ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

Hasil kali skalar di dalam Rn Hasil kali xTy disebut hasil kali skalar dari x dan y. secara khusus , jika x = {x1,…,xn} dan y = {y1,…,yn} , maka Contoh : Jika x = dan y = maka Hasil kali skalar di dalam R2 dan R3 Jika diberikan sebuah vektor x di R2 dan R3 , maka panjang Euclidisnya dapat didefinisikan dalam bentuk hasil kali skalar Jika diberikan dua vektor taknol x dan y , maka kita dapat menganggap keduanya sebagai segmen-segmen garis berarah yang berawal dititik yang sama. Sudut antara 2 vektor atau segmen garis berarah tersebut kemudian didefinisikan sebagai sudut ϴ

Teorema : Jika x dan y adalah dua vektor taknol didalam salah satu R2 atau R3 dan ϴ adalah sudut diantaranya , maka Jika x dan y adalah dua vektor taknol maka kita dapat menyebutkan arah – arah mereka dengan membentuk vektor – vektor satuan , dan Jika ϴ adalah sudut antara x dan y , maka cosinus dari sudut antara vektor – vektor x dan y adalah hasil kali skalar dari vektor-vektor arah yang bersesuian dengan u dan v

Akibat : (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) jika x dan y adalah vektor – vektor didalam salah satu R2 atau R3 , maka dengan kesamaan akan berlaku jika dan hanya jika salah satu dari vektor-vektor tersebut adalah 0 atau vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang satunya lagi jika dan hanya jika cos ϴ = ±1 Definisi : Vektor – vektor x dan y didalam R2 (atau R3) dikatakan ortogonal jika xTy = 0 Vektor 0 adalah ortogonal dengan setiap vektor di R2 Vektor – vektor (3,2) dan (-4,6) adalah ortogonal di R2 Vektor – vektor (2,3,-1) dan (1,1,1) adalah ortogonal di R3 , dll

Proyeksi skalar dari x pada y : Proyeksi vektor dari x dan y : Contoh : Titik Q adalah titik pada garis y = x/3 yang terdekat ke titik (1,4). Tentukan koordinat Q. Jawab : Ambil vektor w = (3,1)T adalah sebuah vektor dalam arah garis y = x/3. misalkan v = (1,4)T. jika Q adalah titik yang diinginkan , maka QT adalah proyeksi vektor dari v pada w Jadi Q = (2,1;0,7) adalah titik terdekat.

Notasi : Jika P1 dan P2 adalah dua titik dalam ruang 3 dimensi , kita akan melambangkan vektor dari P1 dan P2 dengan Jika N adalah vektor taknol dan Po adalah yang tertentu , maka himpunan titik – titik P sedemikian sehingga adalah ortogonal terhadap N akan membentuk sebuah bidang Π didalam ruang 3 dimensi yang melalui Po. Vektor N dan bidang Π dikatakan normal satu sama lain. Sebuah titik P = (x1,y1,z1) akan terletak pada Π jika dan hanya jika Jika N = (a,b,c)T dan Po = (xo,yo,zo) , persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk : a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0

Contoh 1: Tentukan persamaan dari sebuah bidang yang melewati titik (2,-1,3) dan normal ke vektor N = (2,3,4)T Jawab : adalah atau 2(x - 2) + 3(y + 1) + 4(z – 3) = 0 Contoh 2 : Tentukan jarak dari titik (2,0,0) ke bidang x + 2y +2z = 0 Vektor N = (1,2,2)T adalah normal ke bidang dan bidang melalui titik asal. Misalkan v = (2,0,0)T. jarak d dari (2,0,0) ke bidang adalah harga mutlak dari proyeksi skalar dari v pada N, jadi

Ortogonalitas dalam Rn Jika x ϵ Rn , maka panjang Euclidus dari x didefinisikan dengan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berlaku di Rn. Akibatnya Sudut antara 2 vektor taknol x dan y didalam Rn adalah Vektor – vektor x dan y dikatakan ortogonal jika xTy = 0. Seringkali simbol ┴ digunakan untuk menandakan ortogonalitas.

