PERTEMUAN V Kasus Khusus Aplikasi Metode Simpleks

Kasus Khusus Metode Simpleks 1.Degenerasi 2.Optimum Alternatif 3.Solusi Unbounded 4.Solusi Infeasible

Tujuan Menjelaskan alasan timbulnya beberapa kasus khusus spt degenerasi, Optimum Alternatif, Solusi Unbounded, Solusi Infeasible.

Degenerasi Terjadi apabila satu atau lebih var. basis berharga 0 pada suatu iterasi  iterasi berikutnya bisa jadi satu loop yg kembali pada bentuk sebelumnya (cyclic atau circling). Degenerasi ada 2 macam : Degenerasi Tetap Degenerasi Temporer

Contoh Degenerasi Tetap Max z = 3x 1 + 9x 2 Batasan x 1 + 4x 2 ≤ 8 x 1 + 2x 2 ≤ 4 x 1, x 2 ≥ 0

Contoh Degenerasi (cont’d) Konversi ke Bentuk Standar Max z = 3x 1 + 9x s s 2 Batasan x 1 + 4x 2 + s 1 = 8 x 1 + 2x 2 + s 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2 ≥ 0

Tabel Simpleks ItrBVx1x1 x2x2 s1s1 s2s2 Solusi 0 z s1s s2s z -3/409/4018 x2x2 1/41 02 s2s2 1/20-1/210 2 z 003/2 18 x2x2 01-1/2 2 x1x

Interpretasi Hasil Dari tabel dpt dilihat iterasi 1 dan 2 menghasilkan hasil yg sama yaitu z = 18 (prosedur simpleks berulang u/ iterasi yang sama). Mengapa tidak berhenti melakukan perhitungan saat iterasi simpleks menghasilkan solusi yg degenerate (salah satu VB bernilai 0)? Karena: tidak semua persoalan menghasilkan solusi degenerate yang tetap. Artinya ada persoalan pada suatu saat degenerate, tetapi pada iterasi berikutnya degenerasi hilang (degenerasi temporer)

Contoh Degenerasi Temporer Max z = 3x 1 + 2x 2 Batasan 4x 1 + 3x 2 ≤ 12 4x 1 + x 2 ≤ 8 4x 1 - x 2 ≤ 8 x 1, x 2 ≥ 0

Tabel Iterasi Deg. Temp ItrBVx1x1 x2x2 s1s1 s2s2 s3s3 Solusi 0 z s1s s2s s3s z 0-5/403/406 s1s x1x1 11/40 02 s3s

Tabel Iterasi Deg. Temp (cont’d) ItrBVx1x1 x2x2 s1s1 s2s2 s2s2 Solusi 2 z 005/81/8017/2 x2x2 011/2-1/202 x1x1 10-1/83/803/2 s3s Degenerasi muncul pada iterasi 1, menghilang pada iterasi 2, z berubah dari 6  17/2. Degenerasi menghilang karena x2 yang menjadi EV pada itr 1 memilki koef. Pembatas negatif (-2), shg S 3 tidak bisa menjadi LV. (refer to slide 10 blue)

Optimum Alternatif Kasus ini terjadi jika fungsi tujuan paralel dengan fungsi pembatas, sedikitnya ada satu NBV (pada persamaan z iterasi terakhir) memiliki koefisien berinilai 0. Akibatnya, walaupun Var tsb  BV, harga z tidak berubah. Solusi-solusi optimum yg lain bisa diidentifikasi dgn menunjukkan iterasi tambahan pada metode simpleksnya, NBV tsb dipilih sebagai EV.

Contoh: Max z = 2x 1 + 4x 2 Batasan x 1 + 2x 2 ≤ 5 x 1 + x 2 ≤ 4 x 1,x 2 ≥ 0 Fungsi Tujuan paralel dengan persamaan pembatas yang pertama.

Tabel Iterasi Optimum Alternatif ItrBVx1x1 x2x2 s1s1 s2s2 Solusi 0 z s1s s2s Opt z x2x2 1/21 05/2 s2s2 1/20-1/213/2 2 Opt Alt z x2x x1x

Analisa Hasil Dalam iterasi 1 didapat solusi optimum dgn x 1 = 0, x 2 = 5/2, z = 10. Dengan melihat koefisien NBV pada pers. z yaitu x 1 = 0, x1 dipilih sbg EV, tanpa mengubah nilai z. Dalam iterasi 2, dgn s 2 sbg LV digantikan oleh EV x 1 didapat solusi baru x 1 = 3, x 2 = 1, z = 10.

Solusi Unbounded Terjadi jika ruang solusi tidak terbatas  nilai Fungsi tujuan dapat meningkat (max) atau menurun (min) secara tdk terbatas. Langkah pendeteksian: Perhatikan koefisien pembatas NBV pada suatu iterasi. Jika semua koefisien tsb berharga (-) atau (0)  solusi tidak terbatas.

Contoh Solusi Unbounded Max z = 2x 1 + x 2 Batasan x 1 - x 2 ≤ 10 2x 1 ≤ 40 x 1,x 2 ≥ 0

Iterasi Awal BVx1x1 x2x2 s1s1 s2s2 Solusi z s1s s2s Interpretasi: Dari tabel Atas dapat dilihat bahwa x1 dipilih sebagai EV. Karena Koef batasan pada kolom x2 (-) dan 0, x2 dapat bertambah harganya secara tidak terbatas. Selanjutnya cek LP tersebut dengan metode Grafik BVx1x1 X2X2 s1s1 s2s2 Solusi z X1X s2s

Interpretasi (cont’d): Setiap penambahan unit x 2 akan menambah nilai z sebesar 1, maka penambahan yg tidak terbatas pada x 2 akan mengakibatkan peningkatan z secara tidak terbatas pula.

Solusi Infeasible Jika semua batasan tidak dapat dipenuhi secara simultan  model tidak memiliki solusi yg layak.

Contoh Solusi Infeasible Max z = 3x 1 + 2x 2 Batasan 2x 1 + x 2 ≤ 2 3x 1 + 4x 2 ≥ 12 x 1,x 2 ≥ 0

Contoh Solusi Infeasible (cont’d) Konversi ke bentuk standard Max z = 3x 1 + 2x S1 - 0.s2 – MR 2 Batasan 2x 1 + x 2 + s 1 = 2  s 1 = 2-2x 1 -x 2 3x 1 + 4x 2 - s 2 + R 2 = 12  R 2 = 12-3x 1 - 4x 2 +s 2

Konversi ke Bentuk Standard (Cont’d) Substitusikan nilai R2 didapat F. tujuan: z = 3x 1 + 2x 2 – M(12-3x 1 - 4x 2 + s 2 ) z = (3+3M)x 1 + (2+4M)x 2 – 12M – s 2 M

Tabel Solusi Infeasible ItrBVx1x1 x2x2 s1s1 s2s2 R2R2 Solusi 0 z -3-3M-2-4M0M0-12M s1s R2R z 1+5M02+4MM04-4M x2x R2R

Analisa Hasil Dari tabel dpt dilihat solusi Z masih mengandung M dan R 2 = 4  solusi infeasible