Pemrograman Linier Nama Kelompok : Badarul ‘Alam Al Hakim (1135010081) Wisnu Purnantoro (1135010013) Ahmad Nauval (1135010091) Arghanata Dirgantara (1135010110) Gifson Hasiolan T. (1135010028)

Definisi Pemrograman Linier Pemrograman Linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah yang dimana seseorang diharuskan memilih atau menentukan setiap kegiatan yang akan dilakukannya, guna untuk pengalokasian sumber-sumber yang terbatas. Persoalan pengalokasian ini akan muncul apabila seseorang harus memilih tingkat aktivitas-aktivitas tertentu yang bersaing dalam hal penggunaan sumber daya yang terbatas yang di butuhkan untuk melaksanakan aktivitas-aktivitas tersebut.

Program Linier ini menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sifat linier sendiri memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier. Sedangkan kata programming merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian, Program Linier (LP) adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara seluruh alternative yang layak.

Teknik Pemrograman Linier Teknik pemrograman linier merupakan salah satu alat Riset Operasi yang cukup efektif, karena tingkat keberhasilannya berakar dari keluwesan dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata di berbagai bidang, seperti militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan, dan lain sebagainya. Tekniknya menggunakan istilah Linier karena semua fungsi matematis yang disajikan dalam model adalah merupakan fungsi fungsi linier (lurus).

Karakteristik Pemrograman Linier Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditujukan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.

Sifat Proporsional Sifat proposional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proposional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifat Additivitas Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak dapat ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat aditivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat aditivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan.

Sifat Divisibilitas Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

Sifat Kepastian Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.

Model Pemrograman Linear Salah satu contoh penulisan model pemrograman linier :

Dari pendekatan matematis yang ada di slide sebelumnya, maka fungsi tujuan akan menggambarkan tujuan yang akan atau ingin dicapai, apakah akan memaksimalkan hasil atau meminimalkan resiko. Sedangkan fungsi batasan memberikan gambaran tentang metode pengalokasian sumber-daya yang sangat terbatas. Variabel X1, X2, X3, ...., Xn dikenal dengan variabel Keputusan.

Pemecahan Model Matematis Pemecahan model matematis diatas dapat dilakukan dengan dua cara, di antaranya : Cara Grafis Cara Analitis (Simplex Methods)

Pemecahan Dengan Cara Grafis Metode Grafis adalah satu dari sekian banyak metode untuk mencari penyelesaian optimal. Metode ini mudah dilakukan dan sangat sederhana. Karena metode ini disesuaikan dengan kesederhanaannya maka metode ini sangat terbatas pada penyelesaian masalah-masalah sederhana yakni persoalan-persoalan yang hanya mempunyai 2 variabel keputusan yang hendak dicari nilai-nilai optimalnya, sehingga model pemecahan permasalahannya dapat direpresentasikan dalam bentuk grafis dua dimensi.

Pemecahan Dengan Cara Analitis (Simplex Methods) Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan program linier yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar. Cara analitis dapat dilakukan untuk jumlah variabel keputusan minimal dua dengan cara hitungan manual atau dengan menggunakan Software Komputer.

Analisa Sensitivitas Analisa sensitivas adalah analisa yang dilakukan terhadap model matematis dari Pemrograman Linier jika terjadi perubahan pada setiap parameter yang ada terhadap nilai optimum yang akan diperoleh. Analisa sensitivitas merupakan bagian integral dari pemecahan masalah Pemrograman Linier. Analisanya memberikan karakteristik yang dinamis terhadap suatu model Pemrograman Linier sehingga pengambil keputusan akan mampu melihat pengaruh nilai optimum yang akan diperoleh jika parameter yang ada di dalam model berubah. Tujuan akhir dari analisanya tetap sama, yakni untuk mendapatkan informasi bagaimana nilai optimum dari suatu model dapat diperoleh.

Analisa sensitivitas pada evaluasi kelayakan pendanaan suatu proyek sangat diperlukan jika dana atau sumber dana yang ada tidak memenuhi syarat atau jumlahnya terbatas. Dengan adanya analisa sensitivitas dapat diketahui dana tambahan yang diperlukan oleh rekanan seandainya dana asli yang dimiliki rekanan tidak memenuhi syarat. Dengan analisa sensitivitas juga dapat diketahui berapa dan kapan dana tambahan pembiayaan proyek diperlukan. Pemanfaatan otomatisasi analisis oleh software komputer sangat membantu pada analisa oleh software komputer sangat membantu pada analisa sensitivitas sehingga pencapaian keuntungan optimal dari suatu proyek dapat diprediksi dengan lebih baik.

Kelebihan dari Program Linier Mudah digunakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer. Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk memperoleh pemanfaatan sumber daya yang optimal dapat dicapai. Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau berdasarkan data yang tersedia.

Kekurangan Dari Program Linier Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka Program Linier dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi. Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.

Contoh Kasus Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut : Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% serat. Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematikanya !

Pembahasan Yang pertama dilakukan adalah membuat formulasinya dengan cara mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya pembelian bahan pakan Alternative keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang akan digunakan Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta kebutuhan jumlah pakan per hari.

Langkah Selanjutnya Memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian Tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak berbeda meskipun pembelian dalam jumlah besar Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi Total pengeluaran pembelian bahan pakan merupakan penjumlahan pengeluaran untuk jagung dan bungkil kedelai. Jumlah masing-masing serat, protein dan kalsium yang ada di pakan khusus merupakan penjumlah serat, protein dan kalsium yang ada pada jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang digunakan. Dengan demikian sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi.

Pemodelannya Minimumkan z = 2000 x1 + 5500 x2 Kendala : x1 + x2 = 90