Latihan Carilah sudur antara vektor – vektor v dan w untuk setiap vektor – vektor dibawah ini. v = (2,1,3)T dan w = (6,3,9)T v = (4,1)T dan w = (3,2)T Carilah titik yang berada pada garis y = 2x yang terdekat ke titik (5,2) Carilah titik yang berada pada garis y = 2x + 1 yang terdekat ke titik (5,2) Carilah jarak dari titik (1,1,1) ke bidang 2x + 2y + z = 0 Carilah jarak dari titik (2,1,-2) ke bidang 6(x – 1) + 2(y – 3) + 3(z + 4) = 0 Untuk setiap vektor pada no 1 tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari v pada w Carilah persamaan dari bidang normal untuk vektor N yang diberikan dan melewati titik Po , jika N = (2,4,3)T dan Po = (0,0,0)

Ruang bagian ortogonal Misalkan A adalah matriks m x n dan misalkan x ϵ N(A). Karena Ax = 0 , kita dapatkan ai1.x1 + ai2.x2 + … + ain.xn = 0 untuk setiap i = 1, … , m Persamaan diatas mengatakan bahwa x ortogonal terhadap vektor kolom ke i dari AT untuk i = 1, … , m karena x ortogonal pada setiap vektor kolom dari AT , maka x ortogonal ke setiap kombinasi linear dari vektor – vektor kolom AT sehingga jika y sembarang adalah vektor dalam ruang kolom AT , maka xTy = 0. Jadi setiap vektor didalam N(A) ortogonal ke setiap vektor didalam ruang kolom dari AT. Jika dua ruang bagian dari Rn memiliki sifat ini , maka kita karakan bahwa ruang bagian tersebut ortogonal Definisi : Dua ruang bagian X dan Y dari Rn dikatakan ortogonal jika xTy = 0 untuk setiap x ϵ X dan setiap y ϵ Y. jika X dan Y ortogonal , kita tulis X ┴ Y.

Definisi : Misalkan Y adalah suatu ruang bagian dari Rn. Himpunan semua vektor – vektor didalam Rn yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan Y┴ . Jadi , Y┴ = { x ϵ Rn | xTy = 0 untuk setiap y ϵ Y } Himpunan Y┴ disebut komplemen ortogonal dari Y Catatan. Ruang bagian X = rentangan(e1) dan Y = rentangan(e2) dari R3 yang diberikan pada contoh sebelumnya adalah ortogonal , tetapi kedua ruang bagian tidak saling komplemen ortogonal, Sesungguhnya . X┴ = Rentang(e2,e3) dan Y┴ = Rentang(e1,e3) Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari Rn , maka X ∩Y = {0}. Jika Y adalah ruang bagian dari Rn , maka Y┴ juga merupakan ruang bagian dari Rn.

Ruang – Ruang bagian pokok (FUNDAMENTAL SUBSPACES) Misalkan A adalah matriks m x n. vektor b ϵ Rm berada didalam ruang kolom dari A jika dan hanya jika b = A x untuk x ϵ Rn . Jika kita menganggap A adalah sebuah operator pemetaan Rn ke dalam Rm maka ruang kolom dari A adalah sama dengan peta dari A. R(A) = peta dari A = ruang kolom dari A = {b ϵ Rm | b = A x untuk x ϵ Rn} R(AT) = ruang kolom dari AT = ruang baris dari A = ruang bagian dari Rm = {y ϵ Rn | y = AT x untuk x ϵ Rn} Teorema : Jika A adalah sebuah matriks m x n , maka N(A) = R(AT)┴ dan N(AT) = R(A)┴ Secara khusus , hasil ini juga berlaku untuk matriks B = AT , Jadi N(AT) = N(B) = R(BT) ┴ = R(A)┴

Contoh. Misalkan A = Ruang kolom dari A terdiri dari semua vektor dalam bentuk Perhatikan bahwa , jika x adalah sembarang vektor di Rn dan b = Ax , maka b = Ruang nol dari AT terdiri dari semua vektor dalam bentuk β(-2,1)T. Karena (1,2)T dan (-2,1)T ortogonal, maka setiap vektor di R(A) akan ortogonal terhadap setiap vektor dalam N(AT). Hubungan yang sama berlaku antara R(AT) dan N(A). R(AT) berisi vektor – vektor dalam bentuk αe1 dan N(A) terdiri dari semua vektor – vektor dalam bentuk βe2. Karena e1 dan e2 ortogonal , tiap vektor dalam R(AT) ortogonal terhadap setiap vektor dalam N(A)

