Pertemuan 12 MODEL PROBABILISTIK Matakuliah : D0174/ Pemodelan Sistem dan Simulasi Tahun : Tahun 2009 Pertemuan 12 MODEL PROBABILISTIK

Learning Objectives Terminologi model pobabillistilk Implementasi model probabilistik Studi kasus model probabilistik

PELUANG (Probabilitas) ialah Nilai kemungkinan terjadinya suatu kejadian, dimana nilainya diantara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi

Rumus Peluang Mencari banyaknya anggota kejadian n(K), dibandingkan dengan banyak anggota ruang sampel n(S).

Ruang Contoh & Kejadian Ruang Contoh ialah Himpunan semua hasil percobaan suatu percobaan, dilambangkan dengan S. Kejadian ialah Sembarang himpunan bagian E dari ruang contoh S.

Gabungan, Irisan, Komplemen P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Irisan P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AUB) Komplemen P(A’) = 1 – P(A) P(AUA’) = P(A) + P(A’)

Gabungan, Irisan, Komplemen Aturan-Aturan: Hukum Komutasi E  F = F  E E  F = F  E Hukum Asosiasi (E  F)  G = E  (F  G) (E  F)  G = E  (F  G) Hukum Penyebaran (E  F)  G = (E  G)  (F  G) (E  F)  G = (E  G)  (F  G)

Contoh Soal 1 Pada saat sebuah dadu dikocok, tentukan probabilitas munculnya angka 1?

Contoh Soal 1 Jawab. mata dadu ada 6 yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 n(K) adalah 1 (hanya ada satu angka 1) n(S) adalah 6 (ada enam angka) P(muncul angka 1) = 1/6

Contoh Soal 2 Berapakah peluang mendapatkan kursi PNS dalam tes CPNS, misalkan ada 100 peserta CPNS dan hanya 5 posisi yang diperebutkan ?

Contoh Soal 2 Jawab. n(K) adalah 5 (posisi yang diperebutkan) n(S) adalah 100 (jumlah peserta) P(diterima) = 5/100 = 1/20

PERMUTASI Pengertian (secara harfiyah) Penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula

PERMUTASI Pengertian (dilihat dari contoh kasus) Terdapat suatu untai abjad abcd, ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain: “abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba” Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd

PERMUTASI DALIL I Banyaknya permutasi n benda yang berbeda adalah n! Contoh soal : Berapakah banyaknya permutasi dari huruf a, b, c, d?

PERMUTASI Jawaban : Diketahui : n = 4 P = n! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Jadi banyaknya permutasi dari huruf a, b, c, d adalah 24

PERMUTASI DALIL II Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah : Contoh soal : Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua. Hitung banyaknya titik contoh dalam ruang contohnya?

PERMUTASI Jawaban : Banyaknya titik contoh adalah : = (20)(19) = 380

PERMUTASI DALIL III Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!

PERMUTASI DALIL IV Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …, nk berjenis ke-k adalah :

PERMUTASI Contoh soal : Berapa banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 kuning, dan 2 biru?

PERMUTASI Jawaban : = 1260

PERMUTASI DALIL V Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam r sel, dengan n1 unsur dalam sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua, dan demikian seterusnya, adalah : =

PERMUTASI Contoh soal : Berapa banyak cara 7 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan 2 kamar dobel?

PERMUTASI Jawaban : = 210 =

Kombinasi Kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S. Di lambangkan cost

tidak ada buah apa pun satu buah: apel jeruk mangga dua buah: Sebagai contoh, kumpulan buah: apel, jeruk, mangga. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah: tidak ada buah apa pun satu buah: apel jeruk mangga dua buah: apel, jeruk apel, mangga jeruk, mangga tiga buah: apel, jeruk, mangga

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi: Fungsi dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi Sebagai contoh, {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kombinasi-3 nya adalah : Kombinasi apel jeruk mangga pisang apel, jeruk, mangga 1 1 1 0 apel, jeruk, pisang 1 1 0 1 apel, mangga, pisang 1 0 1 1 jeruk, mangga, pisang 0 1 1 1 Dengan demikian, banyaknya kombinasi

Koefisien Binomial Suatu binomial (a + b)n yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi. Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku: Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial: 1. (a + b)0 = 1a0b0 2. (a + b)1 = 1a1b0 + 1a0b1 3. (a + b)2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2 4. (a + b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3 5. (a + b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4 6. (a + b)5 = 1a5b0 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + 1a0b5

Segitiga Pascal Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh: 1. 2. 3. 4. Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Tugas Sebuah kotak berisikan 6 bola merah, 4 bola putih, dan 5 bola biru.Tiga bola diambil secara berurutan dari kotak tersebut.Tentukan peluang bahwa urutan warna bola yang terambil adalah merah, putih dan biru jika setiap bola yang terambil dikembalikan ke kotaknya. Berapa banyak cara 8 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan 3 kamar dobel? Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari bola yang terambil itu. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak 1, kotak 2, dan kotak 3?

Daftar Pustaka Law, Averill M. david Kelton. (2000). Simulation Modeling and Analysis. Mc-Graw Hill. New York.

TERIMA KASIH