BAB 2 SISTEM NYATA (Realitas) Nama : Widiya Oktaviani Npm : 065110366

2.1 Pengertian Sistem Istilah sistem berasal dari kata Yunani “systema”, yang mengandung arti sehimpunan bagian atau komponen yang saling berhubungan secara teratur dan merupakan satu keseluruhan (a whole). Definisi lain, sistem adalah kombinasi unsur-unsur yang tersusun secara tertentu sedemikian rupa sehingga berbagai masukan (input) atau gangguan (disturbance) akan menyebabkan tanggapan (response) dan keluaran (output) karakteristik sistem tertentu (lihat gambar 2-1). Jadi, sistem merupakan kumpulan objek-objek yang beraksi dan interaksi bersama ke arah beberapa ujung (akhir) logis.

Misalkan, menentukan jumlah kasir yang diperlukan untuk memberikan layanan cepat ke pelanggan dengan 10 barang jualan atau kurang pada pasar swalayan. Sistem terdiri dari kasir cepat dan pelanggan dengan 10 barang jualan atau kurang. Gambar 2-2 memperlihatkan bagian-bagian dari studi ilmu sistem. (system theory). Masukan SISTEM Keluaran Gangguan Tanggapan Gambar 2-1 suatu sistem

Eksperimen dengan sistem nyata Eksperimen dengan model sistem Model fisika Model matematika Solusi analitis Simulasi Gambar 2-2 Studi Ilmu sistem

Tabel 2-1 Unsur-unsur sistem dan tujuannya Unsur-unsur penyusun sistem tersebut dapat fisis nyata maupun fisis tak berwujud. Yang dimaksud dengan unsur-unsur fisis tak berwujud adalah yang di ungkapkan dengan besara-besaran yang tak dapat di ukur secara langsung. Sebagai contoh untuk jenis terkhir ini antara lain : entropi, saluran (channel) kmunikasi, dan indeks unjuk kerja (performance index). Tabel 2-1 berikut memperlakukan unsur-unsur sistem beserta tujuannya. Tabel 2-1 Unsur-unsur sistem dan tujuannya No. Sistem Unsur-unsur Tujuan 1 Tubuh manusia Organ-organ kerangka,urat syaraf, peredaran darah, dll. Homeostatis (keadaan selaras) 2 Klab rekreasi Anggota, alat Rekreasi 3 Pabrik Orang, mesin, bangunan, bahan material Produksi barang 4 Peluru kendali Manusia, peluru, pelontar, detektor, komunikasi Serangan 5 Kepolisian Manusia, bangunan, perlengkapan, komunikasi Keamanan 6 Komputer CPU, Memori, piranti masukan keluaran Pengolahan data 7 Cakrawala Bintang, planet, energi Memperluas wawasan 8 Filsafat Ide-ide, buah fikiran Kepahaman

Sistem-sistem fisis didalam peninjauannya selalu diwaliki oleh model-model matematis yang didasarkan pada komponen-komponen atau unsur-unsur ideal yang dengan tepat dapat ditentukan secara sitematis. Sekali model matematika dipilih watak-wataknya ditentukan secara matematis. Cara penentuan model matematis ini bersangkutan dengan hukum-hukum atau kaidah-kaidah yang berlaku. 2.2 Klasifikasi Sistem Secara umum model sistem dapat di klasifikasikan menjadi beberapa kelas dan dari sudut wujudnya, model sistem terdiri dari model sistem fisika, sistem biologi, dan sistem sosial. Berdasarkan waktu perubahan variabel yang ada dalam sistem, model sistem dibagi menjadi model sistem waktu kontinu dan model sistem waktu diskret. Model sistem waktu kontinu adalah model sistem dimana definisi waktu adalah kontinu yang dinyatakan dalam bilangan nyata (real), umumnya ditulis dengan simbol waktu t.

Gambar 2-3 berikut memperlihatkan model waktu kontinu.

Model sistem waktu diskret adalah model sistem di mana definisi waktu adalah diskret yang dinyatakan dalam bilangan bulat (interger), umumnya ditulis dengan simbol waktu k. contoh model sistem ekonomi makro suatu negara dengan variabel interger waktu diskret bulan atau tahun. Gambar 2-4 memperlihatkan model waktu diskret.

Berdasarkan peristiwa yang terjadi dalam sistem, model sistem dibagi menjadi model sistem kejadian kontinu (continous event) dan model sistem kejadian diskret (discrete event). Model sistem kejadian kontinu adalah model sistem dimana peristiwa masukan, keluaran, dam keadaan (state) terjadi secara terus-menerus. Contoh model sistem persamaan gerak mobil dimana seorang sopir memberi perintah kontinu kepada mobil, agar kecepatan konstan sesuai yang diinginkan. Gambar 2-5 memperlihatkan contoh model kejadian kontinu.

