PELATIHAN MATEMATIKA GURU SMK MODEL SENI/PARIWISATA/BISNIS MANAJEMEN TRIGONOMETRI PELATIHAN MATEMATIKA GURU SMK MODEL SENI/PARIWISATA/BISNIS MANAJEMEN (Kelas A) Oleh: Murdanu Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2010

Tujuan Peserta pelatihan dapat: Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub Menerapkan aturan sinus dan cosinus Menentukan luas suatu segitiga Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut Menyelesaikan persamaan trigonometri

Sudut A Suatu sudut dapat dibangkitkan/ digenerasikan/dibentuk dari suatu sinargaris diputar mengelilingi titik O menuju suatu sinargaris yang lain. B a Sudut a diperoleh dari sinargaris OA diputar berlawanan arah dengan arah jarum jam mengelilingi titik O hingga sampai di sinargaris OB. Sudut a dikatakan sudut positif. O b Sudut b diperoleh dari sinargaris OA diputar searah dengan arah jarum jam mengelilingi titik O hingga sampai di sinargaris OB. Sudut b dikatakan sudut negatif Sinargaris OA disebut sisi/kaki awal, sinargaris OB disebut sisi/kaki tujuan, dan titik O disebut titik-sudut. Ditulis  = AOB Sudut a dan sudut b dikatakan coterminal (kaki-awal dan kaki-tujuannya sama).

Dalam trigonometri, banyak putaran dan arah putaran tidak dibatasi. Sudut yang diperhatikan, yaitu sudut-sudut yang sisi/kaki awal-nya membuat beberapa revolusi terhadap titik O, searah atau berlawanan arah dengan arah jarum jam, sebelum terhenti pada sisi/kaki tujuan/terminal-nya. Sudut a dan sudut a’, keduanya positif, coterminal, tetapi berbeda. l2 a a’’’ O l1 Sisi/kaki awal l1 sudut a’ membuat suatu revolusi-lengkap terhadap titik O sebelum berimpit dengan sisi/kaki terminal l2

Sudut-sudut dalam Posisi Standar Dalam suatu sistem koordinat kartesius (rectangular), suatu sudut dikatakan dalam posisi standar, apabila titik sudutnya berimpit dengan pusat koordinat dan sisi/kaki awalnya berimpit dengan sumbu x positif. Apabila sisi/kaki tujuan/terminal dari suatu sudut dalam posisi standar terletak pada kuadran pertama, maka sudut tersebut disebut sudut kuadrant-pertama. Analogis terhadap prinsip ini, untuk sudut-sudut kuadrant-kedua, kuadran-ketiga, dan kuadran-keempat. y y b a O x O x y y d g O l x x O

Ukuran sudut B a A O Sudut pusat:  = AOB Apabila suatu lingkaran dibagi dalam 360 bagian yang sama, maka setiap sudut pusat yang berkaitan dengan satu bagian tersebut dikatakan mempunyai ukuran satu derajat, dinyatakan dengan 1o. Dalam posisi standar, suatu sudut satu derajat diperoleh dengan memutar sumbu-x positif berlawanan arah dengan arah jarum jam sebesar dari suatu revolusi lengkap. Derajat-derajat dibagi-bagi dalam menit-menit dan detik-detik. 1o = 60’ dan 1’ = 60”

y y a a x x O O y Sudut siku-siku a = 90o Sudut lancip 0o < a < 90o a O x Sudut tumpul 90o < a < 180o

Contoh 1 y y 45o + 360o = 405o 45o x x O O y Sudut positif yang coterminal dengan sudut 45o 45o - 360o = -315o x Sudut negatif yang coterminal dengan sudut 45o O

y Sudut  yang coterminal dengan sudut yang berukuran 780o, sehingga 0o <  < 360o. 60o 780o x y y 30o Sudut positif dan sudut negatif yang coterminal dengan sudut 30o, dalam posisi standar. -690o 750o 30o x x

