Bab 8B Estimasi 2

Bab 8B Bab 8B Estimasi 2 A. Estimasi Interval Lanjutan 1. Pendahuluan Seperti pada estimasi satu rerata, kita dapat juga mengestimasi besaran lainnya Estimasi selanjutnya dilakukan pada selisih dua rerata koefisien korelasi linier selisih dua proporsi koefisien regresi linier

Bab 8B B. Estimasi Interval pada Selisih Dua rerata 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter selisih dua rerata dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B

Bab 8B Estimasi interval akan menghasilkan (    ) –  (    )   X   Y  (    ) +  (    ) Distribusi probabilitas pensampelan mencakup beberapa kasus Simpangan baku populasi diketahui Simpangan baku populasi tidak diketahui tetapi variansi sama Simpangan baku populasi tidak diketahui tetapi variansi tidak sama Perlu ada pengujian kesamaan variansi populasi

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 1 (Simpangan baku populasi diketahui) Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal dan independen. Simpangan baku populasi X dan Y adalah masing-masing 320 dan 375 Dari populasi X, sampel acak kecil sebesar 42 memberikan rerata sampel Dari populasi Y, sampel acak kecil sebesar 48 memberikan rerata sampel Pada interval keyakinan 0,95, estiamsi selisih rerata populasi X dan Y. Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95, estimasikan  X   Y Sampel n X = 42  = 1360 n Y = 48  = 1320

Bab 8B Distribusi probabilitas pensampelan DP populasi : normal Simpangan baku populasi :  X = 1360  Y = 1320 DP pensampelan : normal Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 Nilai kritis Untuk batas bawah z 0,975 = 1,960 Untuk batas atas z 0,025 =  1,960

Bab 8B Bentangan estimasi Batas bawah = (    )   (    ) = (    )  z (½  )   –  = (1360 – 1320) – (1,96)(73,27) =  103,60 Batas atas = (    ) +  (   ) = (    ) + z (½  )   –  = (1360 – 1320)  (  1,96)(73,27) = 183,60 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, selisih rerata  103,60 ≤  X   Y ≤ 183,60

Bab 8B Contoh 2 (Simpangan baku populasi tidak diketahui) Pada interval keyakinan 0,95 diestimasi selisih rerata populasi dari sesuatu di antara tahun 1970 (X) dan tahun 2004 (Y). Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kecil menunjukkan n X = 35, n Y = 40,  = 267,  = 255, s X = 27, dan s Y = 30 Estimasi ini memerlukan dua tahap. Tahap pertama menguji apakah variansi populasi sama atau tidak sama. Tahap kedua mengestimasi selisih dua rerata Tahap pertama uji homogenitas variansi Rumusan hipotesis

Bab 8B Sampel n X = 35 s x = 27 s 2 X = 729 n Y = 40 s Y = 30 s 2 Y = 900 Distribusi probabilitas pensampelan DP pensampelan : DP F Fisher-Snedecor Derajat kebebasan : X = 34 Y = 39 Statistik uji

Bab 8B Kriteria pengujian Uji pada dua ujung, nilai kritis Ujung bawah: F (0,025)(39)(34) = 0,52 Ujung atas: F (0,975)(39)(34) = 1,95 Tolak H 0 jika F 1,95 Terima H 0 jika 0,52 ≤ F ≤ 1,95 Keputusan Pada taraf signifikasi 0,05, terima H 0 yakni variansi populasi X dan Y adalah homogen atau variansi populasi X dan Y adalah sama

Tahap 2 mengestimasi selisih dua rerata Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95 estimasikan  X   Y Sampel n X = 35 X = 267 s X = 27 n Y = 40 Y = 255 s Y = 30 Distribusi probabilitas pensampelan DP populasi: DP t Student Variansi populasi : sama Sampel acak kecil

Bab 8B Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 Distribusi pensampelant Student Nilai kritis Untuk batas bawah t (0,975)(73) = 1,993 Untuk batas atas t (0,025)(73) =  1,993

Bab 8B Bentangan estimasi Batas bawah = (    )   (    ) = (    )  t (½  )( )   –  = (267 – 255) – (1,993)(6,597) =  1,15 Batas atas = (    ) +  (    ) = (    ) + t (½  )( )   –  = (267 – 255) + (1,993)(6,597) = 25,15 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, selisih rerata  1,15 ≤  X   Y ≤ 25,15

Bab 8B Contoh 3 (dikerjakan di kelas) Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak SATP berukuran kecil adalah X Y Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y (Tahap pertama uji hipotesis kesamaan variansi, tahap kedua estimasi selisih rerata populasi)