Model sistem kejadian diskret adalah mode; sistem dimana peristiwa masukan, keluaran, dan keadaan terjadi tidak terus menerus tetapi kdang-kadang saja. Gambar 2-6 memperlihatkan contoh model kejadian diskret.

Pada kasus tertentu ada suatu sistem yang didalam nya melibatkan proses atau kejadian campuran baik kejadian kontinu maupun diskret, sistem demikian dikenal sebagai model sistem campuran atau hybrid system. Gambar 2-7 memperlihatkan contoh model kejadian hybrid, dimana variabel suhu adalah proses kontinu, sedang variabel saklar adalah kejadian diskret.

Berdasarkan karakteristik dan kerumitan dari sistem yang menghasilkan tanggapan (keluaran) atas masukan tertentu, maka ada dua jenis model sistem yaitu model sistm deterministik, model sistem stokastik dan model sistem permainan game. Pada model sistem deterministik, sistem akan menghasilkan keluaran deterministik (menentu) untuk masukan tertentu yang unik. Contoh model deterministik adalah model sistem fisika sederhana seperti rangkaian listrik arus searah. Gambar 2-8 berikut memperlihatkan contoj model rangkaian listrik RC.

Karena kerumitan (kompleksitas) dari sistem baik sifat maupun jumlah variabel serta parameter yang terlibat, model sistem stokastik (probabilisitik) melibatkan pengaruh acak (random) dan statistik dimana sistem mempunyai satu atau lebih kemungkinan masukan acak (misalnya : kedatangan pelanggan, waktku layanan, dst). Keluaran model stokastik adalah perkiraan (estimate) dari karakteristik sebenarnya dari sistem. Gambar 2-9 memprlihatkan contoh model sistem stokastik.

Model sistem permainan (game) berusaha membuat pemecahan optimum pada saat menghadapi situasi yang tidak dikenal atau mutlak tidak pasti. Berdasarkan waktu pengamatan sistem, model sistem dibagi menjadi model sistem statik dan moel sistem dinamik. Pada model sistem statik keadaan sistem tak tergantung waktu. Gambar 2-10 berikut memperlihatkan karakteristik statik kendali terbang (flight control) suatu pesaawat terbang.

Pada sistem dinamis, keadaan sistem berubah terhadap waktu Pada sistem dinamis, keadaan sistem berubah terhadap waktu. Sebagai contoh model gerak dinamis longitudinal suatu sistem pesawt terbang boeing B747, kurva gerak dinamisnya seperti terlihat pada gambar 2-11

Pada model sistem linear, keluarannya berbanding (fungsi) linear dengan variabel masukan, model linear memenuhi sifat superposisi dan homogenitas. Sifat superposisi : y3 = k (u1 + u2) = ku1 + ku2 = y1 + y2 Sifat homogenitas : y4 = k (cu1) = c(ku1) = cy1 gambar 2-12 memperlihatkan contoh model fisika sederhana dari suatu bandul dengan sudut osilasi kecil.

Model sistem nonlinear tidak memenuhi sifat superposisi dan homogenitas. Misalnya suatu sisteem nonlinear dinyatakan dengan persamaan y = k u² di mana y adalah keluaran, u adalah masukan dan k adalah parameter sistem. Untuk masukan u1, maka keluarannya y1 = k u1². untuk masukan u2, maka keluarannya y2 = k u2². untuk masukan u3 = u1+u2 maka keluarannya y3 = k u3² = k (u1+u2)². untuk masukan u4 = c u1 di mana c adalah konstanta, maka keluarannya y4 = k u4² = k(c u1)². Bukan superposisi y3 = k (u1+u2)² = k u1² + k u2² + 2k u1 u2 = y1 + y2 + 2k u1 u2 . Bukan homogenitas y4 = k(c u1)² = c² (k u1²) = c² y1. Tabel 2-2 berikut memperlihatkan beberapa komponen nonliniear yang biasa dijumpai dalam pemodelan sistem. Komponen non linear dibagi lagi menjadi dua jenis, yaitu : soft nonlinear dan hard nonlinear. Contoh model sistem kendali terbang suatu pesawat terbang, sepeti terlihat pada gambar 2-13 berikut.

