SPL HOMOGEN Bentuk umum: Dalam bentuk matrik : Amn x = 0 SPL dengan m persamaan dan n variabel. Amn x = 0

SPL HOMOGEN pasti ada penyelesaian trivial (sederhana) atau Selalu konsisten penyelesaian trivial + tak berhingga banyak penyelesaian taktrivial (tidak semuanya nol )

ILUSTRASI: a1x + b1y = 0 (a1, b1 keduanya tidak nol) (a) Hanya solusi trivial (b) Solusi banyak

mempunyai kemungkinan penyelesaian : SPL homogen Amn x = 0 (m: persamaan, n: variabel) mempunyai kemungkinan penyelesaian : m > n hanya mempunyai solusi trivial m = n jika m < n mempunyai solusi tidak trivial

Contoh : (Solusi trivial) Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : 3 a + b = 0 a – b = 0 Jawab : 4 a = 0 3(0)+ b = 0 m = n 3 a + b = 0 a – b = 0 a = 0 b = 0

2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : x + 2 y = 0 - x – 2 y + z = 0 2x + 3 y + z = 0 Jawab : m = n

Pada matrik yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matrik A memiliki satu utama (matrik identitas), sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu :

Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : 3 a + b + c = 0 Contoh : (Solusi tak trivial) Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : 3 a + b + c = 0 5 a – b + c = 0 Jawab : m < n b1(1/3) b21(-5) b2(-3/8) b12(-1/3)

Jadi diperoleh : a = - ¼ c dan b = - ¼ c (solusi umum) Misalkan : c = 4 c = -4 c = 1 c = -1 a = - 1 dan b = - 1 a = 1 dan b = 1 a = - ¼ dan b = - ¼ a = ¼ dan b = ¼ Diperoleh solusi tak trivial

2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini: Jawab : Bentuk matriks: m< n

Bentuk akhir eselon-baris tereduksi: Terdapat 2 variabel bebas yaitu x2 dan x5 Misalkan : x2 = s dan x5 = t, maka diperoleh : solusi umum : dan penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s = t = 0.

3. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : x1 + 2x3 + 3 x4 = 0 2x1 + x2 + 3x3 + 3 x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 Jawab : m< n ~ Terdapat 2 variabel bebas yaitu : x3 dan x4 Misalkan x3 = s dan x4 = t , maka diperoleh :

solusi umum : Solusi trivialnya terjadi pada saat s = t = 0

4. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : x – y + 2 z – w = 0 2x + y – 2 z – 2w = 0 x + 2y – 4 z + w = 0 3 x – 3w = 0 Jawab : m = n ~ ~

Pada matrik terakhir terlihat hanya 2 kolom yang memiliki satu utama atau terdapat 2 baris nol, ini berarti bahwa SPL tidak trivial dengan 2 variabel bebas yaitu z dan w. Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka diperoleh penyelesaian umum : OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan.

Metode Jacobi :

Metode Jacobi : x1dan x2 disebut bilangan iterasi Ketika n = 4, maka bilangan iterasi ke 4 adalah Hasil akhir dari metode Jacobi mendekati solusi sebenarnya yaitu : metode Jacobi menyatu ,sehingga dalam kasus ini (konvergen)

Metode Gauss – Seidel : dengan pola perhitungan zigzag Dapat dilihat bahwa metode Gauss-Seidel pada kasus ini juga menyatu, bahkan lebih cepat dibandingkan Jacobi

Metode Gauss – Seidel dengan jawaban menyebar (divergen) Jawaban sebenarnya adalah : (lihat gambar)

Diagonal matrik dominan sempurna Matrik A dikatakan memiliki diagonal dominan sempurna jika : Jika SPL nxn mempunyai diagonal dominan sempurna pasti memiliki solusi tunggal, sehingga iterasi metode Jacobi’s maupun Gauss – Seidel mendapatkan hasil yang menyatu (konvergen)

APLIKASI SPL Aplikasi SPL dalam bidang biologi. SPL dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah di bidang, biologi, kimia, fisika, ekonomi, arus lalu lintas dan lain-lain. Aplikasi SPL dalam bidang biologi. Ahli biologi menempatkan 3 jenis bakteri pada tabung reaksi yang diberi tanda Strain I, Strain II dan Strain III. Ada 3 macam makanan yang berbeda (A, B dan C) yang setiap hari disediakan yaitu 2300 satuan A, 800 satuan B dan 1500 satuan C. Masing-masing bakteri mengkonsumsi sejumlah satuan makanan seperti ditunjukkan dalam tabel 1. Berapa banyak bakteri setiap Strain yang berada dalam tabung reaksi yang menghabiskan makanan?

