TEORI HIMPUNAN LANJUT ALJABAR HIMPUNAN PRINSIP DUALITAS HIMPUNAN TERINDEKS PARTISI RELASI EKIVALEN DAN PARTISI

ALJABAR HIMPUNAN Hukum-hukum Idem : 1a) A  A = A 1b) A A = A Hukum-hukum Asosiatif : 2a) (A  B)  C= A  (B  C) 2b) (A  B)  C= A  (B  C)

Hukum-hukum Komutatif : 3a) A  B = B  A 3b) A  B= B  A Hukum-hukum Distributif : 4a) A  (B  C) = (A  B) (A C) 4b) A  (B  C) = (A  B) (A  C) Hukum-hukum Identitas : 5a) A   = A 5b) A  U =A 6a) A  U = U 6b) A   = 

Hukum-hukum Komplemen : 7a) A  A’ = U 7b) A A’ =  8a) (A’)’ = A 8b) U’ =  ’ = U Hukum-hukum Morgan : 9a) (A  B)’ = A’ B’ 9b) (A  B)’ = A’  B’

PRINSIP DUALITAS Bila kita menukar operasi  dengan  dan  dengan U pada suatu pernyataan mengenai himpunan, maka pernyataan yang baru disebut dualitas dari pernyataan yang lama Dualitas dari (U B) (A  )=A adalah (  B) (A  U)=A

HIMPUNAN TERINDEKS Misalkan A1 = {1,10}, A2 = {2,4,6,10}, A3 = {3, 6, 9}, A4 = {4, 8}, A5 = {5, 6, 10} dan I = {1,2,3,4,5} Perhatikan bahwa untuk setiap i I terdapat hubungan dengan sebuah himpunan Ai, dalam sitasi seperti ini himpunan I disebut himpunan terindeks dan subscript i pada Ai disebut sebagai indeks

Didefinisikan himpunan- himpunan Dn ={x|xadalah perkalian dari n} dengan n N, N = bilangan asli D1 = {1, 2, 3, 4 …..} D2 = {2, 4, 6, 8 …..} D3 = {3, 6, 9, 12 …} N = himpunan terindeks

PARTISI Misalkan A = {1, 2, 3, …..9, 10 }dan himpunan-himpunan bagiannya : R1 = {1, 3}, R2 = {7, 8, 10}, R3 = = {2,5,6} R4 ={4,9} Keluarga himpunan ={R1, R2, R3, R4} mempunyai dua sifat penting : Gabungan dari semua himpunan dari  adalah A A=R1R2  R3 R4 Untuk setiap himpunan Ri dan Rj, maka : Ri = Rj atau RiRj=  Keluarga himpunan  disebut partisi dari A

RELASI EKIVALEN DAN PARTISI Reflektif,Simetris dan Transitif Teorema Dasar relasi ekivalen : Misalkan R = relasi ekivalen dalam sebuah himpunan A Untuk setiap A, misalkan terdapat B = {x | (x,)R}, maka : Keluarga himpunan : {B}A adalah partisi dari A

Misalkan R5 adalah relasi dalam Z (bilangan asli) yang didefinisikan sebagai : x = y (mod 5) yang berarti x – y dapat dibagi 5 Terdapat 5 relasi ekivalen : Eo = {…….-10, -5, 0, 5, 10, ……} E1 = {…….-9, -4, 1, 6, 11, ……} E2 = {…….-8, -3, 2, 7, 12, ……} E3 = {…….-7, -2, 3, 8, 13, ……} E4 = {…….-6, -1, 4, 9, 14, ……} Z/R5 = {Eo, E1,E2, E3, E4} partisi dari Z disebut juga Kelas ekivalen (equivalence class)