Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -III”

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui www.darpublic.com

Aritmatika Interval

Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval. Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval. Cakupan Bahasan Pengertian-Pengertian Interval Operasi-Operasi Aritmatika Interval Sifat-Sifat Aritmatika Interval

1. Pengertian-Pengertian Interval Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *) Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan Contoh: Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup). *) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”

menunjukkan kumpulan yang kita tinjau Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai menunjukkan kumpulan yang kita tinjau menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S atau tidak menunjukkan sembarang elemen dari S

R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata Contoh R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata

Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara  dan +  kita tuliskan Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval. Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval. Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-batas intervalnya.

Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskan kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval. Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut ( x ) interval X batas bawah batas atas

Suatu interval mengalami degenerasi jika dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate. Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi) suatu bilangan nyata.

Lebar Interval Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata Contoh: ( ) x w(X)

Titik Tengah Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah Contoh:  titik tengah Radius Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval Contoh:  radius interval X adalah w(X)/2 = (104)/2 = 3.

Dalam contoh ini juga w(X) < w(Y) Kesamaan Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama. Jika dan maka jika dan hanya jika Urutan Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, Contoh X = {6, 10} dan Y = {13, 18}  X < Y. Dalam contoh ini juga w(X) < w(Y) ( x ) X Y

Nilai Absolut Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya Contoh X = {8, 4}

Jarak Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya Contoh X = {2,6}, Y = {8,18} Di sini ( ) x X Y

Simetri Suatu interval X disebut simetris jika Contoh: X = {5, 5} ( x ) X Interval simetris mengandung elemen bernilai 0. Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0. Ia bukan degenerate interval.

Irisan antara interval X dan interval Y adalah Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval. Irisan antara interval X dan interval Y adalah Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} ( x ) X Y Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.

Gabungan antara interval X dan Y adalah Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] ( x ) X Y Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval. Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.

Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika Inklusi Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika atau jika dan hanya jika Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16}  ( x ) X Y b). X ={5, 2} dan Y = {7, 7} ( x ) X Y

2. Operasi-Operasi Aritmatika Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu: Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif. Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif. Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol. Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.

Penjumlahan Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas atas Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.

X dan Y adalah dua interval yang terpisah. Jika dan , maka Jumlah interval juga merupakan interval. ( x ) X Y X+Y tidak merupakan sebuah interval karena X < Y. X dan Y adalah dua interval yang terpisah. Penjumlahan berbeda dengan penggabungan. Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.

 X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20] Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14} Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan. Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan biasa. Perbedaan penjumlahan dan gabungan Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] ( x ) X Y z

Negatif Suatu Interval Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai yang dapat kita tuliskan ( x ) X  x  X Batas atas X adalah Batas bawah X adalah x

Contoh: a). X = [2, 6]  X = [6, 2] ( x ) X  x  X b). X = [2, 6]  X = [6, 2] ( x ) X  x  X

 X  Y = [2, 6]  [7, 12] = [2 12, 6  7] = [10, 1] Pengurangan Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan negatif interval Y Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]  X  Y = [2, 6]  [7, 12] = [2 12, 6  7] = [10, 1] ( x ) X Y XY Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X  Y merupakan interval negatif.

Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai Perkalian Interval Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai yang dapat dituliskan Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah maupaun batas atas dari interval hasil kali. Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada sumbu bilangan nyata

Pada interval X selalu dipenuhi relasi maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisi jika maka Demikian juga pada interval Y jika maka

Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu: interval positif kali interval positif interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya interval negatif kali interval positif dan sebaliknya interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya interval negatif kali interval negatif perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol

X Y X Y X Y X Y Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah: ( ) x ( ) x X Y 1). 2). ( ) x X Y 3). ( ) x X Y 4). ( ) x X Y

5). ( ) x X Y 6). ( ) Y X 7). ( ) Y X ( ) Y X 8). 9). ( ) Y X

X Y Contoh dan Penjelasan ( ) x 1). Formula umum: ( ) x X Y 1). Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah. Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil bilangan positif.

X Y Contoh dan Penjelasan 2). ( ) x Formula umum: ( ) x X Y Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif). Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.

X Y Contoh dan Penjelasan 3). ( ) x Formula umum: ( ) x X Y Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif. Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

X Y Contoh dan Penjelasan 4). ( ) x Formula umum: ( ) x X Y Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol. Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah. Contoh dan Penjelasan 5). ( ) x X Y Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.

Y X Contoh dan Penjelasan 6). ( ) Formula umum: ( ) Y X Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif. Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

Y X Contoh dan Penjelasan 7). ( ) Formula umum: ( ) Y X Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif). Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.

Contoh dan Penjelasan ( ) Y X 8). Formula umum: ( ) Y X 8). Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol. Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum Contoh dan Penjelasan 9). ( ) Y X Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum Akan bernilai negatif sehingga tak mungkin menjadi batas maksimum Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi batas minimum

Kebalikan Interval Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka Contoh: X = [2, 10]  1/X = [0.1, 0.5] Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain. Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.

Pembagian Interval  X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5] Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X dengan kebalikan Y. Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10]  X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]

3. Sifat-Sifat Aritmatika Interval Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan biasa yang sudah kita kenal. Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika interval. Ternyata memang demikian. Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.

Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.

Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi: yang dituliskan sebagai 0 dan 1 Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1 Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval: X  X  0 dan X / X  1 jika w(X) > 0

Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah: X (Y + Z) = XY + XZ Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut: Jika Y dan Z adalah interval simetris; Jika YZ > 0 Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku: [0, 1] (1-1) = 0 tetapi [0, 1]  [0, 1] = [1, 1]

Pilihan Topik Matematika III Kuliah Terbuka Pilihan Topik Matematika III Sesi 5 Sudaryatno Sudirham