cara

ATURAN PERKALIAN Contoh 3: Jika 2 buah dadu yang berbeda dilontarkan, berapa banyak kemungkinan angka yang muncul? JAWAB: Sebuah dadu mempunyai 6 kemungkinan kemunculan angka-angka, sehingga kalau 2 buah dadu ada: 6*6=36 cara (Jika ada n dadu, ada 6n kemungkinan)

ATURAN PERKALIAN Contoh 4: Suatu kode terdiri dari 3 huruf dan diikuti 4 angka, contoh BAC4321. a. Jika baik huruf atau angka dapat diulangi penggunaannya, ada berapa kode berbeda yang dihasilkan ? b. Bagaimana jika hurufnya saja yang boleh diulang ? c. Bagaimana jika huruf maupun angka tidak boleh diulang ? JAWAB: a. Banyak cara = 26*26*26*10*10*10*10 = 263*104 b. Banyak cara = 263*10*9*8*7 c. Banyak cara = 26*25*24*10*9*8*7

ATURAN PERKALIAN Contoh 5: Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 2 atau 3 digit dapat dibentuk dengan menggunakan angka-angka 1,3,4,5,6,8 dan 9, jika perulangan tidak diperbolehkan JAWAB: Banyak cara : 7*6 + 7*6*5 cara

Korespondensi satu - satu Suatu tehnik untuk menghitung dilakukan dengan cara mengganti masalah yang sedang diselesaikan dengan masalah lain yang diketahui mempunyai jumlah objek yang sama

Contoh : Suatu pertandingan bola basket dengan sistem gugur diikuti 101 regu. Dalam sistem tersebut, regu yang kalah akan langsung gugur dan regu yang menang akan maju ke babak berikutnya. Jika jumlah regu dalam suatu babak tertentu ganjil maka ada 1 regu yang mendapatkan bye. Berapa banyak keseluruhan pertandingan yang harus dilakukan untuk mendapatkan satu regu yang menjadi juara ?

Jawab : Dengan cara langsung Babak I  101 regu shg ada 50 pertandingan (1 bye) Babak II  51 regu shg ada 25 pertandingan (1 bye) Babak III  26 regu shg ada 13 pertandingan Babak IV  13 regu shg ada 6 pertandingan Babak V  7 regu shg ada 3 pertandingan Babak VI  4 regu shg ada 2 pertandingan Babak final  2 regu shg ada 1 pertandingan Jadi total pertandingan = 50+25+13+6+3+2+1 = 100 pertandingan

Dengan membuat korespondensi satu – satu Jika diperhatikan dalam setiap babak, jml pertandingan yg harus dilakukan selalu sama dengan jumlah regu yang kalah. Ada 101 regu yang mengikuti pertandingan dan hanya 1 regu yang menjadi juara. Karena digunakan sistem gugur, berarti ada (101 – 1) = 100 regu yang kalah. Maka jumlah pertandingan yg harus dilakukan adalah 100 kali.

Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n. Untuk n = 0, nol faktorial didef = 1 n! = 1.2.3… (n-1).n 0! = 1

Dari definisi faktorial : n! = 1.2.3… (n-2)(n-1)n (n-1)! = 1.2.3…(n-2)(n-1) Sehingga n ! = 1.2..(n-2)(n-1)n = n (n-1)! 1.2..(n-2)(n-1) Didapat persamaan n! = n(n-1)!

Contoh : Hitunglah a. b. c. d. Jawab : a. c.

Kombinasi Urutan kemunculan tidak diperhatikan Misalkan himpunan S mempunyai |S| = n elemen. Banyaknya himpunan bagian S yang terdiri dari r (r ≤ n) disebut kombinasi n objek yang diambil sebanyak r objek sekaligus. Simbolnya : atau C(n,r) atau nCr. Banyaknya kombinasi yg dimaksud dinyatakan dalam persamaan :

Hitunglah : a. b. Penyelesaian : a. b.

Contoh Soal : Setelah pesta ulang tahun Rina selesai, semua undangan yang berjumlah 42 orang saling berjabat tangan. Ada berapa kali jabatan tangan dapat dilakukan? 2. Suatu Perusahaan mempunyai 5 orang karyawan laki-laki dan 7 karyawan wanita. Pimpinan perusahaan akan memilih 5 orang diantaranya untuk bersama-sama mengerjakan suatu proyek. Berapa banyak tim yang dapat ia bentuk apabila di dalam tim tersebut harus : a. terdiri dari 3 orang karyawan laki-laki dan 2 orang karyawan wanita? b. Paling sedikit terdapat 1 karyawan laki-laki? c. Paling banyak terdapat 1 karyawan laki-laki?

