KEKONGRUENAN Definisi Jika a, b, dan m adalah bilangan bulat dengan m > 0, Bilangan a disebut kongruen dengan b modulo m jika m| (a – b) Ditulis : a b (mod m) Contoh : 37 mod 5 2, 9 mod 4 1 Juga -11 mod 3 4 karena -11 – 4 = -15 , yang habis dibagi 3
Sifat-sifat kongruensi Jika a b mod m, maka : Latihan : Isilah kongruensi berikut ! 1. 125 .....mod 10 2. 184 .....mod 4 3. 384 ..... Mod 7 Sifat-sifat kongruensi Jika a b mod m, maka : 1. a + p b + p (mod m) ap bp (mod m) Jika a b mod m dan c d mod m, maka : a. a + c b + d (mod m) b. ac bd (mod m) Bukti Bukti
Jika a b mod m maka a + p b + p (mod m) Bukti : a b (mod m) artinya m| ( a – b) atau terdapat bilangan bulat k shg (a – b) = mk Kita bentuk persamaan bahwa a – b = a +p – b – p (a – b) = (a + p) – (b + p) = mk Dari bentuk : (a + p) – (b + p) = mk berarti m |[(a + p) – (b + p)] sesuai bentuk bahwa a + p a + p (mod m) kembali
Jika a b mod m , maka ap bp mod m Bukti : a b mod m ⇔ m | (a-b) Shg : (a – b) = mk, k bil. bulat Kita kali dengan suatu bil bulat p shg diperoleh : ⇔ (a – b).p = mkp, kp merupakan bil bulat ⇔ (ap – bp) = mkp, shg diperoleh : ⇔ ap bp mod m kembali
Hitunglah dua angka terakhir dari 32002 Jawab : Contoh : Hitunglah dua angka terakhir dari 32002 Jawab : Kita dapat menghitungnya dengan menggunakan modulo 100, Dimulai dari : 34 81 mod 100 dan 32 9 mod 100, Maka : 36 729 mod 100 29 mod 100 38 6561 mod 100 61 mod 100 310 61 x 9 (mod 100) 549 mod 100 49 mod 100 320 = (310)2 492 mod 100 2401 1 mod 100 Akhirnya diperoleh : 32002 = (320)100 . 32 1 . 32 mod 100 9 mod 100 Dua angka terakhir 32002 = 09
Tentukan sisa pembagian 32006 oleh 8 Jawab : Karena 32 = 9, maka 32 mod 8 1 32006 mod 8 (32)1003 mod 8 (32 mod 8)1003 11003 1 Jadi sisanya adalah 1 Carilah sisa pembagian 32006 dibagi oleh 11