Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT KALKULUS II Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT

MATERI YANG AKAN DIBERIKAN 1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI EKSPONENSIAL C. FUNGSI INVERS D. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI E. TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI INVERS/TRIGONOMETRIK 2. TEKNIK INTEGRASI A. INTEGRASI PARSIAL DAN INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI B. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL PECAHAN PARSIAL C. TEKNIK-TEKNIK INTEGRASI YANG LAIN 2. APLIKASI-APLIKASI INTEGRAL TERTENTU A. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR B. MENGHITUNG ISI BENDA C. PANJANG SUATU KURVA PADA BIDANG

Logaritmik Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c Dalam aljabar, logaritma didefinisikan sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 dan b ≠ 1, maka untuk x positif didefinisikan “logbx” (baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai pangkat untuk b yang menghasilkan x.

Kegunaan logaritma Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Contoh: Log10 100 = 2 Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk menghasilkan 100. Dengan cara sama, Log2 8 = 3, karena 23 = 8 Log10 1/1000 = -3,karena 10-3 = 1/1000 Log10 1 = 0, karena 100 = 1 Log3 81 = 4, karena 34 = 81

logb by = y dan blogb x = x (1.1) Umumnya jika y = logb x, maka y merupakan pangkat untuk b yang harus menghasilkan x, jadi x = by. Kebalikannya, jika x = by, maka y = logb x, sehingga pernyataan : Y = logb x dan x = by adalah ekivalen. Dengan mensubsitusikan setiap persamaan diperoleh : logb by = y dan blogb x = x (1.1) Logaritma yang pertama kali dipelajari adalah logaritma dengan basis 10, yang disebut logaritma umum (common logarithmsi). Untuk logaritma seperti itu biasanya basis tidak secara eksplisit dirujuk dan ditulis “log” tidak “log10”. Jadi, (1.1) menjadi: Log 10x = x dan 10log x = x logba= x dan logb c = y (1.2)

TEOREMA a). Logb 1 = 0 b) logb b = 1 c). Logb ac = Logb a + Logb c d) logb a/c = logb a – logb c e). Logb ar = r Logb a f) logb 1/c = -logb c

Akan dibuktikan (a) dan (c), Bukti (a). karena b0 = 1, maka logb 1 = 0 Bukti (c). Misalkan x = logb a dan y = logb c Jadi, bx = a dan by = c Oleh karena itu, ac = bxby = bx+y atau ekivalen dengan logb ac = x+y selanjutnya, dari (1.2) logb ac = Logb a + Logb c

Bilangan e logaritma natural Logaritma yang paling penting dalam aplikasi adalah yang disebut logaritma natural; ini mempunyai basis irrasional tertentu yang ditunjukkan dengan e. e ~ 2,718282 dan Diturunkan menjadi :

Standar untuk mengartikan logaritma natural dari x adalah ln x dan tidak log e x. jadi ln x itu merupakan pangkat untuk e yang harus menghasilkan x, contoh : ln 1 = 0 (karena e0 = 1) Secara umum: a. y = ln x dan x = ey ekivalen ln e = 1 (karena e1 = e) b. ln ex = x dan e ln x = x ln 1/e = -1 (karena e-1 = 1/e) ln (e2) = 2 (karena e2 = e2)

Teorema : 1.1.2 Bukti ; Misalkan y = logb x. Jadi by = x Loga by = Loga x y Loga b = Loga x

Contoh soal: 1. Nyatakan : Kedalam penjumlahan, pengurangan dan perkalian: =

Contoh Soal 2: Tulis dalam bentuk logaritma tunggal: a. 2 log 5 + log 8 – log 2 = Log 52 + log 8 – log 2 = Log 25 + log 8 – log 2 = Log 25.8 – log 2 = Log 200/2 = log 100 = 2 b.1/3 ln x – ln(x2 +1)+5 ln(x-2)= ln x1/3 – ln(x2+1) + ln(x-2)5 = Ln

Contoh 3; a. log x = -3, x = 10-3 = 0,001 b. ln(2x-3) = 7, 2x-3 = e7, x = ½(e7+3) c. 2x = 3, log 2x = log 3 x log 2 = log 3 x = log3/log2 = 1,585 d. e2x = 81, ln e2x = ln 81 2x = ln 92 2x = 2 ln 9 x = ln 9 = 2,197225

TIPE LAIN DARI PERSAMAAN LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL TIPE LAIN DARI PERSAMAAN LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL. Metode – metode yang digunakan dalam contoh – contoh sebelumnya dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan tipe – tipe lain logaritmik dan eksponensial.

