Closure dari Relasi dan Relasi Ekivalen

Apakah closure dari suatu relasi? Definisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. R dapat atau tidak dapat memiliki suatu sifat P, seperti refleksifitas, kesimetrian, atau transitifitas. Jika terdapat relasi S dengan sifat P yang memuat R sehingga S adalah subhimpunan dari setiap relasi dengan sifat P yang memuat R, maka S disebut sebagai closure dari R terhadap P. Closure dari relasi terhadap suatu sifat mungkin tidak ada.

Contoh 1 Cari closure refleksif dari relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Solusi. Setiap relasi refleksif pada A harus memuat elemen (1, 1), (2, 2), dan (3, 3). Dengan menambahkan (2, 2) dan (3, 3) pada R, kita memperoleh relasi refleksif S, yang diberikan oleh S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}. S refleksif, memuat R, dan termuat dalam setiap relasi refleksif yang mengandung R. Jadi, S adalah closure refleksif dari R.

Closure Refleksif dari Relasi Closure refleksif dari relasi R pada A adalah R  , dengan  = {(a,a) | a  A} Soal 1. Cari closure refleksif dari relasi R = {(a, b) | a > b} pada himpunan bilangan bulat positif.

Closure Simetris dari Relasi Closure simetris dari relasi R pada A adalah R  R-1, dengan R-1 = {(b,a) | (a,b)  R} Contoh 2. Cari closure simetris dari relasi R = {(a, b) | a > b} pada himpunan bilangan bulat positif. Solusi. Closure simetris dari R diberikan oleh R  R-1 = {(a, b) | a > b}  {(b, a) | a > b} = {(a, b) | a  b}

Contoh 3 Cari closure transitif dari relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}. Solusi. R akan menjadi transitif, jika untuk setiap pasangan (a, b) dan (b, c) di R juga terdapat pasangan (a, c) di R. Jika kita tambahkan pasangan yang hilang: (1, 2), (2, 3), (2, 4), dan (3, 1), apakah R akan menjadi transitif? Tidak, karena relasi R yang diperluas memuat (3, 1) dan (1, 4), tetapi tidak memuat (3, 4). Dengan menambahkan elemen baru pada R, juga ditambahkan syarat baru untuk transitifitas. Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu dilihat lintasan dalam digraf.

Ilustrasi Bayangkan R adalah relasi yang merepresentasikan koneksi kereta di Pulau Jawa. Sebagai contoh, jika (Jakarta,Bandung) anggota R, maka terdapat suatu koneksi langsung dari Jakarta ke Bandung. Jika R memuat (Jakarta,Bandung) dan (Bandung,Yogyakarta), berarti terdapat koneksi tak langsung dari Jakarta ke Yogyakarta. Karena terdapat koneksi tak langsung, tidak mungkin dengan hanya melihat R kita dapat menentukan kota-kota mana saja yang dihubungkan pleh kereta. Closure transitif dari R memuat tepat pasangan kota yang terkoneksi, baik langsung maupun tidak langsung.

Lintasan dalam Digraf Definisi. Suatu lintasan dari a ke b dalam digraf G adalah barisan dari satu atau lebih sisi (x0,x1), (x1,x2), (x2,x3), …, (xn-1,xn) di G, dengan x0 = a dan xn = b. Dengan kata lain, lintasan adalah suatu barisan sisi dengan verteks akhir dari suatu sisi sama dengan verteks awal dari sisi berikutnya. Lintasan ini dinotasikan oleh x0,x1,x2,…,xn dan dikatakan memiliki panjang n. Suatu lintasan yang dimulai dan diakhiri pada verteks yang sama disebut cycle.

Contoh Lintasan dalam Digraf Pandang digraf berikut a b c d Apakah c,a,b,d,b lintasan? Ya. Apakah d,b,b,b,d,b,d cycle? Ya. Apakah ada cycle yang memuat c? Tidak.