B Radian 1 Satu radian didefinisikan sebagai besaran yang ditunjukkan dari suatu ruasgaris sepanjang 1 diputar berpangkal dari ujung pertama, sehingga perjalanan putaran ujung kedua berupa suatu busur lingkaran sepanjang 1.  O 1 A Ruasgaris OA sepanjang 1 diputar dengan titik O sebagai pusat putaran, sehingga tempat kedudukan putaran titik A berupa suatu busur lingkaran sepanjang 1; titik B merupakan tempat terakhir hasil putaran titik A. AOB = 1 radian ; s panjang busur, r jari-jari lingkaran Sudut  dengan satuan radian Rumus Conversi Keliling suatu lingkaran yang berjari-jari 1 adalah 2. 2 radian = 360o dan  radian = 180o

Contoh 2 25   8 5 12 Conversi 45o ke radians Conversi ke derajat

Beberapa sudut dalam posisi standar diukur dalam radians y y x x y y x x

Latihan 1 A. Dalam posisi standar, carilah sudut positif dan sudut negatif yang coterminal dengan sudut-sudut berikut: B. Sketsalah sudut-sudut berikut dalam posisi standar: C. Conversilah sudut-sudut berikut dalam satuan radians: D. Conversilah sudut-sudut dalam radians berikut dalam satuan derajat: E. Sudut pusat  tertentu oleh suatu busur sepanjang s dan jari-jari lingkaran sepanjang r. Carilah besar sudut pusat yang diketahui panjang busur dan jari-jari lingkarannya berikut:

Nilai Perbandingan Trigonometri suatu Sudut Trigonometri Segitiga Siku-siku Nilai Perbandingan Trigonometri suatu Sudut A a c b b C a B

A a c b b C a B

Latihan 2 1. 2. 3.  2 1 2 15  Carilah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari sudut  .  8 1 Carilah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari sudut  . Carilah nilai fungsi-fungsi trigonometri dari sudut  4. Misalkan  suatu sudut lancip sedemikian, sehingga . Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri yang lain dari  . 5. Misalkan  suatu sudut lancip sedemikian, sehingga . Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri yang lain dari . 6. ABC siku-siku di A sebangun dengan DEF siku-siku di D. AB = 2, AC = 3, dan DF = 8. Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri sudut-sudut lancip pada masing-masing segitiga tersebut.

Lengkapilah untuk sec, csc, dan cot. b b C a B Lengkapilah untuk sec, csc, dan cot.

Latihan 3 1. Carilah nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut 45o, 30o, dan 60o 2. Lengkapilah gambar segitiga berikut dengan ukuran-ukuran yang sesuai. (Gunakan kalkulator atau tabel trigonometri) …. …….. 26o …….. …. 5 4 …. ….

Nilai fungsi trigonometri dalam bidang koordinat kartesius P(x,y) O Q Fungsi-fungsi sinus dan cosinus didefinisikan untuk semua sudut (positif, negatif, dan nol), dan memperhatikan letak titik P pada lingkaran berpusat di O dan berjari-jari 1, maka -1 < sin  < 1 dan -1 < cos  < 1

 di Kuadran I P(cos , sin ) O Q P(cos , sin )  di Kuadran II Q O

 di Kuadran III Q O P(cos , sin )  di Kuadran IV Q O P(cos , sin )

Sifat-sifat sinus dan cosinus Fungsi tangen dan cotangen Fungsi secan dan cosecan

Identitas-identitas Trigonometric: Sudut Ganda dan Sudut-setengah Rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan

A  OB = r Q Hukum Sinus c b O   Hukum Cosinus C a B Luas Segitiga

Koordinat Khutub T  O X Titik O disebut khutub Garis OX disebut sumbu khutub Panjang OT = r, disebut vektor radius dari T Sudut antara OX dan OT = , disebut argumen dari T atau sudut khutub dari T Bilangan r dan  disebut koordinat-koordinat khutub dari T dan ditulis T(r,) Pada umumnya r diambil positif dan 0 <  < 2 Jadi setiap titik pada bidang datar letaknya ditunjukkan oleh r dan . Sebaliknya setiap pasang r dan  menunjukkan letak suatu titik dalam bidang datar tersebut.

T(r,)  + 180O  O X P(r,) Q(r’,) T’(r,+180O) Atau T’(r,+)   O X

Hubungan antara Koordinat-koordinat Khutub dan Koordinat-koordinat Kartesius Y T(x,y) atau T(r,) O S X

Y 1 O X X O

X O Y O X

Y O X 4 O X Y 3 X O O X