Fungsi logaritmik dan fungsi eksponensial PERAN LOGARITMA NATURAL DALAM KALKULUS Pada sub bab ini akan diperlihatkan logaritma dan pangkat dari sudut pandang fungsi. Untuk b > 0, bx disebut fungsi eksponensial berbasis b dan logb x disebut fungsi logaritma berbasis b. dalam kasus dimana b = e, ex disebut fungsi eksponensial natural dan ln x = logb x disebut logaritma natural. Fungsi logaritma natural mempunyai peran khusus dalam kalkulus yang dapat memotivasi pendiferensialan f (x) = logb x, dimana b sembarang basis. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi logb x dapat didiferensialkan, oleh karena itu kontinu untuk x > 0.

TURUNAN DAN INTEGRAL YANG BERKAITAN DENGAN Ln X Jika u(x)>0, dan fungsi u dapat dideferensilkan di x, maka diperoleh : dan Diferensiasi Logaritmik Contoh : Turunan dari ; Turunan Pangkat Irrasional x: y=xr

Turunan dan Integral yang berkaitan dengan bx Untuk memperoleh turunan dari bx, andaikan y = bx, gunakan diferensiasi logaritmik : Ln y = ln bx = x ln b 1/y dy/dx = ln b, dy/dx = y ln b = bx ln b Jadi : dlm kasus khusus b=e Ln e= 1, shg ; Jika u fungsi x yg terdiferensial, maka diperoleh : dan

Integral Fungsi Eksponensial Rumus Integral yg terkait dgn turunan-turunan dan Contoh : 1. 2.Tentukan nilai : 3. Tentukan nilai :

Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kita memerlukan perluasan fungsi-fungsi yang dapat dipakai. Fungsi Logaritma Natural Fungsi Logaritma Natural (disingkat ln), ditulis f(x)=ln x, didefinisikan sebagai, Daerah definisi (Df) dan Daerah nilai (Rf) fungsi ini adalah Df = (0,+∞) dan Rf = R. Fungsi ini ada hubungannya dengan fungsi logaritma yang telah dipelajari pada sekolah lanjutan.

u dx u u

Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan. Fungsi Balikan (Invers). Misalkan fungsi y=f(x), dengan x є Df dan y є Rf. Bila f dapat dibalik, maka diperoleh fungsi x= f -1(y). Fungsi f -1 disebut balikan (invers) dari fungsi f. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x3-1, maka x=f-1(y)= Tidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinya dibatasi. Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan. Jika fungsi f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai balikan.

Langkah-langkah mencari inver fungsi y=f(x), 1. Nyatakan x dengan y dari persamaan y=f(x); 2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai f-1(y)→x= f -1(y); 3. Ganti y dengan x dan x dengan y dari x= f -1(y), diperoleh y= f -1(x). Contoh 3. Tentukan rumus untuk f -1(x) bila y=f(x)=x/(1-x). Jawab. Langkah1: y = x/(1-x)↔(1-x).y=x ↔x(1+y)=y↔x=y/(1+y); Langkah2: f -1(y) = y/(1+y); Langkah3: f -1(x) = x/(1+x);

Bila f mempunyai balikan f -1 maka f -1 juga memiliki balikan f sehingga diperoleh, f -1(f(x)) = x dan f(f -1(y)) = y.

Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi: f(g(x)) = x, untuk setiap x dalam domain g g(f(x)) = x, untuk setiap x dalam domain f maka dapat dikatakan bahwa, f invers dari g dan g invers dari f, atau dengan kata lain, f dan g adalah merupakan fungsi-fungsi invers. Contoh ; fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 1/2 x adalah fungsi invers sebab : f(g(x)) = f(1/2x) = 2(1/2x) = x g(f(x)) = g(2x) = ½.2x = x jadi : untuk f(x) = 1/2x, f-1(x) = 2x dan, g(x) = 2x, g-1(x) = 1/2x dapat dikatakan bahwa suatu fungsi hanya mempunyai satu invers (tunggal)

Turunan Fungsi Invers.(Halaman pembetulan) Karena grafik f dan f-1 merupakan pencerminan satu dengan lainnya pada garis y=x, secara intuitif jelas bahwa jika grafik f-1 tidak mempunyai sudut, maka grafik f juga demikian. Hubungan antara turunan-turunan dari f dan f-1 dapat diperoleh sebagai berikut: Misalkan (x0,y0) titik pada grafik f-1 dan andaikan f dapat diturunkan pada y0 dan f’(y0) tidak nol. Hubungan ini bila dinyatakan dalam turunan-turunan, akan diperoleh; (f -1)’(x0) = 1/f’(y0) dan (f -1)’(x0) = 1/f’(f -1(x0)), untuk lebih mudah, y = f -1(x) sedemikian hingga x = f(y) Jadi : dy/dx = (f-1)’(x) dan dx/dy = f’(y)= f’(f -1(x)) Atau :

Contoh soal: Fungsi f(x) = x5 + 7x3 + 4x + 1 mempunyai invers: a. dapatkan turunan dari f -1 dengan menggunakan rumus turunan fungsi invers b. dapatkan turunan dari f -1 dengan differensial implisit Penyelesaian : a. jika dimisalkan y = f -1(x), maka: x = f(y)=y5 + 7y3 + 4y +1 , diperoleh:

b. pendiferensialan secara implisit terhadap x, menghasilkan : Yang sama dengan jawaban (b)

Fungsi Eksponen Natural. Bilangan e adalah suatu bilangan real yang merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Nilai hampirannya adalah e = 2,71828………. Fungsi eksponen natural adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh persamaan f(x) = ex. Teorema 5. (Hubungan Fungsi ln dengan exp). Fungsi f : R → (0,+∞), f(x) = ex adalah invers dari fungsi g : (0,+∞) → R, g(x) = ln x. Bentuk lain dapat ditulis y = ex ↔ x = ln y.

Fungsi Eksponen Umum Fungsi eksponen dengan bilangan dasar a>0 dan peubah bebas real x didefinisikan sebagai, f(x) = ax = ex ln a. Akibatnya, ln ax = x ln a. Teorema 8. (Sifat-sifat eksponen umum). 1. a0 = 1, a>0; 5. a-x = 1/ax, a>0, x,yЄR; 2. a1 = a, a>0; 6. (ax)y = axy, a>0, x,yЄR; 3. ax.ay = ax+y, a>0, x,yЄR; 7. (ab)x= ax.bx,a,b>0, yЄR; 4. ax/ay = ax-y, a>0, x,yЄR; 8. (a/b)x= ax/bx,a,b>0, yЄR

Grafik y = sin x dan grafik y = sin-1 x. Fungsi y = f(x) = sin-1x mempunyai Df = [-1, 1]dan Rf = [-π/2, π/2].

Teorema : y = sin-1x ekivalen dgn sin y=x Jika : -1≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2 Contoh Dapatkan : a. sin-1(1/2) b. sin-1(-1/√2) c. sin-1(-1) Penyelesaian: a. misalkan y = sin-1(1/2), persamaan ini ekivalen dengan, sin y = ½, -π/2 ≤ y ≤ π/2 Jadi dicari sudut yg mempunyai sinus ½, yaitu sudut y = π/6. Jadi : sin-1(1/2) = π/6. b.y = sin-1(-1/√2) ekivalen dgn sin y = (-1/ √2), diperoleh sudutnya = - π/4 c. y = sin-1 (-1) ekivalen dengan sin y = -1, Diperoleh sudutnya = - π/2

Grafik y = sec x dan grafik y = sec-1 x. Fungsi y = f(x) = sec-1x mempunyai Df = R – [-1,1] dan Rf = [0, π] –{π/2}.

