Tabel Kebenaran LOGIKA INFORMATIKA Program Studi TEKNIK INFORMATIKA Oleh: Salman Aliaji Program Studi TEKNIK INFORMATIKA

Tabel Kebenaran Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomik dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.  cara praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah dengan menggunakan “Tabel Kebenaran” (truth table). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik.

Rangkaian Logika Dengan 1 Variabel Input Karena masukan (input) hanya satu (n=1), maka jumlah seluruh kemungkinan masukan (input) adalah 2n = 21 = 2 Tabel kebenaran untuk satu masukan (input), sebagai berikut :

Rangkaian Logika Dengan 2 Variabel Input Karena masukan (input) hanya dua (n=2), maka jumlah seluruh kemungkinan masukan (input) adalah 2n = 22 = 4 Tabel kebenaran untuk dua masukan (input), sebagai berikut :

Rangkaian Logika Dengan 3 Variabel Input Karena masukan (input) ada tiga (n=3), maka jumlah seluruh kemungkinan masukan (input) adalah 2n = 23 = 8 Tabel kebenaran untuk tiga masukan (input), sebagai berikut :

Perangkai Logika Terdapat 5 perangkai logika, yaitu : And (dan) Or (atau) Not (tidak) If…then…/implies (jika…maka) …If and only if… (…jika dan hanya jika…)

KONJUNGSI () Pada Tabel Kebenaran And, hanya ada satu nilai True jika pasangan tersebut keduanya bernilai True

DISJUNGSI (V) Pada operator OR, bernilai False jika nilai keduanya bernilai False

DISJUNGSI (V) Saya berada di Malang atau Surabaya Exclusive or, karena tidak mungkin berada di dua tempat dalam waktu yang bersamaan. “atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”. Kamu memilih pizza atau hamburger Inclusive or, karena masih mungkin memilih salah satu atau bahkan keduanya. “atau” berarti “p atau q atau keduanya”

Exclusive OR

NEGASI (~) Negasi adalah kebalikan dari nilai variabel proposisional yang dinegasikan.

IMPLIKASI Bentuk proposisi: “jika p, maka q” Notasi: p  q P disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi Q disebut: consequent Implikasi adalah pengkondisian satu kemungkinan saja dari sebab dan akibat

IMPLIKASI Cara-cara mengekspresikan implikasi p  q: Jika p, maka q Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. Jika p, q Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. p mengakibatkan q Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. q jika p Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.

IMPLIKASI p hanya jika q Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. p syarat cukup untuk q Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. q syarat perlu untuk p Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan q bilamana p Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

IMPLIKASI Ubahlah proposisi berikut ke dalam bentuk proposisi “jika p maka q” Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan. Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. Penyelesaian: Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

IMPLIKASI Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikan api dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin meledak” atau “Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak” Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia” atau “Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”.

IMPLIKASI P Q P  Q True False Hanya ada satu nilai False dari TK Implikasi, yaitu jika P bernilai T dan Q bernilai F.

IMPLIKASI Perhatikan bahwa dalam implikasi yang dipentingkan nilai kebenaran premis dan konsekuen, bukan hubungan sebab dan akibat diantara keduanya. Beberapa implikasi di bawah ini valid meskipun secara bahasa tidak mempunyai makna: “Jika 1 + 1 = 2 maka Paris ibukota Perancis” “Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan”

IMPLIKASI Tunjukkan bahwa p  q ekuivalen secara logika dengan ~ p  q. Penyelesaian: p q ~ p p  q ~ p  q T T F T T T F F F F F T T T T F F T T T  “Jika p, maka q”  “Tidak p atau q”.

IMPLIKASI Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang Pertama mengumbar moto “Barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua mempunyai moto “Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama? Penyelesaian: p : Barang itu bagus q : Barang itu murah. Moto pedagang pertama: “Jika barang itu bagus maka barang itu tidak murah” atau p  ~ q Moto pedagang kedua: “Jika barang itu murah maka barang itu tidak bagus” atau q  ~ p p q ~ p ~ q p  ~ q q ~ p T T F F F F T F F T T T F T T F T T F F T T T T  p  ~ q  q  ~ p.  Kedua moto tersebut menyatakan hal yang sama.

Contoh Kasus Implikasi Misalkan p : soal ujian yang diberikan oleh guru q : jawaban yang diberikan oleh siswa Nilai kebenaran dari p  q diilustrasikan sbg penilaian guru : Bila soal ujian benar, jawaban juga benar maka nilainya lulus Bila soal ujian benar, jawaban salah maka nilainya harus gagal Bila soal ujiannya salah, dijawab benar maka nilainya lulus Bila soal ujiannya salah, dijawab salah maka nilainya lulus.

EKUIVALENSI P Q P  Q True False

EKUIVALENSI Nilai Ekuivalensi mempunyai nilai T jika pasangan A dan B bernilai sama, baik T maupun F, jika pasangan berbeda, nilainya pasti F Perangkai Ekuivalensi disebut biconditional karena ia mengkondisikan dua ekspresi logika

Tunjukkan bahwa p  q ekivalen secara logika dengan (p  q)  (q  p). p q p  q p  q q  p (p  q)  (q  p) T T T T T T T F F F T F F T F T F F F F T T T T Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.

Cara-cara menyatakan bikondisional p  q: p jika dan hanya jika q. Bandung terletak di Jawa Barat jika dan hanya jika Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi. Jika p maka q, dan sebaliknya. Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.

Contoh Penggunaan Tabel Kebenaran Misalkan : p : 17 adalah bilangan prima q : bilangan prima selalu ganjil Pertanyaan : bagaimana konjungsi dari p dan q tersebut? p  benar q  salah p^q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil  salah (lihat tabel kebenaran konjungsi).

Contoh Penggunaan Tabel Kebenaran (2) Jika p, q, r adalah proposisi, bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut : (p^q) v (~ q ^ r) Penyelesaian: Ada 3 buah proposisi atomik di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil, sehingga jumlah kombinasi dari semua proposisi tersebut adalah 2 x 2 x 2 = 8 buah.

Contoh Penggunaan Tabel Kebenaran (2) Tabel kebenaran dari proposisi (p^q) v (~q^r) p q r T F p q r p^q ~q ~q^r (p^q) v (~q^r) T F p q r p^q ~q ~q^r (p^q) v (~q^r)

LATIHAN Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tabel kebenaran! Apakah kebenaran dari nilai (A  A)? Apakah kebenaran dari nilai (A V A)? Apakah nilai kebenaran dari (A  ~A) dan (A V ~A)? Apakah (A→B) mempunyai nilai kenenaran yang sama dengan (B→A)? Apakah (A→B)→C mempunyai kebenaran yang sama dengan A→(B→C)?

LATIHAN Buatah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini! ~(~A  ~B) A  (A  B) ((~A  (~B  C)) → (B  C)) ↔ (A  C) (A  B)  (((~A  B) →A)  ~B) (A→B) → (~B → ~A) A  ((C  B) ↔ ~C) ~((A  B) → ~C)  A

Buatah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini! ((~A  (~B  C)) → (B  C)) ↔ (A  C)