Teorema. Jika S adalah ruang bagian dari Rn , maka dim S + dim S┴ = n. Lebih lanjut , jika [x1, … , xr] adalah basis untuk S dan [xr+1 , … , xn] adalah basis untuk S┴ , maka [x1, … , xr, xr+1 , … , xn] adalah basis untuk Rn. Bukti Jika S = {0} , maka S┴ = Rn dan dim S = dim S┴ = 0 + n = n Jika S ≠ {0} , maka misalkan [x1 , … , xr] adalah basis untuk S dan definisikan X sebagai matriks r x n dimana baris ke – I adalah xiT untuk tiap i. Berdasarkan definisi ini maka matriks X mempunyai rank r dan R(XT) = S. S┴ = R(XT)┴ = N(X) Dim S┴ = dim N(X) = n - r

Definisi. Jika U dan V adalah ruang – ruang bagian dari ruang vektor W dan setiap w ϵ W dapat ditulis secara tunggal sebagai penjumlahan u + v , dimana u ϵ U dan v ϵ V , maka kita katakan bahwa W adalah penjumlahan langsung (direct sum) dari U dan W dan kita tulis Teorema Jika S adalah ruang bagian dari Rn , maka Jika S adalah ruang bagian dari Rn , maka (S┴)┴ = S

Contoh : Misalkan A = Jawab : Kita dapat mencari basis untuk N(A) dan R(AT) dengan mentransformasikan A kedalam bentuk eselon baris tereduksi. Karena (1,0,1) dan (0,1,1) membentuk basis untuk ruang baris A , maka (1,0,1)T dan (0,1,1)T membentuk basis untuk R(AT) . Jika x ϵ N(A) , maka berdasarkan bentuk eselon baris tereduksi dari A bahwa x1 +x3 = 0 x2 + x3 = 0 jadi , x1 = x2 = -x3 Dengan menetapkan x3 = α , kita dapat melihat bahwa N(A) terdiri dari semua vektor berbentuk α(1,-1,1)T. Perhatikan bahwa (-1,-1,1)T adalah ortogonal terhadap (1,0,1)T dan (0,1,1)T

Contoh : Misalkan A = Jawab : Untuk mencari basis untuk R(A) dan N(AT) reduksikan AT kedalam bentuk eselon baris tereduksi Jadi (1,0,1)T dan (0,1,2)T membentuk sebuah basis untuk R(A) . Jika x ϵ N(AT) , maka x1 = -x3 x2 = -2x3 Jadi N(AT) adalah ruang bagian dari R3 yang direntang oleh (-1,-2,1)T Perhatikan bahwa (-1,-2,1)T adalah ortogonal terhadap (1,0,1)T dan (0,1,2)T

Latihan Tentukan basis untuk R(AT) , N(A) , R(A) dan N(AT) : 1. 2. 3. 4.

Ruang hasil kali dalam Definisi : Hasil Kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor – vektor x dan y didalam V sebuah bilangan real (x,y) yang memenuhi syarat berikut : (x,y) ≥ 0 dengan persamaan jika dan hanya jika x = 0 (x,y) = (y,x) untuk semua x dan y didalam V (αx + βy , z) = α(x,z) + β(y,z) untuk semua x,y,z didalam V dan semua skalar α dan β Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam Jika v adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V , panjang atau norma dari v diberikan oleh Dua vektor u dan v dikatakan ortogonal jika (u,v) = 0

Teorema (Hukum phytagoras) jika u dan v adalah vektor – vektor ortogonal didalam sebuah ruang hasil kali dalam V, maka Definisi Jika u dan v adalah vektor – vektor didalam ruang hasil kali dalam V dan v ≠ 0 , maka proyeksi skalar dari u pada v diberikan oleh Dan proyeksi vektor dari u pada v diberikan oleh Norma Definisi : sebuah ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma jika untuk setiap vektor v ϵ V dikaitkan dengan sebuah bilangan real yang disebut norma dari v yang memenuhi : ≥ 0 dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika v = 0 untuk tiap skalar α untuk semua v , w ϵ V Syarat ketiga disebut ketaksamaan segitiga

Teorema Jika V sebuah ruang hasil kali dalam , maka persamaan untuk semua v ϵ V mendefinisikan sebuah norma pada V Secara umum , sebuah norma adalah cara untuk mengukur jarak antara vektor Definisi Misalkan x dan y adalah vektor – vektor didalam ruang linear yang bernorma , jarak antara x dan y didefinisikan sebagai bilangan Dimana

Latihan Jika diberikan x = (1,1,1,1)T dan y = (8,2,2,0)T Tentukan sudut ϴ antara x dan y Cari proyeksi vektor p dari x pada y Periksa bahwa x – p ortogonal terhadap p Hitung dan periksa apakah hukum phytagoras dipenuhi.