Suatu Matriks DETERMINAN DETERMINAN Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat DETERMINAN DETERMINAN Suatu Matriks Matematika II - 23 Determinan St Matriks

DETERMINAN SUATU MATRIKS Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat DETERMINAN SUATU MATRIKS (hasil penjumlahan dari penggandaan suatu unsur yang tidak sebaris maupun tidak selajur) Algoritma (silang) | D | = Minor & kofaktor Penyapuan (transformasi dasar) Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Algoritma (silang) [Hanya berlaku pada matriks berdimensi 2 & 3] A2 = Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Algoritma (silang) [Hanya berlaku pada matriks berdimensi 2 & 3] A2 = a11 a12 a21 a22 | A | = a11 a12 = + a11a22 - a12a21 a21 a22 + - Matematika II - 23 Determinan St Matriks

A3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Alterlatif 1 a33 a32 a31 a23 a22 a21 a13 a12 a11 + – | A | = + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21) - (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a32a23)

a11 a12 a13 A3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Alterlatif 2 | A | = Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat A3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Alterlatif 2 | A | = + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) - (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32) Matematika II - 23 Determinan St Matriks

a11 a12 a13 A3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Alterlatif 3 | A | = Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat A3 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Alterlatif 3 | A | = + (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) - (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32) Matematika II - 23 Determinan St Matriks

1. Tentukan determinan matriks (2 x 2) berikut : CL D01- SL D01 (algoritma) 1. Tentukan determinan matriks (2 x 2) berikut : 1 2 5 -1 A = B = -1 1 1 -1 JCL D01-1 : (algoritma) 1 2 5 -1 A = | A | = (1)(-1) – (2)(5) = (-1) – (10) = -11 (2 x 2)

B = -1 1 -1 -1 | B | = (-1)(- 1) – (1)(-1) = (+1) – (-1) = 2 (2 x 2) 2. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 C = 2 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 D =

| C | = {(2)(1)(0) + (3)(1)(4) + (4)(-1)(1)} JCL D01-2 : (algoritma) C = 3 4 1 1 4 -1 0 (3 x 3) | C | = {(2)(1)(0) + (3)(1)(4) + (4)(-1)(1)} - {(4)(1)(4) + (3)(1)(0) + (2)(-1)(1)} = {(0) + (12) + (-4)} - {(16) + (0) + (-2)} = { 8 } - { 14 } = -6 2 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 D = (3 x 3) | D | = {(2)(-1)(-1) + (-1)(1)(1) + (1)(1)(-1)} - {(1)(-1)(1) + (-1)(-1)(-1) + (2)(1)(1)} = {(2) + (-1) + (-1)} - {(-1) + (-1) + (2)} = { 0 } - { 0 } = 0

Minor & kofaktor m11 m12 m13 m14 M4 = m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Minor & kofaktor m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44 M4 = Tentukan : * Minor untuk matriknya * Kofaktor dari matriksnya Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Untuk menentukan determinannya “pilih 1 baris atau 1 lajur” Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Misal dari kotak-silang di atas/sebelumnya : Minor dari m22 yaitu M22 = Kofaktornya yaitu f22 = (-1)2+2 M22 Untuk menentukan determinannya “pilih 1 baris atau 1 lajur” Misal dipilih baris ke dua : |M| = m21.f21 + m22.f22 + m23.f23 + m24.f24 Matematika II - 23 Determinan St Matriks

1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : CL D02- SL D02 (minor-kofaktor) 1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 M = JCL D02-1 : (minor-kofaktor) 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 M = (3 x 3) |M| = m31.f31 + m32.f32 + m33.f33

f31 = (-1)3+1 2 -1 -1 -2 = -5 f32 = (-1)3+2 1 -1 5 -2 = -3 f33 = (-1)3+3 1 2 5 -1 = -11 |M| = (11)(-5) + (4)(-3) + (-5)(-11) = (-55) + (-12) + (55) = -12 2. Tentukan determinan matriks (4 x 4) berikut : M = 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0

|M| = (-1)(-12) + (-1)(13) + (1)(10) + (2)(9) JCL D02-2 : M = 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 (4 x 4) (minor-kofaktor) |M| = m21.f21 + m22.f22 + m23.f23 + m24.f24 f21 = (-1)2+1 -1 1 3 1 -1 1 2 1 0 = -12 f22 = (-1)2+2 2 1 3 1 -1 1 3 1 0 = 13 f23 = (-1)2+3 2 -1 3 1 1 1 3 2 0 = 10 f24 = (-1)2+4 2 -1 1 1 1 -1 3 2 1 = 9 |M| = (-1)(-12) + (-1)(13) + (1)(10) + (2)(9) = (12) + (-13) + (10) + (18) = 27

