SUB RUANG .

Definisi Sub Ruang Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah penambahan dan perkalian skalar yang didefisikan pada V

Aksioma warisan 2) u + v = v + u 3) u + (v+w) = (u+v)+w 7) k(u+v) = ku + kv 8) (k+l) u = ku + lu 9) kl (u) = k (lu) 10) 1u = u

Aksioma bukan warisan 1) 4) 5) 6)

Teorema 4 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi berikut berlaku : Jika u dan v adalah vektor vektor pada W, maka u + v terletak di W Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di W

Pembuktian dari aksioma 1) dan 6) Untuk mendapatkan aksioma 5) dapat kita peroleh dari aksioma 6) Ambil k = -1 aksioma 5)

Untuk mendapatkan aksioma 4) dapat kita peroleh dari aksioma 1) atau aksioma 6) Ambil v = -u aksioma 4) aksioma 6) Ambil k = 0 aksioma 4)

Contoh Soal z v u+v ku u y x W Misalkan: u dan v adalah vector-vektor sembarang pada W,dan W adalah bidang sembarangyang melewati titik asal. Maka u+v harus terletak pada W karena vector ini merupakan dan paralelogram yang dibentuk oleh u dan v , dan vector ku harus terletak pada W untuk scalar sembarang k karena ku terletak pada garis yang melewati u. jadi, w tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, sehingga merupakan sub ruang R3. W u+v ku v u x z y Vector u + v dan ku keduanya terletak pada satu bidang yang sama dengan u dan v

y w (1,1) x (-1,-1) Contoh bukan sub ruang Misalkan W adalah himpunan semua titik (x,y) pada R2 sedemikian hingga dan . Titik ini adalah titik-titik pada kuadran pertama. Himpunan W bukan merupakan su ruang dari R2 karena tidak tertutup terhadap perkalian skalar. Sebagai contoh, v = (1,1) terletak pada W, tetapi bentuk negatifnya (-1)v = -v = (-1,-1) tidak terletak pada W. y w (-1,-1) x (1,1)

Soal 1 Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut apakah merupakan subruang R3 ? Jawab : R3 merupakan ruang vektor Ambil sebarang dua elemen pada W1

Ambil sebarang skalar k dan Jadi W1 Subruang pada R3

Soal 2 Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c+1 Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut apakah merupakan subruang R3 ? Jawab : R3 merupakan ruang vektor Ambil sebarang dua elemen pada W2 W2 bukan sub ruang R3

Soal 3 Misal U merupakan himpunan semua matrik 2x2 yang berbentuk dengan syarat a= 0 dan d= 0. Tunjukkan bahwa U subruang dri ruang vektor matrik 2x2! Jawab: Ambil a,b U, akan ditunjukkan bahwa a+b U,karena a U maka dipenuhi a= Dengan syarat a1 = 0 dan d1 = 0, dan karena B U maka dipenuhi b=

Dengan syarat a2 = 0 dan d2 = 0. maka a+b= , karena a1 = 0 dan a2 = 0, Maka a1 + a2 = 0,sert dikarenakan d1 = 0 dan d2 = 0, maka d1 + d2 = 0. jadi a + b U. Ambil a U, ambil k R akan ditunjukan bahwa ka U, karena a U maka dipenuhi a= dengan syarat a1 = 0 dan d1 = 0. Maka ka= , berarti ka1 = 0 dan kd1 = 0 Jadi ka U Sehingga U subruang dari ruang vektor 2x2.

Soal 4 Misalkan U himpunan semua matrik 2x2, berbentuk dengan syarat ad=0. Apakah U sub ruang dari ruang vektor matrik 2x2? Jawab: U bukan sub ruang dari matrik 2x2, karena itu dibutuhkan contoh penyangkal. dan Jadi U bukan sub ruang dari matrik 2 x 2

Soal 5 Misalkan U himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen , dengan A berordo nxn dan tetap. Tunjukkan bahwa U sub ruang Rn. Jawab : Ada vektor nol, 0, sehingga A0 = 0. Jadi, U≠∅. 2. Ambil , berarti memenuhi dan . Akan ditunjukkan bahwa berarti {sifat distributif perkalian matrik} {karena dan } Jadi,

3. Ambil, berarti memenuhi . Akan ditunjukkan {sifat asosiatif perkalian matrik} {karena } Jadi, ∴U sub ruang dari ruang vektor Rn.