Bab 8B Contoh 4 Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak SATP berukuran kecil adalah X Y Pada interval keyakinan 0,98, estimasi selisih rerata populasi X dan Y

Bab 8B Contoh 5 Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak SATP berukuran kecil adalah X Y Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y

Bab 8B Contoh 6 Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak SATP berukuran kecil adalah X Y Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y

Bab 8B Contoh 7 Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak SATP berukuran kecil adalah X Y Pada interval keyakinan 0,98, estimasi selisih rerata populasi X dan Y

Bab 8B Contoh 8 Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal. Ukuran populasi N X = 50 dan N Y = 40. Sampel acak SATP adalah X Y Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y

Bab 8B Contoh 9 Populasi X dan Y independen dan berdistribusi probabilitas normal. Ukuran populasi N X = 50 dan N Y = 60. Sampel acak SATP adalah X Y Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih rerata populasi X dan Y

Bab 8B C. Estimasi Interval pada Selisih Dua Proporsi 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter selisih dua proporsi dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B

Bab 8B Estimasi interval akan menghasilkan (p X  p Y ) –  (Xp X  Y )   X   Y  (p X  p Y ) +  (p X  p Y ) Distribusi probabilitas pensampelan mencakup beberapa kasus Menggunakan proporsi sampel pada kekeliruan baku Menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku Pendekatan kekeliruan baku ke distribusi probabilitas normal untuk sampel lebih dari 20

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 10 (Menggunakan proporsi sampel untuk kekeliruan baku) Di antara sampel 600 pembeli mobil buatan dalam negeri (X), 483 merasa puas. Di antara sampel 450 pembeli mobil buatan luar negeri (Y), 352 merasa puas. Sampel cukup besar. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi perbedaan di antara dua proporsi itu. Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95, estimasi  X   Y Sampel n X = 600 p X = 483 / 600 = 0,805 n Y = 450 p Y = 352 / 450 = 0,782

Bab 8B Distribusi propobabilitas pensampelan DP pensampelan didekatkan ke DP normal Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 DP pensampelanDP normal Nilai kritis Untuk batas bawah z 0,975 = 1,96 Untuk batas atas z 0,025 =  1,96

Bab 8B Bentangan estimasi Batas bawah = (p X – p Y )   (p X – p Y ) = (p X – p Y )  z ½   pX-pY = (0,805 – 0,782)  (1,96)(0,025) =  0,026 Batas atas = (p X – p Y )   (p X – p Y ) = (p X – p Y ) + z ½   pX-pY = (0,805 – 0,782)  (  1,96)(0,025) = 0,072 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, selisih proporsi  0,026 ≤  X   Y ≤ 0,072

Bab 8B Contoh 11 (Menggunakan variansi maksimum untuk kekeliruan baku) Di antara sampel 600 pembeli mobil buatan dalam negeri (X), 483 merasa puas. Di antara sampel 450 pembeli mobil buatan luar negeri (Y), 352 merasa puas. Sampel cukup besar. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi perbedaan di antara dua proporsi itu. Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95, estimasi  X   Y Sampel n X = 600 p X = 483 / 600 = 0,805 n Y = 450 p Y = 352 / 450 = 0,782

Bab 8B Distribusi propobabilitas pensampelan DP pensampelan didekatkan ke DP normal Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 DP pensampelanDP normal Nilai kritis Untuk batas bawah z 0,975 = 1,96 Untuk batas atas z 0,025 =  1,96

Bab 8B Bentangan estimasi Batas bawah = (p X – p Y )   (p X – p Y ) = (p X – p Y )  z ½   pX-pY = (0,805 – 0,782)  (1,96)(0,031) =  0,038 Batas atas = (p X – p Y )   (p X – p Y ) = (p X – p Y ) + z ½   pX-pY = (0,805 – 0,782)  (  1,96)(0,031) = 0,084 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, selisih proporsi  0,038 ≤  X   Y ≤ 0,084

Bab 8B Contoh 12 (dikerjakan di kelas) Dari populasi X berukuran N X = 500 ditarik sampel acak berukuran n X = 50 dan menemukan proporsi sebesar p X = 0,70. Dari populasi Y berukuran N Y = 700 ditarik sampel acak berukuran n Y =70 dan menemukan proporsi p Y = 0,40. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih proporsi dua populasi itu dengan menggunakan proporsi sampel Contoh 13 (dikerjakan di kelas) Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih proporsi dua populasi pada contoh 12 dengan menggunakan variansi maksimum

