Vektor dan Skalar Vektor adalah Besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh : Kecepatan, momentum, berat, percepatan, gaya dan lain-lain Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tapi tanpa arah. Volume, massa, panjang, waktu dan lain-lain

Penyajian Vektor B A V = AB Ekor panah disebut ttk pangkal Arah panah menentukan arah vektor Panjang panah menentukan Ujung panah disebut ttk ujung Maka vektor v = V = AB B A

Aljabar Vektor w v z 1. Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v = w = z w v z

2. Vektor negatif Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan

w v v w w v 3. Vektor Nol 4. Penjumlahan Vektor + Vektor yang panjangnya nol Dinyatakan dengan O 4. Penjumlahan Vektor w v v w + w v

5. Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0 v 2v

Hukum Aljabar Vektor Jika a, b dan c adalah vektor-vektor serta m dan n adalah skalar, maka : 1. a + b = b + a ; Hukum Komutatif untuk penjumlahan 2. a + (b+c) = (a+b)+c ; Hukum Assosiatif untuk penjumlahan 3. ma = am ; Hukum Komutatif untuk perkalian 4. m(na) = (mn)a ; Hukum Asosiatif untuk 5. (m+n) a = ma + na ; Hukum Distributif 6. m (a + b) = ma + mb ; Hukum Distributif

Komponen-Komponen Vektor Vektor dalam bidang OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY) Jika i sebagai vektor satuan dalam arah ox j sebagai vektor satuan dalam arah OY maka : a = ai dan b = bj Dengan demikian vektor OP = dapat ditulis sebagai : R = ai + bj y p r Ѳ x o

2. Vektor dalam ruang Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY, OZ dapat dilihat pada gambar berikut: z p r c y o a b x Misal : OP = ai + bj + ck, maka : |r | = panjang vektor OP =OP =  a² + b² + c²

HASIL KALI TITIK DAN SILANG Hasil kali titik (skalar) dua vektor A dan B didefinisikan : A  B = A B cos  dengan : A dan B masing-masing panjang vektor A dan B  adalah sudut antara vektor A dan B ( 0     )

Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian skalar 1. A  B = B  A 2. A  (B+C) = A  B + A  C 3. m (A  B) = (mA)  B = A  (mB) , m adalah skalar 4. i  i = j  j = k  k = 1 , i  j = j  k = k  i = 0 5. Jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k maka A  B = a1 b1 +a2 b2 + a3 b3 6. Jika A  B = 0 dan A , B bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus.

2. Hasil Kali Silang Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah vektor C yang arahnya tegak lurus vektor A dan B dengan mengikuti kaidah tangan kanan yang didefinisikan sebagai berikut : A x B = AB sin   u dengan : -  adalah sudut antara A dan B ( 0     ) - u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari C

Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian silang (vektor) : 1. A x B = - B x A 2. A x (B+C) = A x B + A x C 3. m (A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B)m, m adalah skalar 4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j 5. jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k , maka : = (a2b3 - b2a3) i - (a1b3 - b1a3) j + (a1b2 - b1a2) k 6. Besarnya A x B = luas jajaran genjang dengan sisinya vektor A dan B 7. Jika A x B = 0 dan A = B  0 maka A dan B sejajar.

Contoh Diketahui Vektor A = 2i – 3j + k B = – i + 4j + 5k Maka : 1. A + B = (2 – 1) i + (–3 + 4) j + (1 + 5) k = i + j + 6k 2. A – B = (2 + 1) i + (–3 – 4) j + (1 – 5) k = 3i – 7j – 4k 3. A . B = (2)(-1)i + (-3)(4)j + (1)(5)k = -2i – 12j + 5k

4. = { (-3)(5) – (1)(4) }i – { (2)(5) – (1)(-1) }j + { (2)(4) – (-1)(-3) }k = (-15 – 4)i – (10 + 1)j + (8 – 3)k = -19i – 11j + 5k

Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan:

BIDANG RATA DAN GARIS LURUS

Terlihat pada gambar bahwa : OX = OP + PX ......(1) dimana Merupakan persamaan vektoris bidang rata yang melalui satu titik P( x1 , y1, z1 ) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [ x a ,y a, z a] dan b = [xb ,y b, z b] .

Persamaan (1) dapat ditulis menjadi 3 persamaan : ……….(2) yang disebut persamaan parameter bidang rata. Dengan mengeliminasi λ dan μ pada persamaan diatas diperoleh : V = Ax + By + Cz + D = 0 ………. (3) yang disebut persamaan linier bidang rata yang mempunyai vektor normal bidang ( vektor yang tegak lurus bidang rata ) : [ A, B, C ]

= a x b dimana : Dari persamaan (3) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik ( x1 , y 1, z 1 ) dengan vektor normalnya ( A , B , C ) berbentuk: A ( x — x1) + B ( y — y 1) + C ( z — z 1) = 0

Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. 1. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga D = 0. 2. Apabila D ≠ 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi Ax/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dan sebut berturut-turut A/ -D = 1/p, B/ -D=1/ q, C/-D =1/ r, didapat persamaan : x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di (p, 0, 0 ) sumbu Y di ( 0, q ,0 ) sumbu Z di ( 0, 0, r ). 3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y, dan bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z 4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ

Contoh : 1. Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dgn mencari vektor normal sebagai hasil cross product ( 1, 2, 3 ) x ( 0, 2, 5) = ( 4, —5, 2 ) 4x – 5y + 2z – 13 = 0

2. Bidang 2x + 3y + 4z = 12 dapat ditulis menjadi : akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0) & (0,0,3).

Catatan : 1. Jika n = a x b . di mana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, maka persamaan bidang rata dapat ditulis dalam bentuk : 2. Jika vektor a bertitik awal di p (x1, y1, z1) dan titik ujungnya q (x2, y2, z2), serta b titik awalnya p (x1, y1, z1) dan titik ujungnya r (x3, y3, z3), maka persamaan bidang rata dapat ditulis dalam bentuk :

4. Jadi empat buah titik ( x1, y1, z1 ), ( x2, y2, z2 ), ( x3, y3, z3 ), dan ( x4, y4, z4 ) akan sebidang jika dan hanya jika : Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang yang melalui ketiga titik ( 2, -1, 1 ), ( 3, 2, 1 ), dan ( -1, 3, 2 ) 2. Apakah empat titik berikut sebidang, jika sebidang , tentukan persamaan liniernya : ( 2, 1, 3 ), ( 4, 2, 1 ), ( -1, -2, 4 ) dan ( 0, 0, 5 )

Sudut antara dua bidang rata Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara bidang : maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal , yaitu :

Contoh : Jawab :

Kedudukan 2 buah bidang rata 1. Kedudukan sejajar : Bila V1 dan V2 sejajar maka n1 dan n2 sama (atau berkelipatan), berarti [A1, B1, C1] = λ [A2, B2, C2] adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar (λ sebarang ≠ 0 ) 2. Kedudukan tegak lurus : Bila V1 tegak lurus V2, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,

Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang sejajar dengan bidang rata V1 = x + y + 5z = 9 dan bidang rata V2 melalui titik (0,2,1) ! Jawab :

Contoh : 2. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak lurus pada bidang rata V1 = x + y + z = 1 serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) ! Jawab :

Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar. Jarak dari titik ( x1, y1, z1 ) ke bidang V : Ax + By + Cz + D = 0 adalah : Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V2, kita ambil sembarang titik pada V2, lalu menghitung jarak titik tsb V1

Contoh : 1. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2x + 6y – 3z = 13 . Jawab : 2. Diketahui V1 = x + y + z – 2 = 0 dan V2 = x + y + z – 5 = 0. jika R pada V2, hitunglah jarak tersebut ke V1 . jawab :

Berkas bidang

Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik( 0,0,0) serta melalui garis potong bidang-bidang : V1 = 2x + 3y +24 = 0 dan V2 = x – y + 2z = 12 Jawab : V dapat dimisalkan berbentuk : ------ (*) Karena V melalui ( 0,0,0 ) terpenuhi : Yang kita subtitusikan ke (*) diperoleh : V = 4x + y + 4z = 0

Jaringan bidang Pandang bidang rata V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 yang tidak melalui satu garis lurus yg sama (bukan dalam satu berkas ). Bentuk : menyatakan kumpulan bidang- bidang yang melalui titik potong ketiga bidang V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 itu ( dalam gambar melalui titik T ). Dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang.

Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U : x + y + z =1 serta melalui titik potong bidang : Jawab : ……(*) Karena sejajar dengan U, maka ( 1, 1, 1 ) adalah normal dari V atau ( 1, , μ ) kelipatan dari ( 1, 1, 1 ) Jadi subtitusikan ke (*) menghasilkan persamaan yang diminta, yaitu : V = x + y + z – 7 = 0

Persamaan Garis lurus Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis tersebut. Mis, titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 ), maka OP=[x1, y1, z1], OR =[x2, y2, z2 ] dan PR=[ x2-x1, y2-y1, z2-z1 ] Untuk sembarang titik Q(x,y,z) pada garis g berlaku PQ= PR Jelas bahwa : OQ = OP + PQ ……(*) Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 )

Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan mempunyai vektor arah a = [a,b,c], maka persamaannya adalah : ……….(**) Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu : x = x1 +  a y = y1 +  b ………(***) z = z1 +  c yang disebut persamaan parameter garis lurus. Kemudian bila a  0, b  0, c  0,  kita eliminasikan dari persamaan (***), diperoleh :    = = = yang disebut persamaan linier garis lurus

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus melalui (3, 2 ,-2) dan (4, -2,-1) Jawab : yang merupakan persamaan liniernya.