Contoh-contoh soal; 1.Dapatkan dy/dx jika, a. y = sin-1 (x3) b. y =sec-1 (ex) Penyelesaian : a. b. 2. Hitung Misalkan ;u=√3x, du = √3 dx, menghasilkan :

Berlaku hubungan : cosh2 x – sinh2 x = 1

Pembuktian rumus sinh-1x x = sinh y = atau ey -2x –e-y = 0 Kalikan persamaan dengan ey, diperoleh: e2y -2xey – 1 = 0 ey = Karena ey >0, maka yang minus diabaikan ey = x + √x2 + 1 Dengan mengambil nilai ln nya : ln ey = ln (x + √x2 + 1, y = ln (x + √x2 + 1 sinh-1x = ln (x + √x2 + 1

Rumus-rumus turunan: a. b. c. d. e. f.

Bentuk Integralnya: tanh-1u + C, jika |u| <1 coth-1u + C, jika |u| >1

PEMAKAIAN INTEGRAL TERTENTU 1. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR A. LUAS DAERAH ANTARA GRAFIK Y=f(X) DAN SUMBU X DARI X=a HINGGA X=b S = | |

B. LUAS DAERAH DIANTARA DUA GRAFIK, y1=f1(X) dan y2=f2(x)

C. Luas daerah diantara dua kurva yang berpotongan

D. Luas daerah yang dibatasi oleh 3 buah grafik

E. Luas antara grafik x=v(y) dan grafik x=w(y) dari

Beberapa Contoh Soal 1. Hitung luas daerah antara grafik y = x2+1 Terhadap sumbu x dari x=-1 dan x=2 2. Hitung luas daerah antara grafik y1 =x+6 dan y2 =x2 3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = sinx dengan sumbu x dari x=0 s/d x=2π 4. Hitung luas daerah antara grafik y1=2-x2 dan grafik

2. Menghitung luas benda dari 2 buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x) dengan sumbu x Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y2 dan y=x-2 terhadap sumbu x.

Menghitung luas benda dari grafik x=f(y) dengan sumbu y Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y2 dan y=x-2 terhadap sumbu y.

3. MENGHITUNG VOLUME BENDA MENDAPATKAN VOLUME DENGAN IRISAN; CAKRAM DAN CINCIN 1. IRISAN CINCIN 2. IRISAN CAKRAM

A. Menghitung VOLUME BIDANG PERPOTONGAN YG TEGAK LURUS SUMBU -X Perhatikan gambar benda dibawah ini yang dibatasi oleh dua bidang datar tegak lurus sumbu x di titik x=a dan x=b

B. Volume Benda Putar dengan metode cakram Misalkan y=f(x) tak negatif dan kontinyu pada (a,b) dan R adalah luas yg batas atasnya adalah grafik y=f(x), batas bawahnya sb x, sisi2nya dibatasi x=a s/d x =b. Bila diputar thdp sb x, terjadi suatu benda padat berupa lingkaran. S= A(x)=πr2 = πy2=π[f(x)]2 V=

Menentukan volume benda dengan metode cakram Contoh ; dapatkan volume benda padat yg didapat dari daerah dibawah kurva y= pada selang (1,4) diputar terhadap sb x V = = y=

C. Menentukan volume benda dengan metode cincin Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x. Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya adalah ; A(x)= π[f(x)]2 – π[g(x)]2=π{[f(x)]2-[g(x)]2} Sehingga Volume benda putarnya ; V =

Contoh: menentukan volume benda padat dengan metode cincin Dapatkan volume dari benda padat yang dibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+x2 dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) terhadap sumbu-x V= = V=

Menentukan volumen benda padat dengan irisan cakram dan cincin terhadap sumbu y

Volume benda padat dengan irisan cincin terhadap sumbu y

Contoh soal : volume benda diputar terhadap sb y Dapatkan volume benda yang diputar terhadap sb-y dari grafik; y= dan y=2, x=0