Tabel 1. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain III Makanan A 2 2 4 Makanan B 1 2 0 Makanan C 1 3 1 Jawab : Misalkan : x1, x2 dan x3 adalah jumlah bakteri dari Strain I, Strain II dan Strain III. Bakteri Strain I mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2 satuan, sehingga jumlah total makanan A yang dikonsumsi per-hari adalah 2 x1. Demikian pula untuk Strain II dan Strain III, mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2x2 dan 4x3

Makanan A yang disediakan berjumlah 2300 satuan, dengan demikian dapat dituliskan persamaan berikut : 2x1 + 2x2 + 4x3 = 2300 Dengan cara yang sama dapat dituliskan persamaan untuk jenis makanan B dan C sebagai berikut : x1 + 2x2 = 800 x1 + 3x2 + x3 = 1500 Jadi terbentuk SPL dengan 3 variabel. Dengan OBE diperoleh : Strain I : 100 Strain II : 350 Strain III: 350

2. Sama seperti soal 1 namun tabel 1 diubah menjadi tabel 2. Tabel 2 2. Sama seperti soal 1 namun tabel 1 diubah menjadi tabel 2. Tabel 2. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain III Jumlah Makanan A 1 1 1 1500 Makanan B 1 2 3 3000 Makanan C 1 3 5 4500 Jawab : SPL baru : x1– x3 = 0 x2– 2x3 = 0 Variabel bebas : x3 Misalkan : x3 = t Maka x1 = t x2 = 1500 – 2t

Pada kenyataannya, jumlah bakteri tidak mungkin negatif Pada kenyataannya, jumlah bakteri tidak mungkin negatif. Oleh karenanya, t ≥ 0 dan 1500 – 2 t ≥ 0. Dari kedua ketidaksamaan tersebut diperoleh : 0≤ t ≤750. Dengan demikian terdapat 751 nilai t yang memenuhi dan bentuk persamaannya adalah :

Aplikasi SPL dalam bidang kimia. Persamaan reaksi kesetimbangan Reaksi gas Hidrogen (H2) dengan Oksigen (O2) menghasilkan air (H2O) yang ditulis dalam persamaan reaksi kesetimbangan sebagai berikut : 2 H2 + O2 Berarti 2 molekul Hidrogen dengan 1molekul Oksigen membentuk 2 molekul air. Terjadi kesetimbangan karena ruas kiri dan ruas kanan mengandung 4 atom Hidrogen dan 2 atom Oksigen 2 H2O

Contoh: Amonia (NH3) dalam Oksigen menghasilkan Nitrogen (N2) dan air. Tentukan persamaan reaksi kesetimbangan kimianya. Jawab : Misalkan jumlah molekul dari amonia, oksigen, nitrogen dan air adalah : w, x, y dan z. Maka persamaan reaksi kesetimbangan dapat ditulis dalam bentuk : wNH3 + xO2 Kemudian bandingkan jumlah atom nitrogen, hidrogen dan oksigen yang direaksikan dengan yang dihasilkan. yN2+ zH2O

Diperoleh persamaan sebagai berikut : Nitrogen : w = 2y Hidrogen : 3w = 2z Oksigen : 2x = z Jika ditulis dalam bentuk persamaan standard, maka terlihat SPL Homogen dengan 3 persamaan dan 4 variabel sebagai berikut : w – 2 y = 0 3w – 2 z = 0 2 x – z = 0 m < n Tidak trivial

Jadi : w = 2/3 z x = ½ z y = 1/3 z w = 4 x = 3 y = 2 z = 6 Persamaan kesetimbangan ditulis sebagai berikut: 4NH3 + 3O2 2N2+ 6H2O

2. Selesaikan persamaan reaksi pembakaran gas Propana (C3H8) oleh Oksigen (O2) berikut ini : (x1)C3H8 + (x2)O2 Jawab : Penulisan secara matrik setiap molekul adalah sebagai berikut : C3H8 : , O2 : , CO2 : dan H2O : Jumlah atom C, atom H dan atom O di ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. (x3)CO2 + (x4) H2O C H O

Maka : Terbentuk SPL Homogen berikut ini : x1 x2 x3 x4 + = +

Hasilnya : x1 = ¼ , x2 = 5/4, x3 = ¾ dan x4 = variabel bebas Ambil : x4 = 4, Maka persamaan reaksi kesetimbangan menjadi : C3H8 + 5O2 x1 = 1 , x2 = 5 dan x3 = 3 3CO2 + 4H2O