Penyapuan (transformasi dasar) Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Penyapuan (transformasi dasar) BARIS TDasar M LAJUR A B |M| Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Masih ingat Transformasi Dasar ? Pengolahan (thd st matriks) baris lajur pertukaran letak penjumlahan penggandaan

Pertukaran letak E1.2 F1.2 A A 1 2 1 3 4 2 4 6 x = 2 3 1 3 4 2 1 2 1 2 1 3 4 2 4 6 x = 2 3 Pertukaran letak 1 3 4 2 1 2 2 4 6 1 2 2 3 1 4 4 2 6 E1.2 F1.2 A A

Penjumlahan E3.2(1) A Tambah F3.2(1) A 1 2 1 3 4 3 7 10 Brs 3 : 2 4 6 1 2 1 3 4 3 7 10 Brs 3 : 2 4 6 Brs 2 x 1 : 1 3 4 + 3 7 10 E3.2(1) A Tambah 2 4 6 1 3 + 7 10 Ljr 2 x 1 Ljr 3 1 3 1 3 7 2 4 10 F3.2(1) A

E3.2(-1) A Kurang F3.2(-1) A 2 1 2 1 3 4 1 1 2 Brs 3 : 2 4 6 2 1 2 1 3 4 1 1 2 Brs 3 : 2 4 6 Brs 2 x (-1) : -1 -3 -4 + 1 1 2 E3.2(-1) A Kurang 2 4 6 -1 -3 -4 1 + Ljr 3 Ljr 2 x (-1) 1 1 1 3 1 2 4 2 F3.2(-1) A

Penggandaan K a l i E3(2) F3(2) A A B a g i E3(1/2) F3(1/2) A A 1 4 1 2 1 3 4 4 8 12 1 4 1 3 8 2 4 12 E3(2) F3(2) A A B a g i 1 2 1 3 4 1 2 3 1 1 1 3 2 2 4 3 E3(1/2) F3(1/2) A A

1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : CL D03- SL D03 (penyapuan) 1. Tentukan determinan matriks (3 x 3) berikut : M3 = 2 3 4 1 1 1 4 1 0 dengan : a. Pengolahan baris dengan segitiga atas b. Pengolahan baris dengan segitiga bawah c. Pengolahan lajur dengan segitiga atas d. Pengolahan lajur dengan segitiga bawah

Pengolahan baris dengan atas M3 = 2 3 4 1 1 1 4 1 0 2 3 4 1 1 1 4 1 0 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL D03-1A : (penyapuan baris) Pengolahan baris dengan atas M3 = 2 3 4 1 1 1 4 1 0 2 3 4 1 1 1 4 1 0 E1.2(-2) 0 1 2 1 1 1 0 -3 -4 0 1 2 1 1 1 0 0 2 E3.1(3) E3.2(-4) -1 0 1 0 1 2 0 0 2 -1 0 1 1 1 1 0 0 2 E1.2(-1) E2.1(1) Det. M = (-1)(1)(2) = -2 Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Pengolahan baris dengan bawah Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Pengolahan baris dengan bawah 2 3 4 1 1 1 4 1 0 -10 0 4 1 1 1 4 1 0 -14 -4 0 1 1 1 4 1 0 E1.3(-3) E1.2(-4) 2 0 0 1 1 1 4 1 0 E3.2(-1) 2 0 0 1 1 1 3 1 -1 E2.3(1) 2 0 0 4 1 0 3 0 -1 E1.3(4) Det. M = (2)(1)(-1) = -2 Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Pengolahan lajur dengan atas Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL D03-1B : (penyapuan lajur) Pengolahan lajur dengan atas 2 3 4 1 1 1 4 1 0 2 3 1 1 1 0 4 1 -1 2 4 1 1 1 0 4 0 -1 F3.2(-1) F2.3(1) -2 4 1 0 1 0 4 0 -1 2 4 1 0 1 0 0 0 -1 F1.2(-1) F1.3(4) Det. M = (2)(1)(-1) = -2 Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Pengolahan lajur dengan bawah Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Pengolahan lajur dengan bawah 2 3 4 1 1 1 4 1 0 2 3 1 1 1 0 4 1 -1 -1 3 1 0 1 0 3 1 -1 F3.2(-1) F1.2(-1) -1 0 1 0 1 0 3 4 -1 -1 0 0 0 1 0 3 4 2 F2.3(-3) F3.1(1) Det. M = (-1)(1)(2) = -2 Matematika II - 23 Determinan St Matriks

