BAB 8 FUNGSI DAN OPERASI LANJUT FUNGSI LANJUT DIAGRAM FUNGSI KOMUTATIF PEMBATASAN FUNGSI PERLUASAN FUNGSI FUNGSI BERHARGA NYATA ALJABAR FUNGSI BERHARGA NYATA FUNGSI KARAKTERISTIK FUNGSI PILIH

OPERASI LANJUT OPERASI KOMUTATIF OPERASI ASOSIATIF OPERASI DISTRIBUTIF ELEMENT IDENTITAS ELEMENT INVERS

DIAGRAM FUNGSI KOMUTATIF C D B A j f g h i Suatu diagram fungsi disebut komutatif bila untuk setiap himpunan X dan Y, setiap lintasan dari X ke Y selalu sama A  B : f = i h D  C : j = g i A  C : g f = j h = g i h

PEMBATASAN FUNGSI ( Restriction of Function) Misalkan f : A  C, B  A, maka f’: B  C disebut pembatasan dari fungsi f ke B yang didefinisikan dengan : f’(b) = f(b) ditulis f | B Contoh 8.1 f : R#  R# f = x2, N = bilangan asli f | N = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16) …….}, Contoh 8.2 g ={(2,5), (5,1), (3,7), (8,3), (9,5)} g: {2,5,3,8,9}N f | {2,3,9} = {(2,5), (3,7), (9,5)}

PERLUASAN FUNGSI ( Extension of Function) Misalkan f : A  C, BA, maka F: B  C disebut perluasan dari fungsi f ke B yang didefinisikan dengan : F(a) = f(a) Contoh 8.3 f ={(1,2), (3,4), (7,2)} g: {1,3,7}N F = {(1,2), (3,4), (5,6), (7,2)}

FUNGSI BERHARGA NYATA ( Real-Valued Functions) f : A  R# disebut fungsi berharga nyata p(x) = ao xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 +……. an-1 x + an t(x) = sin x, cos x, tg x f(x) =log x, ex Polinomial, trigonometri, eksponensial

ALJABAR FUNGSI BERHARGA NYATA Bila f : D  R# dan g: D  R#, k  R# maka fungsi-fungsi berikut didefinisikan : (f+k): D  R# oleh (f+k)(x)=f(x)+k (|f|):D  R# oleh (|f|)(x)=|f(x)| (fn): D  R# oleh (fn(x)=(f(x))n (fg) : D  R# oleh (fg)(x)=f(x) g(x) kf: D  R# oleh kf(x) (fg) : D  R# oleh f(x)g(x) (f/g):D  R# oleh f(x)/g(x), (g(x)0)

Contoh 8.4 Misalkan D = {a,b}, f:DR# dan g:DR# didefinisikan sebagai : f(a) = 1, f(b)=3 dan g(a)=2, g(b)=-1 atau f={(a,1),(b,3} dan g={(a,2), )b,-1} maka : (3f-2g)(a)=3f(a)-2g(a)=3(1)-2(2)=-1 (3f-2g)(b)=3f(b)-2g(b)=3(3)-2(-1)=11 3f-2g={(a,-1),(b,11)}

Contoh 8.5 Misalkan f: R# R# dan g: R# R# didefinisikan sebagai : f(x) = 2x-1 dan g(x)=x2 maka : (3f-2g)(x)=3(2x-1)-2(x2) = - 2x2 +6x-3 (fg)(x)=(2x-1) (x2) = 2x3-x2

FUNGSI KARAKTERISTIK ( Characteristic Functions) Misalkan A adalah sembarang himpunan bagian dari himpunan semesta U, maka fungsi berharga nyata :xA: U  {1,0} yang didefinisikan sebagai disebut fungsi karakteristik dari himpunan A

Misalkan U={a, b,c,d,e}dan A={a,d,e}, Contoh 8.6 Misalkan U={a, b,c,d,e}dan A={a,d,e}, maka fungsi f:U {1,0} dengan diagram fungsi : a b c d e 1 f adalah fungsi karakteristik dari A

