Ruang N Euclides Ruang vektor umum Subruang RUANG-RUANG VEKTOR Ruang N Euclides Ruang vektor umum Subruang

RUANG-RUANG VEKTOR Rn adalah himpunan semua n tupel terurut dari bilangan real. Cth:

Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: Penjumlahan Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k) Perkalian Titik Panjang vektor didefinisikan oleh : Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :

Contoh : Diketahui dan Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : Jarak kedua vektor

Ruang Vektor Umum Misalkan V adalah himpunan tak kosong Ruang Vektor Umum Misalkan V adalah himpunan tak kosong. Di V terdapat operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. dan k, l  Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan Untuk setiap 2. 3. 4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga 6 5. Untuk setiap terdapat sehingga 6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap dan k  Riil maka 7. 8. 9. 10.

Contoh 1: V = R3 Apakah R3 dengan operasi standard membentuk ruang vektor? Bukti Ambil sebarang u, v  V 1) Maka u+v  V 2)

Contoh 2: Apakah M dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa pada matriks 2x2 membentuk ruang vektor? Bukti

Contoh lain ruang vektor: 1 Contoh lain ruang vektor: 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

SUBRUANG Misalkan W adl subset dari sebuah ruang vektor V W dinamakan subruang (subspace) V jika W dengan operasi yang sama dengan V juga membentuk ruang vektor. Atau W disebut subruang dari V jika memenuhi: 1. W  { } 2. W  V 3. Jika maka 4. Jika dan k  Riil maka

Contoh 1 : Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : 2. Jelas bahwa W  M 2x2 3. Ambil sembarang matriks A, B  W Tulis dan

4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil maka Perhatikan bahwa : Ini menunjukan bahwa 4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil maka Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

Contoh 2 : Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab :

Ambil sembarang matriks A, B  W Pilih a ≠ b : , jelas bahwa det (A) = 0 , jelas bahwa det (A) = 0 = Perhatikan bahwa : Karena a ≠ b Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0 Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan