DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

Pengertian Dasar Vektor merupakan kombinasi dari suatu besaran dan suatu arah Vektor dapat dinyatakan dalam panah-panah, panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor Ekor panah dinamakan titik awal dan ujung panah dinamakan titik terminal

Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0 Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan v = PQ Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama) Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0

Penjumlahan Vektor

Pengurangan Vektor Jika a dan b adalah sebarang 2 vektor, maka pengurangan vektor a dari b didefinisikan oleh : a – b = a + (-b)

Skalar dikalikan Vektor Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v yang arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0

Operasi Vektor di R2

Operasi Vektor di R2 CONTOH : Jika v = (3,-2) dan w = (4,5) maka : v + w = (3,-2) + (4,5) = ( 3+4 , -2+5 ) = (7,3) v - w = (3,-2) - (4,5) = ( 3-4 , -2-5 ) = (-1,-7) 5v = 5 (3,-2) = (15,-10)

Operasi Vektor di R2 Kadangkala vektor titik awalnya tidak pada titik asal, jika vektor P1P2 mempunyai titik awal P1 (x1,y1) dan titik terminal P2 (x2,y2) maka P1P2 = (x2-x1 , y2-y1)

Panjang Vektor Besar atau panjang sebuah vektor dinyatakan dengan Panjang suatu vektor a (a1 , a2) diruang 2 adalah

CONTOH APLIKASI VEKTOR R-2 Salah satu sistem yang menggunakan vektor adalah perhitungan daya pada bidang Listrik Terdapat tiga Komponen Daya Listrik Daya Kompleks (S) -- VA Daya Aktif (P) -- Watt Daya Reaktif (Q) -- VAr P = (x,0) Q = (0,y) S = P + Q = (x,y)

Power Factor Correction

Panjang Vektor di R-3

Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah titik diruang 3, maka jarak d diantara kedua titik tersebut adalah :

DOT PRODUCT

ORIENTASI RUANG Triple i,j,k disebut vektor basis Vektor i panjangnya 1 unit searah sumbu x Vektor j panjangnya 1 unit searah sumbu y Vektor k panjangnya 1 unit searah sumbu z Triple i,j,k disebut vektor basis Setiap vektor diruang 3 dapat diungkapkan dengan i,j,k sehingga v =(v1,v2,v3) = v1i + v2j + v3k

Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan  adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) u.v didefinisikan :

Contoh Jika u=(0,0,1) dan v=(0,2,2) dan sudut antara u dan v adalah 45o (lihat gambar) maka u.v adalah :

Jika u, v dan w adalah vektor di ruang dimensi 2 atau 3, dan k merupakan skalar, maka:

i.i=1 j.j=1 k.k=1 i.j=0 j.k=0 k.i=0

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH Jika u=(ux,uy,uz) adalah vektor yang panjangnya satu, maka u disebut vektor satuan. ux = u.i = 1 x 1 cos  = cos  dengan  adalah sudut antara vektor u dan arah positif sumbu x. uy = cos  uz = cos 

VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH Vektor a mempunyai komponen ax,ay,az. Jika a adalah vektor bukan nol maka : Adalah vektor satuan, dengan komponen-komponen yang merupakan cosinus arah :

Sudut antar Vektor

Contoh Diketahui vektor u=(2,-1,1) dan v=(1,1,2) carilah sudut diantara vektor u dan v. u.v = u1v1+ u2v2+ u3v3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3

Resume sudut Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol dan  adalah sudut diantara kedua vektor tersebut maka :  lancip , jika dan hanya jika u.v > 0  tumpul, jika dan hanya jika u.v < 0  tegaklurus (/2), jika dan hanya jika u.v = 0

PROYEKSI ORTHOGONAL w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada a Dinyatakan dengan : proyau w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal terhadap a w2 = u – w1 = u - proyau

Formula Proyeksi

w1=ka u= w1 + w2 = ka + w2 u.a = (ka+w2).a = k + w2.a Karena w2 tegak lurus a maka w2.a = 0

Panjang Komponen Proyeksi

Contoh Carilah rumus untuk jarak D diantara titik Po(xo,yo) dan garis ax + by + c = 0 Misal Q (x1,y1) adalah sebarang titik pada garis dan n=(a,b) vektor dengan titik awal di Q

SOAL Vector Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah skalar c1, c2 dan c3 sehingga : c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) Carilah semua skalar sehingga dimana v = (1,2,4)

SOAL Dot Product Tentukanlah apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul atau ortogonal u=(7,3,5) v=(-8,4,2) u=(1,1,1) V=(-1,0,0) u=(6,1,3) v=(4,0,6) u=(4,1,6) v=(-3,0,2) Carilah sudut diantara diagonal kubus dan salah satu sisinya carilah komponen vektor u yang ortogonal ke a jika : u=(-7,1,3) v=(5,0,1) u=(0,0,1) v=(8,3,4)