KOMPETENSI Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti. Merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

Presentasi berjudul: "KOMPETENSI Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti. Merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut."— Transcript presentasi:

1 KOMPETENSI Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun suatu bukti. Merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan sudut ganda Membuktikan rumus identitas trigonometri Menentukan luas segitiga yang komponennya diketahui dengan menggunakan fungsi trigonometri Membandingkan nilai sinus, kosinus, dan tangent suatu sudut

2 1 + cos 2A + cos 4A + cos 6A = 4 cos A cos 2A cos 3A
Perhatikan Selesaikan 3. Buktikan tan3A.tan2A.tanA=tan3A-tan2A-tanA 4. Hitung nilai sin 54 sin 18 5. Hitunglah Sin26+Sin242+Sin266+Sin278 2. Buktikan bahwa : 1 + cos 2A + cos 4A + cos 6A = 4 cos A cos 2A cos 3A

3 Apa itu sudut Sisi akhir Sisi awal Sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar thd titik pangkalnya ( dari sisi awal ke sisi akhir) Sudut diberi “tanda positive” jika putarannya berlawanan dg putaran jarum jam Sudut diberi “tanda negative ” jika putarannya searah dg putaran jarum jam Besar sudut ditentukan oleh jarak putar yg dilalui dari sisi awal ke sisi akhir Definisi sudut

4 Satuan sudut : siksagesimal : 1 putaran penuh dibagi 360 bag yg sama bag = 10 Sentisimal : 1 putaran penuh dibagi 400 bag yg sama Radian

5 maka, besar sudut yang terbentuk: 1 radian (rad)
Apa itu radian? sehingga di dapat 1 rad : besar sudut pusat lingkaran yg menghadap pd busur yg panjangnya= jari2 lingkaran 1 jejari 1 jejari 1 rad maka, besar sudut yang terbentuk: 1 radian (rad)

6 Seberapa besar 1 radian itu?
60° Coba bandingkan Mana yang lebih besar ? 1 rad atau 60º ?

7 Panjang Busur dan Radian

8 Hubungan Radian  Derajat
Kita putar jejari sejauh 180 r 1 derajat = 1 putaran penuh dibagi 360 bag yg sama

9 Ingat: panjang setengah lingkaran = π r
rad r  rad = 180

10 Rumus Perubahan

11 BET1542 ENG. MATHEMATICS II KESIMPULAN 4 SEMESTER I SESSION 2008/09

12 Perbandingan trig Ada berapa perbandingan
antar sisi dr segitiga siku-siku tsb Diketahui segitiga siku-siku berikut

13 Sudut istimewa Perbandingan trigonometri sisi-sisi segitiga siku-siku
Sudut Istimewa segitiga siku-siku yaitu : 00 2. 30o 3. 450 4. 60o 5. 90o Sudut istimewa

14 . Untuk  300 dan  600 O B C 1 X 30O A . Segitiga OAB adalah segitiga sama sisi dengan r=1, CB=CA= C 1 oc OC=

15 Untuk  450 SUDUT ISTIMEWA 1 1 Sin 450 = Cos 450 = Tg 450 = C 450 450
B 1

16 Untuk  00 SUDUT ISTIMEWA Sin 00 = Cos 00 = Tg 00 = Catatan : X = r
Sb. : y Sin 00 = Cos 00 = Y=0 Tg 00 = Sb.: x X=r Catatan : X = r Y = 0

17 SUDUT ISTIMEWA Untuk  900 Sin 900 = Sin 900 = Cos 900 = Catatan :
y = r Cos 900 = Catatan : X = 0 Y = r X = 0

18 KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA
 0O 30O 45O 60O 90O Sin 1 Cos Tg ? Ctg 

19 PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI BERBAGAI KUADRAN
Sudut di Kuadran I = a Sin bernilai (+) Cos bernilai (+) Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran II = β = (180 - a) Hanya Sin bernilai (+) Sudut di Kuadran III =γ =(180 +a ) Hanya Tan bernilai (+) Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 -a) Hanya Cos bernilai (+) KUADRAN 2 KUADRAN 1 KUADRAN 4 KUADRAN 3

20 Perbandingan Trig sudut Berelasi
A dalam derajat A: dalam radian

21 KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIUS

22 KOORDINAT KUTUB Koordinat Kutub B(r,q)

23 KOORDINAT KARTESIUS Koordinat kartesius A (x,y) Y X

24 MENGUBAH KOORDINAT KUTUB MENJADI KOORDINAT KARTESIUS
Koordinat kutub B(r,q) Dari diperoleh x = r . cos θ sedangkan diperoleh y = r . sin θ Sehingga didapat Koordinat kartesius B(x,y) = (r.Cosq , r.Sinq)

25 MENGUBAH KOORDINAT KARTESIUS MENJADI KOORDINAT KUTUB
Koordinat kartesius A (x,y) Sehingga koordinat kutub A (r,q)

26 IDENTITAS TRIGONOMETRI
Merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan sudut ganda

27 Diberikan segitiga siku siku berikut:.
The Unit Circle y Diberikan segitiga siku siku berikut:. btk x: (x,y) 1 y x x Btk y: Dan utk nilai tan:

28 Lingkaran satuan - Pythagoras

29    A D E B C G F Segitiga CGF Segitiga AFC Segitiga AEF,

30 Cause DE  GF DE  AC sin  sin 
GF  AC sin  sin  Cause DE  GF DE  AC sin  sin  AE  AC cos  cos  AD  AE  DE AC cos ( + )  AC cos  cos   AC sin  sin  cos ( + )  cos  cos   sin  sin 

