SEBARAN DISKRIT Variabel Diskrit dan kontinue Variabel diskrit yang dimaksud adalah variabel yang diamati/diukur tidak dapat diwakili oleh seluruh titik dalam suatu interval, misalnya 1 ≤ x ≤ 3, maka variabel diskrit bagi x adalah 1, 2, 3 Diskrit : Jumlah kendaraan yang lewat (27 truk)

variabel kontinue adalah variabel yang dapat diwakili oleh seluruh titik dalam interval, misalnya jika x mengambil nilai 1 ≤ x ≤ 4, maka variabel kontinue bagi x adalah semua angka yang termasuk dalam interval tersebut mulai dari 1; 1,5; 2,5, ...4 Kontinue : Tinggi amir 165,5 cm

Sebaran Binomial Sebaran binomial mempunyai karakteristik : Percobaan memiliki jumlah ulangan (n) yang tetap (fixed number of trial) Setiap ulangan mempunyai 2 klasifikasi sebagai ’sukses’ dan ’gagal’ atau “lulus” dan “tidak lulus”, atau “baik” dan “tidak baik”, “puas” dan “tidak puas” Ulangan pada percobaan bersifat bebas (independent).

Tabel.1 Hasi percobaan binomial mata uang tiga kali Deskripsi klasik dalam menjelaskan sebaran binomial adalah pelemparan mata uang logam sebanyak tiga kali, dan dikatakan ‘sukses’ bila yang muncul sisi gambar (G), sebaliknya dikatakan ‘gagal’ bila muncul sisi angka (A). Banyaknya ‘sukses’ dapat dipandang sebagai peubah acak X yang mengambil nilai bilangan bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan kemungkinan hasil berikut nilai X nya adalah seperti pada Tabel berikut. Tabel.1 Hasi percobaan binomial mata uang tiga kali Hasil percobaan X p(x) GGG 3 1/8 GAA 1 GGA 2 AGG GAG AGA AAG AAA

Karena setiap sisi mempunyai peluang yang sama yatu ½ maka dapat juga diberi pengertian P(GAA) = P(G) x P(A) x P(A) = ½ . ½ . ½ = 1/8 dengan demikian sebaran peluang bagi X adalah seperti pada Tabel 2. Tabel 2. Sebaran Probabilitas Binom Hasi Percobaan Pelemparan Mata Uang Tiga Kali x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8

Sebaran pada Tabel 2 dapat disederhanakan dalam bentuk rumus, bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = (1 - p), maka sebaran peluang bagi peubah acak binom x dari n ulangan dapat dihitung dengan rumus

Contoh dan penyelesaian Tentukan peluang mendapatkan tepat empat bilangan 3 bila sebuah dadu dilempar 6 kali ! Peluang mendapatkan bilangan 3 adalah p = 1/6 dan peluang gagal q= 5/6 jumlah pelemparan n= 6 dan x = 4 maka

Contoh dan penyelesaian 1 Contoh dan penyelesaian 1. Bila sebuah dadu dilempar 120 kali, berapa rata-rata dan ragam untuk mendapatkan tepat angka 5 ? Pemecahan n = 120 dan p = 1/6 maka, Rata-rata (µ) = np = 120. 1/6 = 20 Ragam = σ2 = n p q = 120. 1/6. 5/6 = 17 Seorang peneliti mengamati perilaku konsumen di sebuah swalayan ternyata 230 orang dari 500 pengunjung kembali dengan membawa barang hasil pembelian. Berapa peluang 2 orang berbelanja di swalayan diantara 8 pengunjung dan berapa rata-rata pengunjung yang berbelanja? Pemecahan P( berbelanja) = 230/500 = 0,460 q = 1 – 0.460 = 0,540 b ( 2; 0,540; 8) = 8C2 (0.460)2 (0.540)6 = 28 (0.2116) (0.0248) = 0,147 Rata-rata (µ) = n.p = 8 (0.460) = 3,6

Nilai rata-rata (µ) dan ragam (σ2) dari sebaran binomial dapat dihitung menggunakan rumus Dimana n = jumlah ulangan p = sukses q = gagal μ = rata-rata σ2 = ragam