LATIHAN Dari 12 orang anggota tim bulu tangkis akan dipilih 4 orang untuk bertanding. Berapa banyak komposisi pemain yang bertanding. Dalam suatu kotak terdapat 7 bola kuning dan 5 bola hijau. Tentukan banyaknya cara untuk mengambil 6 bola sehingga mendapatkan 4 bola kuning dan 2 bola hijau.

PERMUTASI Urutan diperhatikan Tidak seperti kombinasi, pada permutasi perulangan tidak diperbolehkan. Artinya objek yang sudah dipilih tidak bisa dipilih kembali. Urutan diperhatikan Secara umum, permutasi r objek dari n buah objek dapat dihitung dengan persamaan :

PERMUTASI Contoh : Dalam suatu kelas ada 20 orang. Berapa cara untuk memilih ketua dan bendahara JAWAB: Banyak cara = 20*19 =380 cara (urutan diperhatikan) (hal ini akan berbeda jika akan dipilih 2 orang wakil kelas, karena urutan tidak diperhatikan)

PERMUTASI Contoh : Tuliskan semua permutasi 3 objek {a,b,c} JAWAB: Ada 3! = 6 kemungkinan, yaitu: abc, acb, bac, bca, cab, cba Suatu undian menggunakan 7 digit angka, jika digit-digitnya harus berbeda dengan yang lain, ada berapa kemungkinan nomor undian? P(10,7) =10!/3! = 10.9.8.7.6.5.4 macam kemungkinan

Kombinasi & Permutasi Dgn Elemen Berulang Dalam hal ini beberapa objek – objek yang ada tersebut sama ( sama disini tidak berarti harus sama persis, tetapi lebih diartikan bahwa beberapa objek tersebut tidak dapat dibedakan satu sama lain).

Secara umum, jika suatu himpunan terdiri dari n objek yg tersusun dari : n1 buah objek sama jenis – 1 n2 buah objek sama jenis – 2 … nk buah objek sama jenis – k. dengan n1 + n2 + … + nk = n Maka banyaknya permutasi berbeda yang mungkin dari n objek tersebut adalah :

Contoh : Berapa macam penyusunan berbeda yang dapat dilakukan pada huruf huruf a,a,b,c ? Jawab : Banyaknya penyusunan yang berbeda =

Latihan : 1.Ada berapa macam cara untuk menyusun huruf – huruf dalam kata : MISSISSIPPI ? 2. Berapa banyaknya susunan huruf-huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA” 2.Ada berapa macam cara agar 23 buah buku yang berbeda dapat diberikan pada 5 mahasiswa sedemikian sehingga 2 diantaranya memperoleh 4 buku dan 3 mahasiswa lainnya memperoleh 5 buah buku ?

Teorema Binomial Adalah rumus penjabaran (x+y)n (n bilangan bulat tak negatif). Untuk n yang kecil, penjabaran (x+y)n dapat dilakukan dengan mudah dan sering dilakukan. n = 0 (x+y)0 = 1 n = 1 (x+y)1 = x + y n = 2 (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 n = 3 (x+y)3 = x3 + 3x2y + 3 xy2 + y3 n = 4 (x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Untuk memudahkan perhitungan penjabaran dalam n yang lebih besar maka digunakan teorema binomial, karena koefisisn – koefisien (x+y)n merupakan suatu kombinasi, maka

Contoh : Uraikan ekspresi ini dengan teorema binomial : (2x + 5y)3

(x - 4y)4 = {x + (-4y)}4

Teorema Multinominal Merupakan perluasan dari binomial. Multinominal adalah jumlahan t buah suku berbeda, yaitu x1+x2+…+xt Binomial adalah kasus khusus dari multinominal, yaitu untuk t = 2. Teorema Multinominal adalah rumus penjabaran (x1+x2+…+xt)n

Banyaknya suku pada (x1+x2+…+xt)n adalah Misalkan x1,x2…,xt adalah bilangan2 riil dan n adalah bilangan bulat positif. Maka Banyaknya suku pada (x1+x2+…+xt)n adalah

Hitunglah koefisien dari : Dalam ekspresi Jawab : Koefisien adalah Banyaknya suku =

Hitunglah Koefisien dari : b. x3y3z2 dalam ekspresi (2x – 3y + 5z)8 c. x3y4 dalam ekspresi (2x – 3y + 5z)8 d. x5z3 dalam ekspresi (2x – 3y + 5z)8