31 TRIGONOMETRIC IDENTITIES
BET1542 ENG. MATHEMATICS II TRIGONOMETRIC IDENTITIES Please, prove it! henny SEMESTER I SESSION 2008/09

32 TRIGONOMETRIC IDENTITIES
Identitas trig utk : 5

33 TRIGONOMETRIC IDENTITIES
JUMALH & SELISIH 2 SUDUT 5

34 TRIGONOMETRIC IDENTITIES
SUDUT GANDA: 6

35 TRIGONOMETRIC IDENTITIES
SETENGAH SUDUT: 7

36 TRIGONOMETRIC IDENTITIES
JUMLAH/SELISIH 2 FUNGSI TRIG: 8

37 TRIGONOMETRIC IDENTITIES
BENTUK LAIN: 9

38 Buktikan Jika A+B+C + D=1800 Buktikan :
BET1542 ENG. MATHEMATICS II TRIGONOMETRIC IDENTITIES Buktikan Jika A+B+C + D= Buktikan : cosAcosB+cos Ccos D = sin Asin B +sin C sin D Dalam segitiga ABC , Buktikan tg A +tg B +tg C = tg A tgB tg C 10 SEMESTER I SESSION 2008/09

39 ATURAN SINUS DAN KOSINUS
ATURAN KOSINUS

40 ATURAN SINUS

41 Bukti : C a b A B D

42 ATURAN KOSINUS

43 Deriving the Law of Cosines
Dengan Pythagoras teo C b h a k c - k A B c

44 Persamaan Trigonometri
Bentuk I acos x = b, syarat bahwa -aba cos x = cos x = cos  x =  + k.360; x = -  + k.360 ; kB Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi; Cos x = - ½ , 0 x  360

45 Cos x = - ½ Cos x = cos 120 x = 120 + k.360 untuk k=0, x1 = 120 x = -120 + k.360 untuk k=1, x2 = 240 Jadi HP = {120, 240}

46 4sin 2x = -2 Sin 2x = - ½ Sin 2x = sin 210 2x = 210 + k.360 x= 105  + k.180 Untuk k=0, x1= 105  Untuk k =1, x2=285 2x = (180-210)+k.360 2x = -30 + k.360 x = -15 + k.180 Untuk k=1, x3=165, untuk k=2, x4=345 Jadi HP ={105 , 165  , 285, 345}

47 asin x = b, sin x = sin x = sin  x =  + k. 360; x = -  + k
asin x = b, sin x = sin x = sin  x =  + k.360; x = -  + k.360 ; kB Contoh : 4sin 2x = -2 ; 0 x  360

48 tan x = tan x = tan  x =  + k.180; x = -  + k.180 ; kB Contoh: Tentukan nilai x yg memenuhi, tan x = , 0 x  360

49 contoh untuk k=0, x1=120 ; untuk k=1, x2=300 
Tentukan nilai x yang memenuhi: Cos (x-30).sin(x-120) = 1, 0 x360  Jawab: Sin (2x-30-120) – sin (-30+120)=2 Sin(2x-150) = 2-sin 90 Sin (2x-150 ) = 1 2x -150  = 90  + k .360  2x = 240  + k.360  x= 120  + k.180  untuk k=0, x1=120 ; untuk k=1, x2=300  2x -150  = (180  - 90 ) + k .360  (kembali bentuk yg sama)

50 4. Bentuk a Cos x + b Sin x = c Penyelesaian : a Cos x + b Sin x = c  Misal Tan  = Shg Cos  =  Cos x + Tan  Sin x =

51  Syarat ada penyelesaian : atau Contoh : Tentukan x yang memenuhi -3 Cos 2x + Sin 2x = 1 ; 0º  x  360º Jawab : Cara I -3 Cos 2x + Sin 2x = 1

52   Cos 2x - Tan 30º Sin 2x =  Cos (2x + 30 ) =  Cos (2x + 30) = Cos 120  2x =90+360x=45 +k 180x1=45,x2 = 225  2x = k 360  x = k 180  x3 = 105, x4 = 285 ; HP {45, 105, 225, 285}

53 5. Bentuk Persamaan Kuadrat
a. p Sin2 x + qSin x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -1  Sin x  1 Sin x = atau dengan pemfaktoran b. p Cos2 x + q Cos x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -1  Cos x  1

54 Cos x = atau dengan pemfaktoran c. p Tan2 x + q Tan x + r = 0 Syarat : q2 – 4 p r  0 dan -  < Tan x <  Tan x =

55 Contoh : Tentukan x yang memenuhi 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0 ; 0º  x  360º Jawab : 7 Sin x – 3 Cos 2x + 5 = 0  7 Sin x -3 (1-2 sin2 x ) + 5 = 0  7 Sin x – Sin2 x + 5 = 0  6 Sin2 x + 7 Sin x + 2 = 0  (3 Sin x + 2 ) ( 2 Sin x + 1) = 0  3 Sin x + 2 = 0  2 Sin x + 1 = 0  Sin x = -0,66... V sin x = -0,5

56 Untuk Sin x = -0,66... x = 221,8 + k.380  x1 = 221,8 x = ( ,8) + k.360 x = -41,8 + k.360  x2 = 318,2 Untuk sin x = -0,5  x = k.360  x3 = 210 x = ( ) + k 360 x = k 360  x4 = 330 HP ={ 210º, 221,8º, 318,2º, 330º}