Hal Khusus dari Garis Lurus Dengan Vektor Arah [a,b,c] 1. 2. Bila a = 0 vektor [0, b, c] terletak pada bidang rata yang sejajar bidang yoz Bila b = 0 , garis lurus sejajar bidang xoz Bila c = 0 , garis lurus sejajar bidang xoy Dalam hal ini, bila salah satu bilangan arah (mis a = 0) maka, persamaan garis lurusnya menjadi : [x, y, z]= [ x1, y1, z1 ] +  [0, b, c] Sedangkan persamaan liniernya :

3. Bila a = 0, b = 0, vektor [ 0,0, c] sejajar dengan arah sumbu Z Bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu Y Bila b = c = 0, garis lurus sejajar sumbu X Contoh : 1. 2. Garis lurus [x,y,z] = [2,3,-2] + λ[0,4,2] bersifat sejajar sumbu Y ( a=c=0) dan dapat dtulis sebagai : x = 2 , z = - 2 ( dimana berlaku untuk setiap y )

Garis lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata Garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata. V 1 = A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan V 2 = A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 , maka persamaan garis lurus g dapat ditulis :

Untuk mencari persamaan linier garis lurus tsb sbb : 1. Menentukan vektor arah dari garis lurus : [ a, b, c ] Jelas [a, b, c] = n1 x n2 2. Menentukan sembarang titik (x1, y1, z1) pada garis lurus, biasanya diambil titik potong dengan bidang koordinat, mis. bidang xoy z = 0 sehingga diperoleh : A1x + By1 + D1 = 0 A2x + By2 + D2 = 0

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus akibat perpotongan dua buah bidang : V1 : x - 2y + z = 1 V2 : 3x - y + 5z = 8 Jawab : n1 = [ 1, -2, 1 ] dan n2 = [ 3, -1, 5 ] vektor arah garis : [ 1, -2, 1 ] x [ 3, -1, 5 ] = [ -9, -2, 5 ] titik potong bidang dengan bidang xoy : z = 0 x – 2y = 1 x = 3 3x – y = 8 y = 1 Jadi persamaan liniernya : [x, y, z]= [ 3, 1, 0 ] +  [ -9, -2, 5 ]

Kedudukan dua garis Lurus Didalam ruang berdimensi tiga, 2 garis lurus mungkin sejajar, berimpit, berpotongan, atau bersilangan. Diketahui garis lurus 1. g1 sejajar g2 bila arah mereka berkelipatan. Jadi bila , μ ≠ 0 atau bila Jika berlaku , maka : g1 dan g2 berimpit. contoh :

2. Kalau arah g1 yaitu [ a1, b1 ,c1 ] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2 ] tidak berkelipatan, maka g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. Jika , maka kedua garis tsb berpotongan pada satu titik dan persamaan bidang yang memuat kedua garis g1 dan g2 tsb adalah : Jika tidak demikian, maka kedua garis tsb bersilangan.

Contoh : Tunjukan bahwa berpotongan Dan tentukan titik potongnya serta bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 tsb. Jawab : Arah mereka tidak berkelipatan, jadi tidak sejajar ataupun berimpit. Sedangkan determinan : , jadi g1 dan g2 berpotongan. Titik potongnya dicari dari persamaan g1= g2 , diperoleh : 1 = 1 kemudian di subt. ke g 1 ( 5, -7, 6 ) 2 = 2 kemudian di subt. ke g 2 ( 5, -7, 6 )

Persamaan bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 adalah : 11x – 6y – 5z -67 = 0 Sudut antara garis g1 dan g2 adalah sudut antara vektor-vektor arah [ a1, b1 ,c1 ] dan [ a2, b2 ,c2 ] , yaitu :

Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata Pandang garis lurus g dengan vektor arah a =[ a , b , c] dan bidang rata V dengan vektor normal n = [ A , B , C], maka : g 1 sejajar denga bidang V g3 tegak lurus bidang V g 2 terletak pada bidang V 1. Garis lurus g sejajar bidang rata V jikka vektor arah garis tegak lurus normal bidang. a . n = 0 atau aA + bB + cC = 0

2. Garis g tegak lurus bidang rata V jikka vektor arah garis lurus = vektor normal bidang rata (atau kelipatanya) atau 3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi vektor a tegak lurus n atau a.n = 0 sehingga aA + bB+cC = 0 dan sembarang titik P pada garis g harus terletak pula pada bidang V.

Contoh :

Jarak antara dua garis lurus g1 dan g2 1. Bila g1 dan g2 sejajar , untuk menghitung jaraknya dapat dilakukan sebagai berikut: - Pilihlah sembarang titik p pada g1 - Buatlah bidang rata W melalui P dan tegak lurus g1, yang dengan sendirinya juga tegak lurus 2 - Tentukan Q titik tembus g2 pada W - Panjang PQ adalah jarak g1 dan g2

2. Bila g1 dan g2 bersilangan, dapat dilakukan sebagai berikut : - Buat bidang rata W yang melalui g1 dan sejajar g2 - Pilih sembarang titik P pada g 2 - Tentukan jarak P ke bidang W, merupakan jarak g1 dan g2.

Contoh :

2.