Panjang suatu kurva pada bidang Menghitung panjang busur dari suatu kurva bidang dengan integral tertentu Hanya memperhatikan kurva2 yang merupakan grafik suatu fungsi Panjang Busur jika f’ kontinyu pada suatu selang dimana Y=f(x) adalah kurva mulus

Masalah panjang busur Andaikan f adalah fungsi mulus pada selang (a,b). Dapatkan panjang busur L dari kurva y=f(x) pada selang (a,b)

Bagilah lintasan fungsi f=y(x) menjadi n bagian seperti gambar dibawah ini, dari selang (a,b) Misalkan P0,P1,………Pnadalah titik-titik pada kurva yang koordinat-x nya adalah a, x1,x2…..xn-1,b dan hubungkan titik tsb dengan segmen garis lurus. Bentuk segmen tersebut adalah lintasan polygonal atau sebagai pendekatan dari kurva y=f(x)

Berarti panjang dari seluruh lintasan polygonal adalah ; Diambil satu segmen bagian dari lintasan polygonal tsb yaitu : selang-k = Lk dengan teorema nilai tengah, ada titik antara dan Berarti panjang dari seluruh lintasan polygonal adalah ;

Rumus Panjang Busur Jika f adalah fungsi mulus pada (a,b) maka panjang busur L dari kurva y = (x) dari x=a, x=b didefinisikan ; Untuk kurva dlm bentuk x=g(y) dengan g’ kontinyu pada (c,d) panjang busur L dari y=c ke y=d adalah:

Contoh Soal 1. Dapatkan panjang busur dari kurva y=x3/2 Dari (1,1) ke (2,2√2), terhadap sumbu-x dan terhadap sumbu-y 2. Dapatkan panjang busur dari kurva y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-x dan sumbu-y

Integral tak Wajar Aturan ‘Hopital Yang disebut Integral tak wajar: 1. Integral yang Integrannya menjadi tak hingga dalam selang integral a≤x≤b Menjadi tak terhingga pada x=1 (tak kontinyu) 2. Integral pada selang –selang tak terhingga Sebab b=∞

Cara menyelesaikan Integral tak wajar A1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi x=a+є, menjadi wajar

A2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi x=b-є, menjadi wajar

A3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=c, (a<c<b) Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi x=c+ , dan x=c- menjadi wajar

B1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞ Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi a=∞, menjadi wajar

B2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b=∞ Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi b=∞, menjadi wajar

B3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞ dan x=b=∞ Dgn Integral tertentu =luas daerah yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x integral tak wajar Dibuat substitusi x=a=∞, dan x=b=∞ menjadi wajar

Bentuk tak Tentu Tipe 0/0 Aturan L’Hopital Untuk setiap limit ; dan Penyebut dan pembilangnya keduanya mendekati nol, limit seperti ini sebagai bentuk tak tentu tipe 0/0. Limit ini dapat mempunyai harga bilangan riil atau divergen. Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak dapat ditentukan tanpa beberapa kerja tambahan

Teorema Aturan L’Hopital bentuk 0/0 Misalkan limit menyatakan salah satu limit Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0 Jika lim mempunyai niai berhingga L, atau jika limit ini +∞ atau -∞ maka lim =

Langkah-langkah Aturan L’Hopital Langkah 1;periksa bahwa berbentuk tak tentu, jika tidak, tidak dpt digunakan Langkah 2;diferensialkan f dan g secara terpisah Langkah 3;tentukan .Jika limit ini berhingga, +∞, atau -∞, maka itu = Contoh : dan

SOAL UJIAN QUIS 1. Hitung luas bidang datar dr fungsi ; F(x)=x2 + 2 dengan g(x)=x+4 2.Hitung volume benda yg diputar terhadap sb x dari: y=x+1, x=3, y=0 3.Hitung panjang busur dari y=x3/2 thdp sbx, dr titik (1,2) dan (2,4) 4.Apakah Integral2 dibawah ini termasuk integral tak wajar?selesaikan! A. dx B.