2. Tentukan determinan matriks (4 x 4) berikut : 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 M = JCL D03-2 : 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 M = (penyapuan)

E2.3(1) E4.3(-1) 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 2 -1 E2.4 E2.3(-2) 2 -1 1 3 0 -1 4 -3 1 1 -1 1 0 0 0 3 2 1 2 -1

| M | = (1)(-1)(-9)(3) = 27 0 -3 3 1 2 -1 1 3 0 -1 4 -3 1 1 -1 1 2 -1 1 3 0 -1 4 -3 1 1 -1 1 0 0 0 3 0 -3 3 1 1 1 -1 1 E1.3(-2) 0 0 -9 10 0 -1 4 -3 1 1 -1 1 0 0 0 3 1 1 -1 1 0 -1 4 -3 0 0 -9 10 0 0 0 3 E1.2(-3) E1.3 | M | = (1)(-1)(-9)(3) = 27

K A S U S Data yang akan ditentukan determinannya ber- Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Data yang akan ditentukan determinannya ber- ukuran (dimensi) besar sehingga sangat menyulit- kan dalam pelaksanaannya Upaya untuk mengatasinya dengan cara : a. menyekat matriks tsb menjadi 4 anak-matriks b. salah satu anak-matriksnya dijadikan matriks nol K A S U S Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat m11 m12 m13 m14 m15 m21 m22 m23 m24 m25 m31 m32 m33 m34 m35 m41 m42 m43 m44 m45 m51 m52 m53 m54 m55 Kasus ini terutama dila- kukan bila terdapat unsur-unsur yang meru- pakan matriks nol dimana : * M11 dan M22 masing2 berupa matriks segi * M12 atau M21 merupakan matriks nol M2 = (mij)b | M | = |M11| |M22| = M11 0 M21 M22 Matematika II - 23 Determinan St Matriks

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Olah matriks tsb menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44 m11 m12 m13 m14 0 m22 m23 m24 0 0 m33 m34 0 0 0 m44 M M atas M2 = M11 M12 0 M22 | M | = |M11| |M22| = (m11)(m22).(m33)(m44) Matematika II - 23 Determinan St Matriks

CL D04- SL D04 (matriks sekatan) 1. Tentukan determinan matriks berikut dengan membentuk matriks sekatan : 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 M = JCL D04-1 : 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 M =

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat E2.3(1) E4.3(-1) 2 -1 1 3 -1 -1 1 2 1 1 -1 1 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 2 -1 3 0 0 4 0 0 0 3 1 1 -1 1 1 0 3 -2 0 0 -9 10 0 0 0 3 1 1 -1 1 1 0 3 -2 E1.3(1) E1.4(-3) E4.3(-1) Matematika II - 23 Determinan St Matriks

| M | = |M12| |M21| | M | = |M11| |M22| 0 0 -9 10 0 0 0 3 1 1 -1 1 0 0 -9 10 0 0 0 3 1 1 -1 1 1 0 3 -2 | M | = |M12| |M21| = {(-27)-(0)}  {(0)-(1)} = -27  -1 = 27 atau | M | = |M11| |M22| 1 1 -1 1 1 0 3 -2 0 0 -9 10 0 0 0 3 = {(0)-(1) } {(-27)-(0)} E1.3 E2.4 = -1  -27 = 27