Berdasar (lokasi) tempat parameter sistem yang diperhatikan, maka ada dua model sistem, yaitu : model tersebar (distributed) dan model terkumpul (lumped). model sistem tersebar adalah model dimana parameter sistem tersebar dibeberapa lokasi. Contoh model sistem tenaga listrik PLN dijawa dimana beban (pemakai) dan pembangkit (sumber) tenaga listrik tersebar dibeberapa lokasi. Gambar 2-14 berikut memperlihatkan model sistem tersebar dari suatu saluran jaringan transimisi tenaga listrik.

Model sistem terkumpul adalah model dimana parameter sistem terkumpul (terpusat) disatu lokasi. Contoh model sistem gerak dinamis pesawat terbang dimana pesawat terbang dipandang sebagai suatu titik dengan pusat gravitasi yang bergerak diudara menurut hukum gerak newton. Gambar 2-15 berikut memperlihatkan model sistem terkumpul suatu jaringan transimisi tenaga listrik.

Model sistem terbuka adalah model sistem dimana variabel masukan tidak tergantung secara langsung dengan variabel keluaran. Contoh masukan dari sistem gerak dinamis mobil hanya tergantung dari aksi supir, seperti terlihat pada gambar 2-16 berikut

Model sistem tertutup adalah model sistem dimana variabel masukan tergantung secaraa langsung dengan variabel keluaran. Contoh : autopilot pesawat terbang, dimana masukan kendali ke sistem datang dari umpan balik (feedback) beberapa variable keluaran misalnya ketinggian dan kecepatan pesawat terbang. Gambar 2-17 berikut memperlihatkan contoh model tertutup.

Berdasarkan jumlah masukan dan jumlah keluaran ada model SISO (single input output) dan model mimo (multiple input dan multiple output). Model sistem SISO adalah model sistem dimana variabel masukan berjumlah satu (besaran saklar). Contoh model SISO seperti terlihat pada gambar 2-18 berikut.

Model sistem MIMO adalah model sistem dimana variabel masukan berjumlah lebih dari satu(besaran vektor), begitu juga variabel keluaran berjumlah lebih dari satu (besaran vektor) jelas bahwa model MIMO lebih rumit (komplek) dibanding model SISO. Contoh model MIMO seperti terlihat pada gambar 2-19 berikut.

Berdasarkan hubungannya dengan lingkungan, ada model sistem adaptif dan tak adaptif. Model sistem adaptif atau yang mampu menyesuaikan diridengan lingkungannya adalah sistem yang bereaksi terhadap lingkungannya sedemikian rupa untuk meningkatkan fungsinya, karyanya atau mungkin juga untuk keberlangsungan adanya. Sedangkan model tak adaptif, misalnya perusahaan yang tidak mampu menyesuaiakan diri menghadapi perubahan-perubahan eksternal lingkungannya. Berdasarkan hubungan waktu sekarang, yang lalu dan yang akan datang, ada model tak antisipatif dan model antisipatif. Moel sistem tak antisipatif adalah model sistem dimana keluaran sekarang tergantung dari masukan sekarang dan keadaan perilaku sistem sekarang dan yang lalu(lampau). Contoh model sistem fisika sederhana bersifat tak antisipatif (kasual) seperti terlihat pada gambar 2-20 berikut, dimana proses intergasi mulai dari yang lalu (- ∞) sampai waktu sekarang t.

Model sistem antisipatif adalah model sistem dimana keluaran sekarang tergantung dari masukan sekarang dan keadaan perilaku sistem sekarang, yang lalu dan yang akan datang. Contoh model sistem manusia, sistem ekonomi, sistem politik yang bersifat antipatif seperti terlihat pada gambar 2-21 berikut dimana proses penjumlahan mulai dari yang lalu (-∞) sampai yang akan datang (-∞).

Berdasar perubahan parameter sistem terhadap waktu, maka ada dua model sistem, yaitu : model time variant dan model time invariant. Model sistem time variant adalah model dimana nilai parameter sistem berubah dengan waktu. Contoh model pegas (spring) sepeda motor atau mobil dimana parameter stiffness pegas utnuk sepeda motor atau mobil baru berbeda dengan sepeda motor atau mobil lama . Gambar 2-22 berikut memperlihatkan model sistem time variant.

model time invariant adalah model dimana nilai parameter sistem tidak berubah dengan waktu. Contoh model beberapa sistem fisika umumnya untuk tujuan tertentu disederhankan dengan asumsi nilai parameter tidak berubah dengan waktu. Gambar 2-23 berikut mmeperlihatkan model sistem time invariant.