Aplikasi SPL dalam bidang fisika. SPL dalam bidang fisika difokuskan dalam menentukan besar arus listrik yang mengalir dalam suatu rangkaian. Digunakan hukum Kirchhoff : Pada titik persimpangan : Jumlah arus yang masuk = jumlah arus yang keluar Pada suatu loop : Perhitungan aljabar dari tegangan = perhitungan aljabar penurunan tegangan

Berdasarkan hukum Ohm, penurunan tegangan E pada setiap resistor adalah : Dengan : i = kuat arus (ampere) dan R = resistor/hambatan (Ω) E= i R

Contoh : Tentukan i1, i2 dan i3 pada rangkaian berikut ini : Jawab : Penyelesaian soal ini didasarkan pada hukum Kirchhoff dan Ohm dengan menggunakan SPL berikut ini :

Persamaan ditulis dalam notasi matrik dan diselesaikan dengan OBE berikut ini :

Aplikasi SPL dalam bidang ekonomi. SPL di bidang ekonomi kebanyakan digunakan untuk menentukan biaya ekuilibrium pengeluaran dalam suatu periode tertentu sehingga pendapatan yang ada sesuai dengan pembelanjaannya. Contoh : Setiap tahun, sektor barang dagangan (A) menjual 80% outputnya kepada sektor jasa dan sisanya disimpan. Sedangkan sektor jasa (B) menjual 60% outputnya kepada sektor barang dagangan dan sisanya disimpan. Bagaimana cara penentuan biaya ekuilibrium setiap sektor pertahun sehingga pendapatan masing-masing sektor sesuai dengan pengeluaran ?

Buat daftar pengeluaran masing-masing sektor : Barang dagangan (A) Sektor Jasa (B) Dibeli oleh : 0,2 0,6 A B 0,8 0,4 Kolom menunjukkan output, sedangkan baris menunjukkan pengeluarannya masing-masing sektor

Maka SPL yang dihasilkan adalah : A = 0,2 A + 0,6 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (1) B = 0,8 A + 0,4 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (2) Dalam notasi matrik : Bila B = 80, maka A = 60. Jadi, biaya ekuilibrium untuk sektor barang dagangan adalah 60, sedangkan sektor jasa adalah 80 Hasil umumnya : A = 6/8 B, dengan B adalah variabel bebas.

Aplikasi SPL dalam bidang arus lallu lintas Pada suatu daerah terdapat jalan raya seperti gambar di bawah ini : Angka-angka yang terdapat pada gambar menyatakan jumlah kendaraan yang melintasi jalan. Dengan prinsip bahwa jumlah mobil yang masuk menuju ketitik persimpangan A, B, C dan D harus sama dengan jumlah yang, keluar, tentukan jumlah kendaraan pada x1, x2, x3 dan x4!

Dengan demikian dapat ditulis SPLnya sebagai berikut : Titik persimpangan A: x1 + 380 = x2 + 430 Titik persimpangan B: x2 + 540 = x3 + 420 Titik persimpangan C: x3 + 470 = x4 + 400 Titik persimpangan D: x1 + 590 = x4 + 450 x1 – x2 = 50 (1) x2 – x3 = –120 (2) x3 – x4 = –70 (3) (4) x1 – x4 = – 140

Dengan menggunakan OBE dari matrik, diperoleh :

Hasil akhir SPL adalah konsisten dan mempunyai banyak himpunan penyelesaian. Jika diambil : x4= 420, maka : x1= 280 x2= 230 x3= 350

Aplikasi SPL dalam bidang komputer Menganalisa jaringan komputer . Prinsipnya : Aliran masuk = aliran keluar

Dengan menggunakan OBE Gauss-Jordan diperoleh : Hasil akhir menunjukkan SPL konsisten dengan banyak solusi dan f4 merupakan variabel bebas. Solusi umum : f1 = 15 – t f2 = 5 – t f3 = 20 + t f4 = t

Soal latihan : Tentukan penyelesaian SPL Homogen berikut ini: 2x1 – x2 +3x3 – x4= 0 x1 +2x2 – x3 + 2x4= 0 3x1+ x2 – 4x3 + x4= 0 4x1–3x2 – 2x3 + 3x4= 0 Cari nilai x1dan x2 dengan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel pada persamaan berikut ini: 7x1– x2 = 6 x1– 5x2 = –4 Bandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil yang eksak (sesungguhnya).

3. Cari persamaan reaksi dari : NaHCO3 + H3C6H5O7 Na3C6H5O7 + H2O + CO2 4. Buatlah arah arus rangkaian listrik diagram di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari masing-masing arus tersebut.