ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 12 Garis dan Bidang dalam Ruang Berdimensi-3 Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2008 01 13 ( ) http://www.mercubuana.ac.id

Teorema Jika a, b, c dan d adalah konstanta dan a, b dan c tidak semuanya nol, maka grafik persamaan ax + by + cz + d = 0 adalah sebuah bidang yang mempunyai vektor n(a, b, c) sebagai normal. Bentuk umum persamaan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah bentuk umum dari persamaan sebuah bidang. Penyelesaian Persamaan Bidang Penyelesaian sebuah sistem persamaan bidang, ax + by + cz = k1 dx + ey + fz = k2 gx + hy + iz = k3 berpadanan dengan titik potong tiga bidang. (a) Tiga bidang sejajar Tidak mempunyai penyelesaian (b) Dua bidang sejajar Tidak mempunyai penyelesaian (c) Tiga bidang tanpa irisan bersama Tidak mempunyai penyelesaian http://www.mercubuana.ac.id

2 3 3  i j k 1 1 2 = 9i + j – 5k = (9, 1, –5). CONTOH 2. Cari persamaan bidang yang melalui titik-titik P(1, 2, –1), Q(2, 3, 1) dan R(3, –1, 2). Penyelesaian : Bentuk umum dari persamaan sebuah bidang, ax + by + cz + d = 0 Melalui P(1, 2, –1) Melalui Q(2, 3, 1) Melalui R(3, –1, 2) a + 2b – c + d = 0 …………………..…(1) 2a + 3b + c + d = 0 ……………… …(2) 3a - b – 2c + d = 0 ……………………(3) Eliminasi (1) dan (2) menghasilkan 3a + 5b = –2d. Eliminasi (1) dan (3) menghasilkan 5a + 3b = –3d. Dari 2 eliminasi ini didapatkan, a = – 9d/16, b = – d/16, c = 5d/16. Nilai a, b dan c disubstitusikan ke dalam persamaan umum sebuah bidang, ax + by + cz + d = 0 (– 9d/16)x + (– d/16)y + (5d/16)z +d = 0 9x + y – 5z – 16 = 0 Penyelesaian alternatif: Titik-titik P(1, 2, –1), Q(2, 3, 1) dan R(3, –1, 2) terletak pada bidang, maka perkalian silang vektor PQ dan PR adalah vektor normal bidang tersebut.  i j k PQ = (1, 1, 2), PR = (2, –3, 3), PQ × PR = 1 1 2 = 9i + j – 5k = (9, 1, –5). 2 3 3 Maka normal bidang = n(9, 1, –5). Menggunakan bentuk normal-titik, persamaan bidang yang mempunyai normal vektor n(9, 1, –5) dan melalui P(1, 2, –1) adalah, 9(x – 1) + 1(y – 2) + (–5)[z – (–10)] = 0 9x + y – 5z – 9 – 2 – 15 = 0 9x + y – 5z – 16 = 0 Menggunakan bentuk umum dari persamaan bidang yang mempunyai normal vektor n(9, 1, –5), ax + by + cz + d = 0 9x + 1y + (–5)z + d = 0 9x + y – 5z + d = 0 dan melalui P(1, 2, –1), 9×1 + 2 – 5(–1) + d = 0 9+2+5+d=0 d = –16, sehingga 9x + y – 5z – 16 = 0. http://www.mercubuana.ac.id