Persamaan Garis Singgung pada Kurva Perhatikan gambar di samping Gradien garis l adalah mQ = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) 𝑥+ℎ −𝑥 = 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ P(X,f(X)) f(x+h)-f(x) h Q(x+h,f(x+h)) x x+h l g Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)).

𝒚− 𝒚 𝟏 =𝒎(𝒙− 𝒙 𝟏 ) 𝒚− 𝒚 𝟏 =𝒇′(𝒙)(𝒙− 𝒙 𝟏 ) y – f(x) = f ′(x) (x – 𝒙 𝟏 ) Jika h→0 maka g menjadi garis singgung pada kurva dititik P. Maka gradien garis singgungnya adalah 𝒎= 𝐥𝐢𝐦 h→0 𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙) 𝒉 = 𝒇 ′ (𝒙) Persamaan garis singgung pada kurva di titik 𝑥1,𝑦1 dengan gradien m dimana m= 𝑓 ′ 𝑥 adalah 𝒚− 𝒚 𝟏 =𝒎(𝒙− 𝒙 𝟏 ) 𝒚− 𝒚 𝟏 =𝒇′(𝒙)(𝒙− 𝒙 𝟏 ) Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik P (x, f(x)) pada kurva adalah y – f(x) = f ′(x) (x – 𝒙 𝟏 )

Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x Jawab f(x) = y f(1) = 4 f '(x) = 3x2 + 6x f '(1) = 3 . 1 + 6 . 1 = 9 Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah y – f(x) = f ′(x) (x – 𝑥 1 ) y – 4 = 9 (x – 1) y = 9x – 5.

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3 Jawab 4x + y = 3 y = 3 + 2x – x2 y= -4x + 3 f’(x) = -2x + 2 m2= -4 x = 3 f(x) = 3 + 2(3) – (3)2 f(x) = 0 y = 0 m1 = m2 -2x+2 = -4 -2x = -6 x = 3 Persamaan garis singgung yang sejajar terhadap garis 4x + y = 3 adalah y – f(x) = f ′(x) (x – 𝑥 1 ) y – 0 = -4 (x – 3) y = -4x + 12

LATIHAN SOAL Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) a. Tentukan gradien garis singgung di titik A b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y = – 1 24 𝑥

Jawaban no 1 Diketahui y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) y = f(x) = x2 – 3x + 4 f’(x)= 2x – 3 a. Gradien di titik A (3,4) b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) m = f’(x) = 2x – 3 = 2.3 – 3 y – y1 = m (x – x1) = 6 – 3 y – 4 = 3 (x – 3 ) = 3 y – 4 = 3x – 9 y = 3x – 5

Jawaban no 2 y = 2x3 tegak lurus terhadap garis y = – 1 24 𝑥 maka m1. m2 = -1 (– 1 24 𝑥 ) . m2 = -1 m2 = 24 f’(x1) = 24 y = 2x3 f '(x) = 6x2 f '(x1) = 6x12 24 = 6x12 4 = x12 X1= ± 2. Untuk x1 = 2, Untuk x1 = - 2, f (x) = 2x3 f (x1) = 2(23) f (x1) = 2((-2)3) = 16 = - 16 Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = – 1 24 𝑥 adalah y – f(x1) = f '(x1) (x – x1) y – 16 = 24 (x – 2) y – (-16) = 24 (x – (-2)) y = 24x – 32 y + 16 = 24 (x + 2) y = 24x + 32

Fungsi Naik dan Fungsi Turun y=f(x) Fungsi Naik (a) Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu jika seiring pertambahan nilai x ke kanan, maka nilai f(x) semakin bertambah atau f ‘(x)>0. x2 > x1 f(x2) > f(x1)

y=f(x) Fungsi Turun (b) Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan, maka nilai f(x) semakin berkurang atau f ‘(x)<0  x2 > x1 f(x2) < f(x1)

Contoh Soal 1. Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan: a. Fungsi naik b. Fungsi turun Jawab: f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 f’(x) = 3x2 + 18x + 15 Syarat fungsi naik f’(x) > 0 3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x+1) (x+5) > 0 Harga batas x = -1 , x = -5   Jadi fungsi naik pada interval x < 5 atau x > -1

Nilai Stationer Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping. Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.    

Jenis-Jenis Stasioner Nilai stasioner maksimum Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a x > a diperoleh f’(x) < a Fungsi yang demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.

2. Nilai stasioner belok a. Nilai stasioner di titik B Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0   Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.

b. Nilai Stasioner di titik D Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d       Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok.

3. Nilai stasioner minimum Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0     Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum.