Arti Lintasan dalam Relasi Karena terdapat korespondensi satu-satu antara digraf dan relasi, definisi lintasan dalam di graf dapat ditransfer ke relasi: Definisi. Terdapat lintasan dari a ke b dalam suatu relasi R, jika terdapat suatu barisan dari elemen a,x1,x2,…,xn-1,b dengan (a,x1)R, (x1,x2)R, …, dan (xn-1,b)R. Teorema 1. Misalkan R suatu relasi pada himpunan A. Terdapat lintasan dari a ke b dengan panjang n jika dan hanya jika (a,b)Rn. Bukti. Dengan induksi Matematika

R* adalah gabungan dari Rn untuk semua bilangan asli n: Relasi Konektifitas Dengan menggunakan contoh jaringan kereta api, closure transitif dari suatu relasi memuat pasangan verteks dalam digraf yang terkoneksi oleh suatu lintasan. Definisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. Relasi konektifitas R* memuat pasangan (a,b) sehingga terdapat lintasan antara a dan b di R. Sedangkan Rn memuat pasangan (a,b) sehingga a dan b terkoneksi oleh suatu lintasan dengan panjang n. Jadi, R* adalah gabungan dari Rn untuk semua bilangan asli n:

Closure Transitif dari Relasi Teorema. Closure transitif dari relasi R sama dengan relasi konektifitas R*. Bukti. Jelas, R  R*. Untuk membuktikan R* adalah closure transitif dari R, harus ditunjukkan R* transitif dan R*  S, untuk semua S yang memuat R.

Bagaimana cara menghitung R* ? Lema. Misalkan A himpunan dengan |A| = n dan R relasi pada A. Jika terdapat lintasan di R dari a ke b, maka terdapat lintasan dengan panjang tidak melebihi n. Lebih jauh lagi, jika a  b dan terdapat lintasan di R dari a ke b, maka terdapat lintasan dengan panjang tidak lebih dari (n – 1). Amati bahwa jika lintasan dari a ke b melalui setiap verteks lebih dari satu maka haruslah graf memuat cycle. Cycle-cycle ini dapat dihapus dari lintasan dan lintasan yang tereduksi akan tetap menghubungkan a dan b.

MR* = MRMR[2]MR[3]…MR[n] Teorema 2 Misalkan R relasi pada himpunan A dengan n anggota, Maka closure transitif R* diberikan oleh: R* = RR2R3…Rn Untuk matriks representasi relasi R, MR, berlaku: MR* = MRMR[2]MR[3]…MR[n]

Contoh 3… Closure transitif dari relasi R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} pada himpunan A = {1, 2, 3, 4}. R dapat direpresentasikan oleh matriks MR:

Contoh 3… Solusi. Closure transitif dari relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} diberikan oleh relasi {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}

Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi. Suatu relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Dua anggota A yang berelasi oleh suatu relasi ekivalen dikatakan ekivalen.

Sifat Relasi Ekivalen Karena R refleksif, setiap elemen ekivalen terhadap dirinya sendiri. Karena R simetris, a ekivalen dengan b setiap kali b ekivalen dengan a. Karena R transitif, jika a dan b ekivalen serta b dan c ekivalen, maka a dan c juga ekivalen.

Contoh 4 Misalkan A himpunan string yang memuat alfabet dan l(x) panjang dari string x. Jika R relasi pada A dengan aRb jika dan hanya jika l(a) = l(b), apakah R suatu relasi ekivalen ? Solusi: R refleksif, karena l(a) = l(a) dan karenanya aRa untuk setiap string a. R simetris, karena jika l(a) = l(b) maka l(b) = l(a), sehingga jika aRb maka bRa. R transitif, karena jika l(a) = l(b) dan l(b) = l(c), maka l(a) = l(c), sehingga aRb dan bRc mengakibatkan aRc. Jadi, R adalah suatu relasi ekivalen.

Kelas Ekivalen Definisi. Misalkan R relasi ekivalen pada himpunan A. Himpunan semua anggota yang berelasi oleh R dengan suatu anggota a di A disebut kelas ekivalen dari a. Kelas ekivalen dari a dengan memandang relasi R dinotasikan oleh [a]R, [a]R = {s | (a,s)  R} Jika hanya ada satu relasi yang dipertimbangkan, penulisan R biasanya dihapus sehingga hanya ditulis [a]. Jika b[a]R, b dikatakan sebagai representasi dari kelas ekivalen tersebut.

