APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi. Bentuk umum pers taklinear : f(x) = 0, f fungsi taklinear. Jika f(x 0 ) = 0 maka x 0 dikatakan akar (penyelesaian). Persamaan linear ax + b = c mempunyai akar (penyelesaian) x = (c – b)/a. Bagaimana dengan akar-akar persamaan berikut, mudahkah dicari? EKSISTENSI AKAR pada suatu interval : 1. Tidak mempunyai akar 2. Mempunyai akar tunggal 3. Mempunyai akar banyak

Secara GEOMETRI, akar persamaan f(x) = 0 adalah titik potong kurva y = f(x) dengan sumbu x. y = f(x) X Y a b akar-akarnya Teorema (syarat cukup): Jika f kontinu pada interval [a, b] dan f(a) f(b) < 0 maka f(x) = 0 mempunyai akar di dalam (a, b). ab f(a) f(b) p akar f(a) f(b) < 0

METODA BELAH DUA (BISEKSI) Perhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak p. Dibangun barisan subinterval [a n, b n ] dan aproksimasi (p n ) yang konvergen ke p p : akar eksak y = f(x) a = a 1 b = b 1 a2a2 b2b2 a3a3 b3b3 a4a4 b4b4 p1p1 p2p2 1.Ambil p 1 : = (a 1 +b 1 )/2. Interval [ a 1, b 1 ] terbagi menjadi 2 subinterval yang sama panjang, yaitu [ a 1, p 1 ] dan [ p 1, b 1 ]. 2. Pertahankan subinterval yang masih memuat akar, dalam hal ini [ a 1, p 1 ]. Tetapkan a 2 :=a 1 dan b 2 := p 1. 3.Lakukan cara yang sama pada interval [ a 2, b 2 ] untuk memperoleh p 2.

Secara umum metoda belah dua ini adalah sbb:

x = a = p 0 x = b = p 1 y = f(x) p : akar eksak METODA SECANT p2p2 p3p3 (a,f(a)) (b,f(b)) Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. grs secant Tetapkan p 0 := a dan p 1 := b. Buat grs secant yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)). Ambil p 2 : titik potong grs secant ini dg sb x. Membangun barisan iterasi (p n ) yang akan konvergen ke akar eksak p Selanjutnya, langkah-langkah di atas diterapkan pada interval [p 2, b] untuk mendapatkan p 3. Secara umum diperoleh :

a = a 1 b = b 1 y = f(x) p2p2 p3p3 (a,f(a)) (b,f(b)) akar eksak p [p 0, p 2 ] [p 2, p 1 ] ILUSTRASI METODA REGULA FALSI (Kombinasi metoda biseksi dan secant) p4p4 1. Ambil a 1 :=a dan b 1 :=b, terapkan metoda secant pada [a 1, b 1 ] untuk memperoleh p 2. Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. Membangun barisan interval [a n, b n ] dan iterasi (p n+1 ) yang konvergen ke akar eksak p 2. Diperoleh 2 subinterval [p 0, p 2 ] dan [p 2, p 1 ]. Pertahankan subinterval yg masih memuat akar, dalam hal ini [p 2, p 1 ]. Ambil a 2 :=p 2 dan b 2 :=p 1. Terapkan metoda secant pada [a 2,b 2 ] untuk memperoleh p 3.

Secara umum diperoleh a n, b n dan p n+1 sbb:

x = b y = f(x) p : akar eksak ILUSTRASI METODA NEWTON p0p0 (a,f(a)) (b,f(b)) p1p1 x = a p2p2 grs singgung titik singgung grs singgung titik singgung (p 0, f(p 0 )) Diperhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak. Membangun brs iterasi (p n ) yang konvergen ke akar eksak p. 1. Ambil p 0 sebarang titik pada [a,b]. Buat garis singgung kurva di titik x = p Ambil p 1 : titik potong grs singgung ini dengan sb x. 3. Terapkan cara yg sama pada p 1 untuk memperoleh p 2. Secara umum, diperoleh brs (p n ) sbb: asalkan