Bab 8B Contoh 14 Dari sampel 250 wanita (X), 145 memperoleh beasiswa. Dari sampel 320 pria (Y), 150 memperoleh beasiswa. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih dua proporsi itu (menggunakan proporsi sampel untuk kekeliruan baku) Contoh 15 Di wilayah X, sampel 600 siswa menunjukkan 90 siswa putus sekolah. Di wilayah Y, sampel 400 siswa menunjukkan 48 siswa putus sekolah. Sampel cukup besar. Pada interval keyakinan 0,98, estimasi selisih proporsi siswa putus sekolah

Bab 8B D. Estimasi Interval pada Satu Koefisien Korelasi Linier 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu koefisien korelasi linier dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B

Bab 8B Estimasi interval akan menghasilkan r XY –  r XY   XY  r XY +  r XY Menggunakan transformasi Fisher agar distribusi probabilitas pensampelan berdistribusi probabilitas normal Estimasi dilakukan pada distribusi probabilitas normal Menggunakan kebalikan dari transformasi Fisher untuk mengembalikan estimasi ke distribusi probabilitas semula

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 16 Sampel hasil ujian matematika dan fisika pada 30 siswa menunjukkan r XY = 0,70. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien korelasi linier  XY Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95 estimasi  XY Sampel n = 30 r XY = 0,70 Transformasi Fisher Z rXY = tanh -1 0,70 = 0,867

Bab 8B Distribusi probabilitas pensampelan Pada transformasi Fisher, DP pensampelan menjadi DP normal Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 DP normal sehingga nilai kritis Untuk batas bawah z 0,975 = 1,96 Untuk batas atas z 0,025 =  1,96

Bab 8B Bentangan estimasi Batas bawah = Z rXY   Z rXY = Z rXY  z ½   Z = 0,867 – (1,96)(0,1925) = 0,490 Kebalikan transformasi Fisher = tanh 0,490 = 0,45 Batas atas = Z rXY +  Z rXY = Z rXY + z ½   Z = 0,867  (  1,96)(0,1925) = 1,244 Kebalikan transformasi Fisher = tanh 1,244 = 0,85 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, koefisien korelasi linier 0,45 ≤  XY ≤ 0,85

Bab 8B Contoh 17 (dikerjakan di kelas) Sampel X dan Y berukuran 40 menghasilkan koefisien korelasi linier sampel r XY = 0,20. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien korelasi linier  XY

Bab 8B Contoh 18 Pada koefisien korelasi linier populasi = 0, dari dua populasi X dan Y yang beregresi linier ditarik pasangan sampel acak X Y 2,40 3,12 3,05 3,19 3,74 Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien korelasi  XY

Bab 8B Contoh 19 Pada koefisien korelasi linier populasi = 0, dari dua populasi X dan Y yang beregresi linier ditarik pasangan sampel acak (a) X Y (b) X Y (c) X Y (d) X Y Pada interval keyakinan 0,98, estimasi koefisien korelasi linier  XY

Bab 8B E. Estimasi Interval pada Satu Koefisien Regresi Linier 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu koefisien regresi linier dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B

Bab 8B Estimasi interval akan menghasilkan b –  b  B  b +  b Pada dasarnya ada dua koefisien regresi yakni a dan b Koefisien regresi a hanya menunjukkan perpotongan dengan sumbu Y sehingga tidak banyak dipersoalkan Koefisien regresi b menunjukkan koefisien arah sehingga masih dipersoalkan Koefisien regresi b berhubungan dengan koefisien korelasi  XY sehingga ada kemiripan di dalam estimasi

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 20 Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien regresi linier B, apabila dari sampel berukuran 9 ditemukan b = 2,9303, s X = 1,2796, s Y = 2,7834, dan r XY = 0,9911 Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95, estimasi B Sampel n = 9 b = 2,9303 s X = 1,2796, s Y = 2,7834 r XY = 0,9911

Bab 8B Distribusi probabilitas pensampelan DP pensampelan : DP t Student Kekelriuan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 DP t Student Untuk batas bawah t (0,975)(7) = 2,365 Untuk batas atas t (0,025)(7) =  2,365

Bab 8B Bentangan estimasi Batas bawah = b   b = b  t (½  )( )  b = 2,9303 – (2,365)(0,1487) = 2,5786 Batas atas = b +  b = b + t (½  )( )  b = 2,9303  (  2,365)(0,1487) = 3,2820 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, koefisien regresi linier 2,5786 ≤ B ≤ 3,2820

Bab 8B Contoh 21 (dikerjakan di kelas) Sampel acak dari regresi linier adalah X Y Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien regresi linier B

Bab 8B Contoh 22 Sampel acak dari regresi linier adalah (a) X (b) X Y Y (c) X Y Pada interval keyakinan 0,98, estimasi koefisien regresi linier B

Bab 8B Contoh 23 Sampel acak dari regresi linier adalah X Y