Contoh 1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x Jawab : f(x) = x2 + 2x f’(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = -1 f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1 Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)   x = 1 x 2 ( x + 1 ) f’(x) -1- -1 -1+ - 0 + - 0 + Bentuk grafik Titik balik minimum

LATIHAN SOAL 3. Tentukan interval f(x) naik, turun, dan koordinat titik stationer dari 𝑓 𝑥 =2+ 𝑥 2 − 1 3 𝑥 3 4. Diketahui f(x) = - x3 + 3x2 - 1 a). Tentukan titik stasionernya b). Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun

Jawaban no 3 𝑓 𝑥 =2+ 𝑥 2 − 1 3 𝑥 3 f ' (x) = 2x - x2 Interval f(x) naik f(x) turun jika f’(x) < 0 f(x) naik jika f’(x) > 0 2x – x2 < 0 2x – x2 > 0 x (2 – x) < 0 x (2 – x) > 0 f(x) turun pada interval : x < 0 atau x > 2 (x) naik pada interval : 0 < x < 2 b. Interval f(x) turun

c. Interval f(x) stasioner f(x) stationer jika f’(x) = 0 2x – x2 = 0 x (2 – x) = 0 x = 0 atau x = 2 Untuk x = 0 maka nilai y =2+ 𝑥 2 − 1 3 𝑥 3 y =2+ 0 2 − 1 3 0 3 y = 2 Untuk x = 2 maka nilai y =2+ 𝑥 2 − 1 3 𝑥 3 y =2+ 2 2 − 1 3 2 3 y = 2 + 4 - 8 3 y = 10 3 Jadi koordinat titik stationernya (0, 2) dan (2, 10 3 )

Jawaban no 4 a. Untuk mencapai titik stasioner , maka f’(x) = 0 f(x) = - x3 + 3x2 – 1 f’(x) = -3x2 + 6x -3x2 + 6x = 0 (-3x1 + 0)(x2 – 2) = 0 Diperoleh : x1 = 0 dan x2 = 2 Sehingga titik stasioner yang didapat adalah x1 = 0  f(0) = -(0)3 + 3(0)2 – 1 f(0) = -1 jadi titik stasioner yang pertama = (0,1)   x2 = 2  f(2) = -(2)3 + 3(2)2 – 1 f(2) = 3 jadi titik stasioner yang kedua = (2,3)

b. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun Didapatkan x1 = 0 dan x2 = 2, jadi daerah asal Df terbagi menjadi tiga interval : - - - - - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - - -   Interval I 0 Interval II 2 Interval III Interval I = misalkan ambil x = -1 , Interval II = misalkan ambil x = 1 f’(x) = -3x2 + 6x f’(-1) = -3(-1)2 + 6(-1) = -9 f’(1) = -3(1)2 + 6(1) = 3 f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif. f’(x) > 0 ,maka interval II naik diberi tanda (+) positif Interval II = misalkan ambil x = 3 f’(x) = -3x2 + 6x f’(3) = -3(3)2 + 6(3) = - 9 f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif. Kesimpulannya : f(x) naik pada interval 0 < x < 2 f(x) turun pada interval – ∞ < x < 0 dan 2 < x < + ∞

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagai berikut: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat. 2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya. 3. Tentukan beberapa titik pada kurva. 4. Gambarlah kurva.

Gambarlah grafik 𝑦= 1 3 𝑥 3 − 7 2 𝑥 2 +12𝑥−5 Jawab Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 y = 1 3 𝑥 3 − 7 2 𝑥 2 +12𝑥−5 1 3 𝑥 3 − 7 2 𝑥 2 +12𝑥−5=0 Dalam soal ini titik potong sumbu x sukar ditentukan b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0 y = 1 3 0 3 − 7 2 0 2 +12(0)−5 y = -5 titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)

Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya. Dari y = 1 3 𝑥 3 − 7 2 𝑥 2 +12𝑥−5 Maka 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 2 −7𝑥+12 Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga : Untuk 𝑥 2 −7𝑥+12 = 0 (x - 3)(x - 4) = 0 x1 = 3 atau x2 = 4 Untuk x1 = 3 Untuk x2 = 4 f(x) = 1 3 3 3 − 7 2 3 2 +12(3)−5 f(x) = 1 3 4 3 − 7 2 4 2 +12(4)−5 f(x) = 8 1 2 f(x) = 8 1 3 f(x) naik jika f’(x) > 0, maka : f(x) turun jika f’(x) < 0, maka : x2 - 7x +12 > 0 x2 - 7x +12 < 0 (x - 3)(x - 4) > 0 (x - 3)(x - 4) < 0 x < 3 atau x > 4 3 < x < 4

Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu 𝑥 1 2 3 4 5 𝑓(𝑥) 3 5 6 7 2 3 8 1 2 8 1 3 9 1 6 Langkah 4 : Gambarlah grafiknya

LATIHAN SOAL Buatlah grafiknya dari persamaan y = f(x) = 3x – x3

Jawab: i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. y = 0 = 3x – x3 0 = x (3 – x2) 0 = x (1 - x ) (1 + x) ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = 3x – x3 y = 3.0 - 03 y = 0   Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0 f’ (x) = 3 – 3x2 = (1 - x 2) = 3 (1 – x) (1 + x) x = 1, x = -1 untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2 nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2 titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2) titik potong sumbu x adalah (0,0), (1,0), (-1,0) titik potong sumbu y adalah (0,0)

c. titik bantu x -2 2 -3 3 ... y 18 -18 d. gambarlah grafiknya