Berdasarkan orde persamaan diferensial untuk mempresentasikan sistem, maka ada model sistem orde satu, dua, tiga dan setrusnya. Sistem orde satu hubungan masukan dan keluaran sistem kendali suhu adalah Di mana To (s) adalah suhu keluaran, Ti(s) adalah suhu masukan, k adalah konstanta gain yang sesuai dan Τ adalah konstanta waktu yang sesuai. Model orde satu yang lain adalah berbagai rangkaian listrik RLC. Sistem orde dua. Model motor servo adalah

Sistem orde tiga. Model orde tiga untuk motor pompa hidrolik sumbu tunggal adalah Sistem orde empat untuk model orde empat, sistem posisi pendulum terbalik klasik dipilih. Dalam sistem ini, pivot pendulum pada suatu pembawa yang dapat bergerak dalam arah mendatar agar pendulum seimbang, dengan menganggap gangguan kecil, tentang hasil norm dalam persamaan berikut menggunakan pendekatan trigonometrik.

Dimana Ф (t) adalah sudut rotasi terganggu , x (t) adalah pergeseran horizontal, g adalah percepatan gravitasi, M adalah masa pembawa, u(t) adalah gaya kendali pada pembawa, dan f adalah koefisien gesek. L didefinisikan sebagai di mana m adalah massa pendulum, cg adalah pusat gravitasi pendulum, dan j adalah momen inersia terhadap pusat gravitasi.

2.3 hubungan masukan, keluaran, dan sistem Sistem dapat dijelaskan sebagai suatu kotak hitam (black box) dengan beberapa masukan (input) dan keluaran (output) seperti pada gambar 2-24 berikut.

Dalam kawasan waktu (time domain), hubungan antara masukan dan keluaran dari suatu sistem dapat dinyatakan sebagai hubungan konvolusi dengan simbol *. Formulasi konvolusi waktu kontinu dapat ditulis sebagai : y (t) = h (t) * u (t) Proses konvolusi waktu kontinu (*) dapat dinyatakan dalam bentuk operasi integral sebagai : Formulasi lain sistem waktu kontinu dapat dimodelkan secara matematika sebagai persamaan diferensial ordinar orde m berikut :

Hubungan masukan dan keluaran sistem dalam kawasan frekuensi dapat ditulis sebagai : Y(s) = H(s) U(s) Persamaan 2-8 dapat diubah menjadi fungsi transfer masukan keluaran berikut Formulasi proses konvolusi suatu sistem waktu diskret, dengan variabel waktu diskret k, dapat ditulis : Formulasi lain sistem waktu diskret dapat dimodelkan secara matematika sebagai persamaan diferens ordinar orde n berikut dimana v(k) adalah komponen noise acak.

Hubungan masukan dan keluaran dalam kawasan frekuensi dapat ditulis sebagai : Y(z) = HT(z) U(z) Dengan transformasi z, persamaan 2-11 dapat diubah menjadi fungsi transfer masukan keluaran berikut :

2.4 konsep keadaan (state) suatu diagram Untuk tujuan simulasi dan analisis tertentu, model sistem dapat dinyatakan dalam variabel keadaan (state variabel). Misalkan suatu sistem linear waktu kontinu dinyatakan dalam bentuk persamaan variabel keadaan sebagai berikut

Gambar 2-25 berikut memperlihatkan diagram blok dari model variabel keadaan sistem linear waktu kontinu.

Pada kawasan frekuensi, hubungan antara masukan, keluaran sistem dapat dinyatakan secara persamaan aljabar matriksebagai fungsi transnnfer berikut : Penyelesaian dari persamaan variabel keadaan diatas dapat ditulis sebagai berikut. Vektor keluaran :

Contoh : Sistem waktu kontinu-Rangkaian Liastrik RLC seri Perhatikan sistem orde dua rangkaian listrik RCL terhunung seri seperti terlihat pada gambar 2-26 di bawah, di mana resistor R dalam Ω, kapasitor C dalam farad, induktor L dalam Henry, arus i(t) dalam ampere, tegangan v(t) alam volt, t variabel waktu dalam detik dan s variabel laplace. Dengan mwnwrapkan hukum tegangan kirchoff, maka diperoleh persamaan differensial orde dua berikut :

Penyelesaian (solution)dari persamaan variabel keadaan di atas dapat ditulis sebagai berikut. Vektor variabel keadaan :

Untuk banjar masukan { u (k) } = {300 -100 300 0 0 …..} dapat ditentukan sebagai berikut :

Matrik A, B, C, D dan matrik AT, BT, CT, DT dapat di tulis sebagai berikut ( dengan menggunakan asumsi pendekatan (approximation) metode sampling zero hold ) :