Contoh 5 Dalam Contoh 4, apakah kelas ekivalen dari kata tikus, yang dinotasikan dengan [tikus] ? Solusi. [tikus] adalah himpunan semua kata yang terdiri dari lima huruf. Sebagai contoh, ‘macan’ adalah suatu representasi dari [tikus].

Teorema 3. Misalkan R suatu relasi ekivalen pada himpunan A. Maka ketiga pernyataan berikut ekivalen : aRb [a] = [b] [a]  [b]   Bukti. (i)(ii) Misalkan aRb, adb. [a] = [b] dengan menunjukkan [a]  [b] dan [b]  [a]. Misalkan x[a] maka aRx. Sedangkan aRb dan R simetris, maka bRa. Karena R transitif, maka bRa dan aRx mengakibatkan bRx. Kesimetrian dari R menyebabkan xRb dan x[b]. (ii)(iii) Misalkan [a] = [b]. Jelas, [a]  [b]   karena kerefleksifan R mengakibatkan a[a]. (iii)(i) Misalkan [a]  [b]  , maka terdapat x sehingga x[a] (xRa) dan x[b] (xRb). Karena R simetris, maka aRx. Akibatnya, aRb berdasarkan sifat transitif dari R.

Partisi Definisi. Partisi dari suatu himpunan S adalah koleksi dari subhimpunan tak kosong dari S yang disjoin dan memiliki S sebagai gabungan. Dengan kata lain, koleksi dari subhimpunan Ai, iI, membentuk partisi dari S jika dan hanya jika (i) Ai   untuk iI Ai  Aj = , jika i  j iI Ai = S

Contoh 6 Misalkan S: {u, m, b, r, o, c, k, s}. Apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S ? {{m, o, c, k}, {r, u, b, s}} ya. tidak (k hilang). {{c, o, m, b}, {u, s}, {r}} {{b, r, o, c, k}, {m, u, s, t}} tidak (t bukan anggota S). {{u, m, b, r, o, c, k, s}} ya. {{b, o, o, k}, {r, u, m}, {c, s}} ya ({b,o,o,k} = {b,o,k}). {{u, m, b}, {r, o, c, k, s}, } tidak ( tidak diperbolehkan).

Kelas Ekivalen dan Partisi Teorema 4. Misalkan R relasi ekivalen pada himpunan S. Maka kelas ekivalen dari R membentuk suatu partisi dari S. Sebaliknya, jika diberikan suatu partisi {Ai | iI} pada himpunan S, terdapat relasi ekivalen R dengan himpunan Ai, iI, sebagai kelas ekivalennya .

{(a, b) | a dan b tinggal di kota yang sama} Contoh 6 Misalkan Asep, Euis dan Cucu tinggal di Garut, Stephanie dan Max di Bremen, serta Akiko di Yokohama. Misalkan R relasi ekivalen {(a, b) | a dan b tinggal di kota yang sama} pada himpunan P = {Frank, Suzanne, George, Stephanie, Max, Jennifer}. Maka R = {(Asep,Asep), (Asep,Euis),(Asep,Cucu), (Euis,Asep), (Euis,Euis), (Euis,Cucu), (Cucu,Asep), (Cucu,Euis), (Cucu,Cucu), (Stephanie,Stephanie), (Stephanie,Max), (Max,Stephanie), (Max, Max), (Akiko, Akiko)}.

{{Asep, Euis, Cucu }, {Stephanie, Max}, {Akiko}}. Contoh 6… Kelas ekivalen dari R adalah: {{Asep, Euis, Cucu }, {Stephanie, Max}, {Akiko}}. Yang juga merupakan partisi dari P. Kelas ekivalen dari setiap relasi ekivalen R pada himpunan S membentuk suatu partisi pada S, karena setiap anggota S dihubungkan dengan tepat satu kelas ekivalen.

Contoh 7 Misalkan R relasi {(a, b) | a  b (mod 3)} pada himpunan bilangan bulat. Apakah R relasi ekivalen ? Ya, R refleksif, simetris, dan transitif. Apakah kelas ekivalen dari R ? {{…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}}

Soal 2 a. Buktikan bahwa R adalah relasi ekivalen pada himpunan bilangan real. b. Deskripsikan kelas-kelas ekivalen yang muncul dari relasi ekivalen pada a.