Sebaran Binomial Negatif Sebaran binom negatif adalah bila percobaan bebas dan berulang ulang dapat menghasilkan ‘sukses’ dengan peluang p dan menghasilkan ‘gagal’ dengan peluang q = 1- p, maka peluang bagi peubah acak x yaitu banyaknya ulangan sampai terjadinya ‘sukses’, dapat dihitung dengan

Contoh Berapa peluang seseorang melempar 3 uang logam akan mendapat semua sisi gambar atau sisi angka untuk yang kedua kalinya pada lemparan yang ke lima Pemecahan x = 5 k=2 p =1/4

Sebaran Multinomial Bentuk sebaran lain adalah sebaran multinomial, berbeda dengan sebaran binomial yang setiap ulangan hanya mempunyai dua kriteria : ’sukses’ dan ‘gagal’ maka sebaran multinomial setiap ulangan mempunyai lebih dari dua kemungkinan tersebut. Sebaran multinomial dapat dihitung menggunakan rumus

contoh Bila dua dadu dilempar 6 kali, berapa peluang “jumlah mata dadu” yang muncul “tujuh atau sebelas sebanyak 2 kali lemparan”, “dua mata dadu sama 1 kali lemparan”, dan “kemungkinan lain sebanyak 3 kali lemparan”. Pemecahan, n = 6 x1=2 x2=1 x3=3 p1=2/9 p2 =1/6 p3=11/18

Sebaran Geometrik Bila percobaan bebas dan berulang ulang dapat menghasilkan ‘sukses’ dengan peluang p dan menghasilkan ‘gagal’ dengan peluang q = 1- p, maka peluang bagi peubah acak x yaitu banyaknya ulangan sampai terjadinya ‘sukses’ yang pertama dapat dihitung dengan rumus

Contoh Hitunglah peluang seseorang yang melempar sekeping uang logam memerlukan 4 kali pelemparan sampai diperoleh sisi gambar. Pemecahan, x = 4 p =1/2 g(4, 1/2) = (1/2) (1/2)3 = 1/16

Sebaran Hypergeometrik Bila dalam suatu populasi (N benda), k bendanya diberi kreteria ‘sukses’ dan N – k bendanya diberi kriteria ‘gagal’, jika populasi tersebut dikelompokkan kedalam sebaran hipergeometrik, maka populasi tsb akan memiliki ciri-ciri : Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N k dari N benda diklasifikasikan sebagai ‘sukses’ dan N-k benda diklasifikasikan sebagai ‘gagal’. Peluang sebaran hipergeometrik yang menyatakan keberhasilan dari n contoh dapat dihitung menggunakan rumus

Rata-rata (µ) dan ragam(σ2) untuk sebaran hipergeometrik dapat dihitung dengan rumus

Contoh Bila 5 buah kartu yang diambil dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh kartu hati? Pemecahan, N = 56, n=5, x=3 dari k= 13 maka: H (3, 52, 5, 13) = 13C3 39C2 / 52C5 = 0,0815

Berdasarkan pada contoh 1 diatas tentukan nilai rata rata dan ragamnya?

Sebaran Poisson Sebaran Poisson biasanya digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu tertentu, luasan tertentu, interval waktu tertentu, satuan volum tertentu, satuan panjang tertentu, misalnya: Banyaknya kesalahan per halaman laporan triwulan Banyaknya penggunaan pulsa per menit Banyaknya jumlah mobil per hariyamg meleati jalan Sukarno-Hatta Banyaknya bakteri per tetes air

Sebaran Poisson dapat dihitung menggunakan rumus

Rata-rata (µ) dan ragam(σ2) untuk sebaran Poisson dapat dihitung dengan rumus

Contoh Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karena banjir selama musim hujan adalah 4 hari. Berapa peluang bahwa sekolah sekolah akan ditutup selama 6 hari dalam musim hujan. Pemecahan λ = 4 x = 6 P(x) = (λ6 e-4) : 6! = 0,1042 Berdasarkan pada contoh soal no 1, maka Rata-rata ((µ) = E(X) = 4 dan Ragam (σ2) = E (X- λ)2 = 4