FUNGSI PILIH ( Choice Functions) Misalkan {Ai}iI adalah himpunan keluarga yang tidak kosong  B, maka fungsi : f: {Ai}iI  B disebut suatu fungsi pilih bila untuk setiap i I f(Ai)  Ai

Misalkan A1={1,2,3} A2={1,3,4}, A3={2,5} Contoh 8.7 Misalkan A1={1,2,3} A2={1,3,4}, A3={2,5} 1 2 3 4 5 A1 A2 A3 f 1 2 3 4 5 A1 A2 A3 g f bukan fungsi pilih karena f(A2) = 2 A2 g adalah fungsi pilih karena g(A1) A1, g(A2) A2 dan g(A3) A3

OPERASI-OPERASI ALJABAR, HIMPUNAN DAN FUNGSI a+b=c a.b = c AB=C AB=C g.f = h :AxA A (operasi biner) OPERASI KOMUTATIF Suatu operasi : AxA A disebut komutatif bila untuk setiap a,b A, maka (a,b) = (b,a)

Contoh 8.8 Penjumlahan dan perkalian dari bilangan nyata adalah operasi komutatif, karena : a+b = b+a dan a.b = b.a, Operasi pengurangan :(x,y)x-y, dimana (5,1)=4  (1,5)=-4 bukan operasi komutatif Operasi gabungan dan irisan adalah operasi komutatif, karena : AB= BA AB= B  A

a+(b+c) = a+(b+c) dan a.(b.c) = (a.b).c OPERASI ASOSIATIF Suatu operasi : AxA A disebut asosiatif bila untuk setiap a,b A, maka  ((a,b),c) =  ( a,(b,c)) Bila (a,b) ditulis dengan a*b (a*b)*c=a*(b*c) Contoh 8.9 Penjumlahan dan perkalian dari bilangan nyata adalah operasi asosiatif, karena : a+(b+c) = a+(b+c) dan a.(b.c) = (a.b).c

Operasi pembagian :(x,y)x/y, dimana  ((12,6),2)  (2,2)=1  (12,(6,2)=  (12,3)=4 bukan operasi asosiatif Operasi gabungan dan irisan adalah operasi asosiatif, karena : (AB)  C= A(B  C) (AB)  C= A  (B C)

OPERASI DISTRIBUTIF Suatu operasi : AxA A disebut distributif bila untuk setiap a,b A, maka :  (a,(b,c)) =  ( (a,b), (a,c)) Bila (a,b) ditulis dengan a*b dan (a,b) ditulis ab a*(b c)=(a*b) (a*c)

Contoh 8.10 Operasi perkalian terdistribusi terhadap operasi penjumlahan, karena : a(b+c) =a.b+a.c Tetapi operasi penjumlahan tidak terdistribusi terhadap operasi perkalian, karena : a+(b.c)  (a+b).(a+c) Operasi gabungan terdistribusi terhadap operasi irisan demikian juga sebaliknya, karena : A(B  C)= (AB)  (A C) A(B C)= (A  B) (A C)

ELEMENT IDENTITAS Misalkan : AxA A adalah suatu operasi yang ditulis  (a,b) = a*b, maka suatu elemen e  A disebut sebagai elemen identitas bila untuk setiap a  A e*a = a*e = e Bila (a,b) ditulis dengan a*b dan (a,b) ditulis ab a*(b c)=(a*b) (a*c)

Contoh 8.11 Misalkan :R#x R#  R# adalah operasi penjumlahan, maka elemen 0 adalah elemen identitas karena : 0*a=a*0=a  a + 0 = 0 + a = a Misalkan :R#x R#  R# adalah operasi perkalian, maka elemen 1 adalah elemen identitas karena : 1*a=a*1=a  a.1 = 1.a = a Misalkan :R#x R#  R# adalah operasi perkalian, maka elemen 1 adalah elemen identitas karena : 1*a=a*1=1  a.1 = 1.a = a

Misalkan :R#x R#  R# adalah operasi irisan, maka himpunan semesta U adalah elemen identitas karena untuk setiap himpunan A : U*a=a*U=a  U  A = A  U = A